1、高三数学复习教学研讨交流材料第 1 页对高三数学复习（三角部分）的一些思考（提纲）三角是高中数学的重要内容，也是代数和几何的一种重要工具，是现行高考的考试内容。由于三角概念性强、知识点多、运算复杂等因素，很多学生感到困难，然而在教师看来，相对于其它数学内容恐怕又是比较简单的内容，但在教学中却成了难点，因此在复习教学中开展有效的复习是非常重要的。三角的复习主要有五个方面：三角的有关概念（角、三角比） 、三角运算（三角恒等式） 、三角函数、反三角函数及简单的三角方程、三角的应用（解斜三角形以及在代数、几何上的应用等） 。三角函数是重点，而三角的有关概念和三角运算是难点也是关键。一、三角的有关概念1
2、角（1）理解用弧度制度量角的本质和意义。（2）理解任意角、象限角的概念。（3）掌握终边相同的角、区间角的概念及表示方法。2三角比（1）掌握三角比的定义以及由三角比的定义得出的相关结论（三角函数的定义域、象限角的三角比的符号规律、特殊角 0,345,690,1827,的三角比的值等） 。360（2）理解单位圆上的点 即 ，即单位圆上的点的横坐标等于(,)Pxy(cos,in)，纵坐标等于 ，有助于利用单位圆根据正弦（余弦）值找到角的终边位置，cossin或根据角（区间间）的位置确定正弦（余弦）的值（或范围） 。 （这里 的终边经过点 ）P二、三角运算(即三角恒等式)三角运算显然较代数的七种运算（
3、加、减、乘、除、乘方、开方、对数）复杂得多，其复杂性主要体现在：公式多；公式复杂；公式运用技巧性强。1诱导公式（9 组） 。2同角公式（8 个） 。高三数学复习教学研讨交流材料第 2 页3不同角公式（两角和与差的三角恒等式） （8 组： 、 、辅助角公式； 、2万能公式、 ；（理）积化和差公式、和差化积公式） 。2复习中要注意的问题：（1）准确理解公式、把握运算规律是关键，记忆公式是运用公式的必要前提；（2）在解决较复杂的三角式求值、化简及恒等式证明等问题中，掌握必要的运用公式的技巧必不可少，否则公式记得再多、再牢也无用武之地。主要（常用）技巧是解决三个“统一”，有：研究三角式中三角比的名称。
4、切割化弦统一到弦；万能公式（或切的互化）统一到切；研究三角式中角的关系。和、差、倍、半统一到单角（或同一个角，即把某一个角作为基本量） ；进行角的变换（配角） ，找出三角式中涉及到的角的和、差、倍、半、互补、互余等的关系；研究三角式中的代数式结构。如分式、平方、根式等，通过降幂、升幂或利用代数式恒等变形，实现代数式结构上的“统一” 。（3）充分关注三角式变形的目的（目标）：化积（商） 。化积（商）是代数式、三角式变形的一个重要问题，在代数中被称为因式分解。这是因为代数、三角研究的最根本的问题是函数、方程、不等式。由于高考、课标、教材对积化和差公式、和差化积公式的弱化（基本不作要求） ，使得三角
5、运算的化积（商）的能力很有限，这也是现行三角内容考试要求不高的重要原因，也是我们觉得三角内容较高中其它数学内容相对比较简单的原因。然而化积（商）的变形思想却是十分重要的，这也是使得辅助角公式：这一化积公式在考试中显得更为常见（或更为重要）2sincosin()aba的原因。三、三角函数三角函数作为一类重要的基本初等函数，其难处主要在于其自变量（角）的理解比较困难和三角运算的复杂性（技巧性） ，而在函数意义上来说，与代数函数（幂、指、对函数）完全没有区别。只要对函数的概念（定义域、值域、对应法则（常为函数解析式） 、反函数等） 、函数的性质（奇偶性、单调性、周期性、对称性、最值、零点等） 、函数
6、的变换（常见为和函数、积函数、复合函数，图象的平移、对称、伸缩等）以及代数函数的研究内容和方法掌握得比较高三数学复习教学研讨交流材料第 3 页好，并把这些知识和方法有效地迁移到三角函数的研究中来，一般不会有太大的困难。如果说三角函数较代数函数更复杂（难）一些，主要是由于三角函数都具有周期性导致的，而三角函数的周期性的产生是由角在“形”的意义上的周期性导致的（在三角运算上体现为诱导公式） 。1三角函数主要研究的问题（1）定义域问题；（2）值域问题；（3）对称性问题（奇偶性是对称性的特例） （中心对称、轴对称） ；（4）单调性问题；（5）最值问题；（6）周期性问题；（7） 三角函数的图象及图象的变
7、换问题，特别是形如 的函数的研究；（8）与函数、方()sin()fxAxB程、不等式有关的一些综合问题。2要特别关注的问题（这与代数函数有一定区别）（1）充分关注角。要能找得到角并会准确地表示角，在“形”的意义上即找到角在直角坐标系中终边的位置，一般来说，利用单位圆比较好，特别是已知正、余弦的值的情况；在“数”的意义上即找到 轴上的横坐标，一般来说利用图象比较好，特别是研究对称性问题、x三角函数的图象及图象的变换问题比较方便，而在研究其它问题时，我认为利用单位圆比较好（因为它更直观，看到了终边的位置） 。（2）充分关注运算。一般地，为了研究较复杂的函数，通常总是通过三角运算化成形如：（这时“
8、”可以是“ ” 、 “ ” 、 “ ”等）的形式。()yAfxBfsincostan如果三角运算不过关，函数的研究自然会寸步难行。四、反三角函数及简单的三角方程由于现行高考、课标、教材对“反三角函数及简单的三角方程”的要求比较低，反三角函数的复习要求主要体现在对其概念的理解上，即：会利用反三角函数表示角。简单的三角方程则是在掌握三个最简三角方程的基础上，会解一些能通过简单的代数或三角运算转化成最简三角方程的方程。1注重对反三角函数概念的理解。如 的三层涵义：它表示一个角；它表示arcsinyx一个在区间 内的角；它的正,2弦值等于 。高三数学复习教学研讨交流材料第 4 页2对反三角函数的图象和
9、性质的研究要求可以低一些，特别是反三角的运算性质要求更低。3最简三角方程的解集公式（含方程有解的条件）是重点，这不仅是解三角方程的需要，也是已知三角比的值求角的需要。（我认为找“角”的工具有三：单位圆；三角函数图象；最简三角方程的解集公式）五、三角的应用1在三角形中的应用（也必然包含在平面几何和立体几何的研究中） 。（1）解斜三角形。主要是正、余弦定理，三角形面积公式等的应用。（2）解与三角形有关的三角函数问题。它既要涉及到三角形中的边角关系，又要涉及到三角运算、三角函数，这是一个比较复杂、比较综合的问题，但由于积化和差公式、和差化积公式的弱化（基本不作要求） ，所以难度一般也不会太大。复习时
10、应对三角形中的边角关系作一个全面梳理，显然正、余弦定理处于核心地位，利用正、余弦定理实现边与角的转化往往是解决问题的关键。2在代数和解析几何中的应用。 （可以渗透，但要求不要太高）三角是解决代数和解析几何问题的十分重要的工具，主要体现在“三角代换” 。1在代数中的运用。如 （用 ，或 代换） 、2RxsincosxR（用 ，或 代换） 、 （用 ，或2Rxtancot2e代换） ，使代数问题三角化；万能公式是沟通三角与代数的一座桥梁，万能代换cs使三角问题代数化。2 （理科）在解析几何中的运用。主要体现在基本曲线（直线、圆、椭圆、双曲线）的参数方程和极坐标方程的运用上，事实上参数方程（角为参数、或角为字母常数）和极坐标方程表示的曲线上的点在坐标化时，事实上也是一个三角代换的问题，即实现了代数问题三角化。(上海市古美高级中学 徐新远)
