1、1导数复习资料一、切线问题例 1 （1）曲线 在点 处的切线方程是_.34xy,1（2）若曲线 的一条切线 与直线 垂直，则 的方程是_.l084yxl（3）过点 且与抛物线 相切的一条切线是_.0,2y（4）在函数 的图象上，切线的倾斜角小于 的点中，坐标为整数的点的个数_xy834个.（5）过点 且与抛物线 在点 处的切线平行的直线方程是 2,1P2432xy1,M（6）若曲线 在点 处的切线的倾斜角为 ，则切点 的横坐标为 xxy3P3P（7） 若曲线 存在垂直于 轴的切线，则实数 的取值范围是 .2faInya7 【答案】 解析：由题意该函数的定义域 ，由 。因为存在垂直于,00x12
2、fx轴的切线，故此时斜率为 ，问题转化为 范围内导函数 存在零点。y x解法 1 （图像法）再将之转化为 与 存在交点。当 不符合题意，当2gxa1hx0a时，如图 1，数形结合可得显然没有交点，当 如图 2，此时正好有一个交点，故有0a 0应填 或 .,|0a解法 2 （分离变量法）上述也可等价于方程 在 内有解，显然可得012xa,01xa例 2 （1）已知直线 、 分别是抛物线 在点 、 处的切线，且 ，1l22xy,1AB21l求直线 的方程l（2）已知函数 在点 处的切线为 ，求函数 的bxaxf3231, 02yxxf解析式（3）求曲线 与 在交点处的切线的两切线方程21y43y2
3、说明：1。考查导数的几何意义利用导数求曲线的切线斜率，切点坐标，曲线方程中的待定系数2已知曲线上一点的坐标，求曲线在这点处的切线方程的一般步骤：（1）根据导数的几何意义，求出曲线在一点处的切线斜率；（2）利用直线的点斜式方程，写出切线方程3已知曲线在一点处切线的斜率，求切点坐标的一般步骤：（1）设切点坐标；（2）根据导数的几何意义，求出曲线在这点处切线斜率关于切点坐标的表达式；（2）列关于切点坐标的方程，求出切点坐标二、单调性例 3 （1）若在区间 上 ，在区间 上 ，则有1,0/xf,10/xfA B C D 0f 212f（2）函数 是增函数的区间为_.32xx（3） 是函数 在区间 上为
4、减函数的（ ）axaf,A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D不充分且不必要条件（4）若函数 在区间 上是增函数，则实数 的取值范围是_.xf3,1a（5）若函数 在 上是减函数，在 上是增函数，则 的取值为 ay21,2a（6）函数 在区间 上是增函数，在区间 上是减函数xf3例 4 （1）已知函数 在 R 上是增函数，求 的取值范围f12xaa（2）已知函数 在区间 上是增函数，求实数 的取值范围34x,（3）若函数 在区间 上是减函数，在区间 上是增函213xf 4,6数，求实数 的取值范围a说明：1。考查利用导数研究函数的单调性的方法，已知函数的单调性求参数的取值或取值范围
5、2多项式函数 在一个区间上是增函数的充要条件是： ；多项式函数 在一个xf 0/xf xf/区间上是减函数的充要条件是： 0/xf3已知函数解析式求函数单调区间的一般步骤：（1）求导数 ；xf/（2）解不等式 ，求出 的单调递增区间，解不等式 ，求出 的单调0/xf 0/xfxf递减区间3注：根据教材利用导数求函数的单调区间，所求单调区间一般是开区间4已知三次函数的单调性求参数的取值范围一般步骤：（1）求二次导函数 ；xf/（2）根据多项式函数单调性的充要条件，利用二次导函数的特征列出关于参数的方程或不等式；（3）解方程或不等式得所求三、最值与极值例 5 （1）函数 的极小值是_.732xxf
6、（2）已知函数 ，且 ，则 的极大值为_.9a03/fxf（3）函数 在 上的最大值、最小值分别是_.xxf123,0（4）函数 在闭区间 上的最大值 ，则 =_.,a（5）若函数 在 处的极值为 ，则 ， abxxf2310b（6）函数 的最大值为 94y11当 时， 恒成立，则实数 的取值范围是 210x2|3xa3a例 6 （1）已知 R 上的奇函数 ，在 时 取得极值 ，求dcxaf301xf2的极大值xf（2）已知函数 ，若 的图象与 轴有且只有一个公共点，求132xfxf的取值范围a（3）已知函数 ，若对任意 都有 ，求 的取值范cxf23 2,12cxf围说明：1。考查利用导数研
7、究函数的极大值、极小值，最大值、最小值的方法，已知函数的极值求参数的值或参数的取值范围2多项式函数函数 在点 处取极值的必要条件是 ；xf0 0/xf3多项式函数函数 在点 处取极值的充分条件是：存在以 为端点的两个相邻开区间，使得 在这两个区间上的符号不同xf/4已知函数解析式求函数极值的一般步骤：（1）求导数 ；（2）求出 的零点；f/ xf/4（3）考察 在以零点为端点的相邻开区间上的符号，若左正右负，则 在公共端点处有xf/ xf极大值，若左负右正，则 在公共端点处有极小值，若左右相同，则 在公共端点处没有xf极值5求函数在闭区间 上最值的一般步骤：ba,（1）求 在开区间 上极值；x
8、f（2）比较极值与 、 的大小，最大的一个为最大值，最小的一个为最小值ff四、最优化问题例 7为赢得 2010 年上海世博会的制高点，某公司最近进行了世博特许产品的市场分析，调查显示，该产品每件成本 9 元，售价为 30 元，每天能卖出 432 件，该公司可以根据情况可变化价格（ ）元出售产品；若降低价格，则销售量增加，且每天多卖出的产品件数与商品x3054单价的降低值 |x的平方成正比，已知商品单价降低 2 元时，每天多卖出 24 件；若提高价格，则销售减少，减少的件数与提高价格 x成正比，每提价 1 元则每天少卖 8 件，且仅在提价销售时每件产品被世博管委会加收 1 元的管理费（）试将每天
9、的销售利润 y表示为价格变化值 x的函数；（）试问如何定价才能使产品销售利润最大？解：（1）当降价 时，则多卖产品 ，由已知得： ，|x2k246kxk所以 （3 分）32()309)(46)(1751)f xx当提价 时， ， （2 分）x108)80f A所以 （6 分）326(75(3) 54864xxf （2）当降价销售时， ，32()171)f，2()18)(0fxxx2,x所以有 30,12)12 (1,)2 (,0()fx 0 极大值 极小值 即 在 处取得唯一极大值 ，()fx12(12)6f5 ， （9 分）max()164f当提价销售时， 2()87640fx28(301)
10、952164x 所以当定价 18 元时，销售额最大 例 8要制作一个由同底圆锥和圆柱组 成的储油罐（如图） ，设计要求：圆 锥和圆柱的总高度和圆柱底面半径相等，都为 米.市场上，圆柱侧面用料单价为每平方米 元，圆锥侧面用料单价分别r a是圆柱侧面用料单价和圆柱底面用料单价的 4 倍和 2 倍.设圆锥母线和底面所成角为 （弧度） ，总费用为 （元）.y（1）写出 的取值范围；（2）将 表示成 的函数关系式；（3）当 为何值时，总费用 最小?y y解：设圆锥的高为 米，母线长为 米,圆柱的高为 米；圆柱的侧面用料单价为每平方米 2 元，1hl2h a圆锥的侧面用料单价为每平方米 4 元. 1 分a
11、（1） 3 分(0,).4（2）圆锥的侧面用料费用为 ,圆柱的侧面费用为 ,圆柱的地面费用为 , rl2arh2ar则 = = ,22yarlha2()hr1()cosr= = . 2(tn)cosrtan3cos（3）设 ,其中)af (0,).4则 ， 当 时，2si1(co62si10;cof当 时， 当 时，0,)62sin1()0;cof(,)642sin1()0;cof则当 时， 取得最小值，则当 时，费用 最小. y例 9某地建一座桥，两端的桥墩已建好，这两墩相距 米，余下工程只需要建两端桥墩之间的m桥面和桥墩，经预测，一个桥墩的工程费用为 256 万元，距离为 米的相邻两墩之间
12、的桥面工程x费用为 万元。假设桥墩等距离分布，所有桥墩都视为点，且不考虑其他因素，记余下(2)x工程的费用为 万元。 （）试写出 关于 的函数关系式；（）当 =640 米时，需新建多少yyx个桥墩才能使 最小？（16 分）6解：（）设需要新建 个桥墩，n(1)1mxx， 即 n=所以 (2)y=f(x)256+()256(-)+56256.xm（） 由（）知， 2332 1.fxx令 ，得 ，所以 =64()0fx3251当 00. 在区间（64，640）内为增函数，64x所以 在 =64 处取得最小值，此时， 故需新建 9 个桥墩才能使 最()f 6401.mnxy小。五、综合题选讲例 10
13、已知函数 （ 不同时为零的常数） ，导函数为 .32()()fxaba,b()fx（1）当 时，若存在 使得 成立，求 的取值范围；3a,10fx（2）求证：函数 在 内至少有一个零点；()yf0)（3）若函数 为奇函数，且在 处的切线垂直于直线 ，关于 的方程fxx230xyx在 上有且只有一个实数根，求实数 的取值范围.1()4fxt,(1)t t解：（1）当 时， = = ，其对称轴为直线 ，3afx312b31)(2bx xb当 ，解得 ，当 ， 无解，2,(3)0bf2615b,(1)0fb所以 的的取值范围为 4 分(,)（2）因为 ，2()fxabxa法一：当 时， 适合题意6
14、分01当 时， ，令 ，则 ，a0)(23axabt 0)1(23tx令 ，因为 ，()1hxt124h当 时， ，所以 在 内有零点1t(0)()yx,0)7当 时， ，所以 在（ 内有零点1t()210ht()yhx)21,因此，当 时， 在 内至少有一个零点0a()yx,综上可知，函数 在 内至少有一个零点10 分f法二： ， ， ()fb(1)2ab12()3af由于 不同时为零，所以 ，故结论成立,a0f(3)因为 = 为奇函数，所以 , 所以 ，()fx32()baxb()fxax3又 在 处的切线垂直于直线 ，所以 ，即 123y1a因为 所以 在 上是増函数，3()(fxx()
15、fx3,),()在 上是减函数，由 解得 ，如图所示，,3()0f1,0当 时， ，即 ，解得 ；1t1()4ftt43tt32t当 时， ，解得 ；30t()0ftt0t当 时，显然不成立；t当 时， ，即 ，解得 ；31()4ftt43tt3t当 时， ，故 t()0ftt2t所以所求 的取值范围是 或 t23t3t例 11已知函数 （x0） ()|lnfxab（1）若 a1，f(x )在（0，）上是单调增函数，求 b 的取值范围；（2）若 a2，b1，求方程 在（0，1上解的个数1()fx解：（1） 2ln,(2),()|ln.bxfxb 当 0x2 时， ， ()lfx()1bfxyO
16、 1 x-18由条件，得 恒成立，即 bx 恒成立b210bx 当 x2 时， ， ()2lnf()1fx由条件，得 恒成立，即 bx 恒成立10bb2 综合，得 b 的取值范围是 b2（2）令 ，即1()|2|lngxax12ln,(0),(),.axxag当 时， ， 0()lx21()ax ， 则 02xa12)()4ga即 ， 在（0， ）上是递增函数 7 分()g()x2当 时， ，2xa 1lnx0 在（ ，）上是递增函数 9 分21()gx()g2ag(x)的图象在（0，）上不间断， 在（0，）上是递增函数()gx ，而 a2， ，则 0 12 分ln2a2ln 2aa2， 3)
17、1(当 a3 时， 0，g(x) 0 在 上有惟一解1,(当 时， 0，所以 . 14 分2ln0 a2ln10(*)x设函数 ，因为在 x0 时，h ( x)是增函数，所以 h (x) = 0 至多有一解()1hx例 13已知函数 ，其中 .bf Rb,（）若曲线 在点 处的切线方程为 ，求函数 的解析式；xy2,fP13xyxf（）若 a0，求函数 的单调区间；f（）若对于任意的 ，不等式 在 上恒成立，求 的取值范围.2,110xf,4b解：（） ，由导数的几何意义得 ，于是 2 分2()afx(2)3f8a由切点 在直线 上可得 ，解得 2,P31yx7b9所以函数 的解析式为 4 分
18、()fx8()9f（） 当 时，令 ，解得 21a0()0fxxa当 变化时， ， 的变化情况如下表：x()fxf,a(,)a(,)(),a()fx 0 0 极大值来源:学.科.网 极小值 10所以 在 ， 是增函数，在 ， 内是减函数 9 分()fx,)a(),(,0)a(,)（）由（）知， 在 上的最大值为 与 的较大者，fx1414ff对于任意的 ，不等式 在 上恒成立，,20()f,当且仅当 ，即 ，对任意的 成立来源:Z#xx#k.Com10(4)f394ab1,2从而得 ，所以满足条件的 的取值范围是 16 分7b(7,4例 14已知函数 bxaf2)(在 1处取得极值 2.（1）
19、求函数 的表达式；（2）当 m满足什么条件时，函数 )(f在区间 )12,(m上单调递增？（3）若 ),(0yxP为 bxaf2(图象上任意一点，直线 l与 bxaf2)(的图象切于点 P，求直线 l的斜率 k的取值范围。解： 因 22/ )()(xf 2 分而函数 baxf2在 1处取得极值 2 所以 )1(0/f 10)(ab 14ba 所以 24xf 为所求 4 分（2）由（1）知 22/ )1(4)(8)( xxf 可知， )(xf的单调增区间是 1,所以， 12m 0m所以当 ,(时，函数 )(xf在区间 )12,(上单调递增 9 分（3）由条件知，过 )f的图形上一点 P的切线 l的斜率 k为：1 )(/xf负 正 负1120200/ )1(4)1()xxfk 1)(42020x令 20t，则 ,t, 此时 ， 4(8ttk根据二次函数 21)4(8tk的图象性质知：当 41t时， min 当 1t时， maxt所以，直线 l的斜率 k的取值范围是 4, 14 分
