1、 高中数学 数列 学生：赖怡文爱心 用心 专心 放心 联系电话：13670008950 第 1 页 共 11 页教师：邓老师 2013-07-20数列求和的基本方法和技巧数列是高中代数的重要内容，又是学习高等数学的基础. 在高考和各种数学竞赛中都占有重要的地位. 数列求和是数列的重要内容之一，除了等差数列和等比数列有求和公式外，大部分数列的求和都需要一定的技巧. 下面，就几个历届高考数学和数学竞赛试题来谈谈数列求和的基本方法和技巧. 一、利用常用求和公式求和利用下列常用求和公式求和是数列求和的最基本最重要的方法. 1、 等差数列求和公式： dnanS2)1(2)(112、等比数列求和公式： )
2、()(11 qqnnn3、 4、)(21kSn )12(612nkSn5、 213)(nk例 1 已知 ，求 的前 n 项和.3log1l23x nxx32解：由 21loglll 3323 由等比数列求和公式得 （利用常用公式）nnxxS2 1n1)(2)(nn例 2 设 Sn1+2+3+n ， nN *,求 的最大值.1)3()nSf解：由等差数列求和公式得 ， （利用常用公式）2Sn )2(n 1)32()nnf 643 6450)8(2n高中数学 数列 学生：赖怡文爱心 用心 专心 放心 联系电话：13670008950 第 2 页 共 11 页教师：邓老师 2013-07-20 当
3、，即 n8 时，501)(maxf例 3 求 22221345691解：原式 2()()()(09)3719 由等差数列求和公式，得原式 35二、错位相减法求和类似于等比数列的前 n 项和的公式的推导方法。若数列各项是由一个等差数列和一个等比数列对应项相乘得到，即数列是一个“差比”数列，则采用错位相减法.若 ，其中 是等差数列， 是公比为 等比数列，令nnabcnbncq121nSc则 nq12311nbc两式相减并整理即得例 4 求和： 132)2(7531nn xxS解：由题可知， 的通项是等差数列2n1的通项与等比数列 的通项之积1)(n 1nx设 . （设制错位）nn xxxx )1(
4、432得 （错位相减 ）nnn xS )12(21)( 1432再利用等比数列的求和公式得： nnxSx1)( 2)()(2Snn 小结：错位相减法的步骤是：在等式两边同时乘以等比数列 的公比；将两个等式相减；nb利用等比数列的前 n 项和公式求和.例 5 求数列 前 n 项的和.,2,64,23解：由题可知， 的通项是等差数列2n的通项与等比数列 的通项之积n n1高中数学 数列 学生：赖怡文爱心 用心 专心 放心 联系电话：13670008950 第 3 页 共 11 页教师：邓老师 2013-07-20设 nnS26243 （设制错位）141得 （错位相减 ）1432 2)( nn1n
5、24nS例 7 （2008 年全国第 19 题第（2）小题，满分 6 分）已知 ，求数列a n的前 n 项和 Sn.12nn解： 0 21(1)SA A122nnn得 01121nnnSA A小结：错位相减法的求解步骤：在等式两边同时乘以等比数列 的公比 ；将两ncq个等式相减；利用等比数列的前 n 项和的公式求和.三、反序相加法求和这是推导等差数列的前 n 项和公式时所用的方法，就是将一个数列倒过来排列（反序） ，再把它与原数列相加，就可以得到 n 个 .)(1a例 8 求证： nnCC2)1(2(5320 证明： 设 nnnS1把式右边倒转过来得（反序）0113)2()( nnnn 又由
6、可得mnC nnn CS110)()1(+得 （反序相加）nn2)1()20 nn)(例 9 求 的值 89sii3sii1sin 22222 高中数学 数列 学生：赖怡文爱心 用心 专心 放心 联系电话：13670008950 第 4 页 共 11 页教师：邓老师 2013-07-20解：设 . 89sini3sin2i1sin 2222 S将式右边反序得 （反序） 1iii8i9i 22222又因为 cosn),0cos(nxxx+得 （反序相加）89 )89cos(sin)2(i)1(si2 22222 S S44.5例 10 求 的和22221310098分析：由于数列的第 项与倒数第
7、 项的和为常数 1，故采用倒序相加法求和kk解：设2222130S则 22220981两式相加，得 105SS ，小结：对某些具有对称性的数列，可运用此法.例 11 已知函数 2xf（1）证明： ；1fxf（2）求 的值.289001ffff解：（1）先利用指数的相关性质对函数化简，后证明左边=右边（2）利用第（1）小题已经证明的结论可知， 9285101010ffffff 9Sffff令 9821100ffff则两式相加得：高中数学 数列 学生：赖怡文爱心 用心 专心 放心 联系电话：13670008950 第 5 页 共 11 页教师：邓老师 2013-07-20所以 .19290Sff9
8、2S小结：解题时，认真分析对某些前后具有对称性的数列，可以运用倒序相加法求和.四、分组法求和有一类数列，既不是等差数列，也不是等比数列，若将这类数列适当拆开，可分为几个等差、等比或常见的数列，然后分别求和，再将其合并即可.有一类数列，它既不是等差数列，也不是等比数列.若将这类数列适当拆开，可分为几个等差、等比数列或常见的数列，然后分别求和，再将其合并即可.例 12 求和： 12323543565235nnS解： 12 nn 13246n 例 13 求数列的前 n 项和： ，231,7,42aa解：设 )()()()11S nn将其每一项拆开再重新组合得（分组）)2374()1(2 aann当
9、a1 时， （分组求和）3(Sn2)1n当 时， )(1ann2)13(1nan例 14 求数列n(n+1)(2n+1)的前 n 项和.解：设 kkak 23)2( nkS11)(23nk将其每一项拆开再重新组合得 Sn （分组）nknkk121312 )21()(3)( 223 nn （分组求和）()2)nn高中数学 数列 学生：赖怡文爱心 用心 专心 放心 联系电话：13670008950 第 6 页 共 11 页教师：邓老师 2013-07-20 2)(1n例 15 求数列 ， 的前 项和 1468n， nS分析：此数列的通项公式是 ，而数列 是一个等差数列，数列 是一个等比数列，故12
10、nna212n采用分组求和法求解解： 23411(246) ()2n nnS 小结：在求和时，一定要认真观察数列的通项公式，如果它能拆分成几项的和，而这些项分别构成等差数列或等比数列，那么我们就用此方法求和.五、裂项法求和这是分解与组合思想在数列求和中的具体应用. 裂项法的实质是将数列中的每项（通项）分解，然后重新组合，使之能消去一些项，最终达到求和的目的. 通项分解 （裂项） 如：（1） （2）)(1(nffan nnta)1ta()cos(1i （3） （4）)(n )12()2(an（5） )(1)(21)( an(6) nnnnnn S2)1(,2)()()( 1 则把数列的通项拆成两
11、项之差，即数列的每一项都可按此法拆成两项之差，在求和时一些正负项相互抵消，于是前 n 项的和变成首尾若干少数项之和，这一求和方法称为裂项相消法。适用于类似 （其中 是各项不为零的等差数列， 为常数）的数列、部分无理数1ncaac列等。用裂项相消法求和，需要掌握一些常见的裂项方法：（1） ，特别地当 时，kk1k1nn（2） ，特别地当 时1nn 1n高中数学 数列 学生：赖怡文爱心 用心 专心 放心 联系电话：13670008950 第 7 页 共 11 页教师：邓老师 2013-07-20例 15、数列 的通项公式为 ，求它的前 n 项和na1()nanS解： 1231nnS14n= 111
12、231nn小结：裂项相消法求和的关键是数列的通项可以分解成两项的差，且这两项是同一数列的相邻两项，即这两项的结构应一致，并且消项时前后所剩的项数相同.针对训练 5、求数列 的前 n 项和 .111,232n nS例 16 求数列 的前 n 项和.,1,1n解：设 （裂项）na1则 （裂项求和）132nSn )()()1( n例 17 在数列a n中， ，又 ，求数列b n的前 n 项的和.121nan 12nnab解： n （裂项）)1(82nb 数列b n的前 n 项和（裂项求和）)1()43()()1(8 nS 18高中数学 数列 学生：赖怡文爱心 用心 专心 放心 联系电话：136700
13、08950 第 8 页 共 11 页教师：邓老师 2013-07-20例 18 求证： 1sinco89cos12cos1cos0 2解：设 S （裂项） nnta)1ta()cos(i （裂项求和） 89cos12cos10S 8tan9t)2tan3(t)tan(t)0ta(tsin tn89t1i 1ctsisi2 原等式成立例 19 已知 ，22()26求 的和222 23571()113nN 分析：首先将数列的通项公式化简，然后注意到它可写成两项的差，在求和的过程中，中间的项相互抵消了，从而可求出原数列的前 n 项和.解： ，22 6(1)(1)26na nn163()1216ln.
14、nSn小结：如果数列 的通项公式很容易表示成另一个数列 的相邻两项的差，即 ，则有nanb1nnab.这种方法就称为裂项相消求和法.1nSb六、合并法求和针对一些特殊的数列，将某些项合并在一起就具有某种特殊的性质，因此，在求数列的和时，可将这些项放在一起先求和，然后再求 Sn.高中数学 数列 学生：赖怡文爱心 用心 专心 放心 联系电话：13670008950 第 9 页 共 11 页教师：邓老师 2013-07-20例 20 求 cos1+ cos2+ cos3+ cos178+ cos179的值.解：设 Sn cos1+ cos2+ cos3+ cos178+ cos179 （找特殊性质项
15、）)180cos(nS n （cos1+ cos179）+（ cos2+ cos178）+ （cos3+ cos177）+（cos89+ cos91）+ cos90 （合并求和） 0例 21 数列a n： ，求 S2002.nnaa12321,解：设 S2002 0由 可得nna12321,654a,2,3, 1110987 a ,2,3,1 656466266 kkkkkk aa （找特殊性质项）054 S 2002 （合并求和）20321 )()()( 626112876 kkkaaaa 020911943 202019 4636kkkkaa5例 22 在各项均为正数的等比数列中，若 的值
16、.103231365 loglogl,9aa求解：设 1032313loglogl aaSn 由等比数列的性质 （找特殊性质项）qpnmqpn和对数的运算性质 得NMaaalll（合并求和）)log(l)og()og(l 6353932310313 aSn (l)l 659高中数学 数列 学生：赖怡文爱心 用心 专心 放心 联系电话：13670008950 第 10 页 共 11 页教师：邓老师 2013-07-20 9logl9log33310七、利用数列的通项求和先根据数列的结构及特征进行分析，找出数列的通项及其特征，然后再利用数列的通项揭示的规律来求数列的前 n 项和，是一个重要的方法.
17、例 23 求 之和.11个n解：由于 （找通项及特征）)10(9911 kkk个个 个n （分组求和）)10(9)0(9)()0(9321 n 13 个nn 910)(9n )(8n例 16 已知数列a n： 的值.11)(,)3(18nnaa求解： （找通项及特征）)4(2)3()(11n （设制分组）)(1)4(218 nn （裂项）)41384 （分组、裂项求和） 111 ()42()( nnnna 83高中数学 数列 学生：赖怡文爱心 用心 专心 放心 联系电话：13670008950 第 11 页 共 11 页教师：邓老师 2013-07-20说明：本资料适用于高三总复习，也适用于高一“数列”一章的学习。
