1、1数列求和的基本方法和技巧一、教学目标：1熟练掌握等差数列与等比数列的求和公式；2能运用倒序相加、错位相减、拆项相消等重要的数学方法进行求和运算；3熟记一些常用的数列的和的公式二、教学重点：特殊数列求和的方法数列是高中代数的重要内容，又是学习高等数学的基础. 在高考和各种数学竞赛中都占有重要的地位. 数列求和是数列的重要内容之一，除了等差数列和等比数列有求和公式外，大部分数列的求和都需要一定的技巧. 下面，就几个历届高考数学和数学竞赛试题来谈谈数列求和的基本方法和技巧. (1)利用常用求和公式求和利用下列常用求和公式求和是数列求和的最基本最重要的方法. 1、 等差数列求和公式： dnanS2)
2、1(2)(112、等比数列求和公式： )()(11 qqnnn3、 4、)(21kSn )12(612nkSn5、 213)(nk例 1 已知 ，求 的前 n 项和.logl23x nxx32解：由 21logll1l 3323 由等比数列求和公式得 （利用常用公式）nnxxS2 1n1)(2)(nn例 2 设 Sn1+2+3+n，nN *,求 的最大值.1)3()nSnf解：由等差数列求和公式得 ， （利用常用公式）21Sn )2( 1)3()nf 6432 n643150)8(12n 当 ，即 n8 时，)(maxf(2)错位相减法求和这种方法是在推导等比数列的前 n 项和公式时所用的方法
3、，这种方法主要用于求数列a n· b n的前n 项和，其中 a n 、 b n 分别是等差数列和等比数列.例 3 求和： 132)2(7531nxxS解：由题可知， 的通项是等差数列2n1的通项与等比数列 的通项之积1)(n 1nx设 . （设制错位）nn xxxx )1(432得 （错位相减）nnn xS )12(21)( 1432再利用等比数列的求和公式得： nnxSx1)( 2)()(2Snn 例 4 求数列 前 n 项的和.,26,3解：由题可知， 的通项是等差数列2n的通项与等比数列 的通项之积n n21设 nnS2432 （设制错位）1461得 （错位相减）1432 2)
4、( nn1n 24nS(3)倒序相加法求和这是推导等差数列的前 n 项和公式时所用的方法，就是将一个数列倒过来排列（反序） ，再把它与原数列相加，就可以得到 n 个 .)(1a例 5 求证： nnCC2)1()2(5320 3证明： 设 nnn CCS)12(53210 把式右边倒转过来得（反序）0113)()2( nnnn 又由 可得mn nnn CCS 110)()1(+得 （反序相加）nn2)1()20 nn)(例 6 求 的值 89sii3si2i1sin 222 解：设 . sins22S将式右边反序得 （反序） 1ii3in8in9si 22222 又因为 cos),0cos(xx
5、x+得 （反序相加）89 )89cos(sin)2(in)1(sin2 22222 S S44.5（4）分组法求和有一类数列，既不是等差数列，也不是等比数列，若将这类数列适当拆开，可分为几个等差、等比或常见的数列，然后分别求和，再将其合并即可.例 7 求数列的前 n 项和： ，231,7,412naa解：设 )()()() 1S将其每一项拆开再重新组合得（分组）)2374()11(2 naann当 a1 时， （分组求和）3Sn2)1当 时， )(1nann2)13(1nan例 8 求数列n(n+1)(2n+1)的前 n 项和.解：设 kkak23)2(4 nkkS1)12( )32(2knk
6、将其每一项拆开再重新组合得 Sn （分组）nknkk12131 )21()(3)(2223 nn （分组求和）()2nn 2)(1（5）裂项法求和这是分解与组合思想在数列求和中的具体应用. 裂项法的实质是将数列中的每项（通项）分解，然后重新组合，使之能消去一些项，最终达到求和的目的. 通项分解（裂项）如：（1） （2）)(1(nffan nnta)1ta()cos(1i （3） （4）)(n )12()2(an（5） )(1)(21)( an(6) nnnnnn S2)1(,2)1()()( 1 则例 9 求数列 的前 n 项和.,1,321,解：设 （裂项）nna1则 （裂项求和）132nS
7、n )()()1( n5例 10 在数列a n中， ，又 ，求数列b n的前 n 项的和.121nan 12nnab解： n （裂项）)1(82nb 数列b n的前 n 项和（裂项求和）)1()43()()1(8 nS 18（6）合并法求和针对一些特殊的数列，将某些项合并在一起就具有某种特殊的性质，因此，在求数列的和时，可将这些项放在一起先求和，然后再求 Sn.例 11 求 cos1°+ cos2°+ cos3°+···+ cos178°+ cos179°的值.解：设 Sn cos1°+ cos2
8、6;+ cos3°+···+ cos178°+ cos179° （找特殊性质项）)180cos(S n （cos1°+ cos179°）+（ cos2°+ cos178°）+ （cos3°+ cos177°）+···+（cos89°+ cos91°）+ cos90° （合并求和） 0例 12 在各项均为正数的等比数列中，若 的值.103231365 loglogl,9aaa求解：设 02313logloglaSn 由
9、等比数列的性质 （找特殊性质项）qpnmqpn和对数的运算性质 得NMaaalll（合并求和）)log(l)og()og(l 6353932310313 aSn (l)l 659 l9l 33310（7）利用数列的通项求和先根据数列的结构及特征进行分析，找出数列的通项及其特征，然后再利用数列的通项揭示的规律6来求数列的前 n 项和，是一个重要的方法.例 13 求 之和.11个n解：由于 （找通项及特征）)10(9911 kkk个个 个n （分组求和）)10(9)0(9)()0(9321 n 13 个nn 910)(9n )(8n例 14 已知数列a n： 的值.11)(,)3(18nnaa求解
10、： （找通项及特征）)4(2)3()(1n （设制分组）)(1)4(218 nn （裂项）)41384 （分组、裂项求和） 111 ()42()( nnnna 83课后习题：一、选择题1已知 为等差数列，其公差为-2，且 是 与 的等比中项， 为 的前 项和， ，na7a39nSa*nN则 的值为（ ）0SA-110 B-90 C90 D110 2数列 的首项为 3， 为等差数列且 。若则 ，nanb*1nnbaN3102,b7则 =（ ） 8aA0 B3 C8 D11 3已知定义在 上的函数 满足 ，当 时， 设0,()fx()32)ffx0,22()fxx在 上的最大值为 ， ，则 =（
11、）()fx2n*naNnaA B C D 1()31n 1()3n4设 是各项为正数的无穷数列， 是边长为 的矩形面积（ ） ，则 为等比数naiA1,i,2inA列的充要条件为（ ）A 是等比数列。 nB 或 是等比数列。1321,na242,naC 和 均是等比数列。D 和 均是等比数列，且公比相同。 1321,n242,n5设 为等差数列 的前 n 项和，若 ，公差 ， ，则 =（ ）Sa1a2d24kSkA8 B7 C6 D5 6已知数列 的前 n 项和 满足： ，且 那么 （ ）nSnmnS1a10A1 B9 C10 D55 二、填空题7设 是等差数列 （ ） ，的前 n项和，且 ，
12、则 nSna*N14,7a9S8在等差数列 中， ，则 _ 3724689在等比数列 中，a ， ，则公比n14aq=_； _。 2n10已知 的一个内角为 ，并且三边长构成公差为 4 的 等差数列，则 的面积为ABC0 ABC_.11 九章算术 “竹九节”问题：现有一根 9 节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面 4 节的容积共为 3 升，下面 3 节的容积共 4 升，则第 5 节的容积为 升。12等差数列 前 9 项的和等于前 4 项的和若 ，则 k=_na14,0ka三、解答题13已知等差数列 满足n2680,0a（I）求数列 的通项公式；a8（II）求数列 的前 n 项和12na
13、14已知等比数列 的各项均为正数，且 na123a2369a（I）求数列 的通项公式（II）设 ，求数列 的前 n 项和 31323logllogn nbaa nbT15已知公差不为 0 的等差数列 的首项 为 （ ）,设数列的前 n 项和为 ，且 ， ，na1aRnS1a2成等比数列41a（1）求数列 的通项公式及nnS16求下列数列的前 项和 ：nnS（1）5，55，555，5555， ，； （2） ；5(10)911,3245(2)n （3） ； （4） ；1na ,aa （5） ； ,2435,(2),n （6） 2si1isisin89 9（7）已知数列 的通项 ，求其前 项和 na65()2nn为 奇 数为 偶 数 nnS
