1、1英山一中课改实验班周考试题（四）（考试时间：120 分钟 总分 150分）一、 选择题：本大题共 10 小题，每小题 5 分，共 50 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1.函数 的定义域是（ ）2ln(1)34xyA.（-4，-1） B.（-4,1） C.（-1,1） D. (1,2.函数 09()fab是奇函数的充要条件是（ ）:Aab:0B :0bCa 2:0Dab3.已知 ，则 =（ ）tn222sinicosA B C D435434454已知函数 的定义在实数集 R 上的不恒为零 的偶函数，且对任意实数 x 都有()fx，则 的值是 （ ）(1xf()2fA0
2、B C1 D1 525.已知两点 (,)3,O为坐标原点，点 在第二象限，且 ，3AOC设 2()OCR则则 等于（ ）A 1 B C1 D 6.已知数列 是等差数列，若 ，且其前 项和 有最大值，那么当na10annS取得最小nS正值时， =（ ）A.11 B.17 C.19 D.217.设函数 是定义在 上的奇函数，且当 时， 单调递减，若数列)(xfR0x)(xf是等na差数列，且 ，则 的值 ( )03)()( 54321 affaffaf A 恒为正数 B 恒为负数 C 恒为 0 D 可正可负8.函数 的图像与函数 的图像所有交点的横坐标之和等1yxsin()yx于（ ）A 2 B
3、4 C 6 D 89.函数 的图象大致是( )siny2A B C D10.若 ，则 ，就称集合 A是伙伴关系的集合，集合x1x的所有非空子集中具有伙伴关系的集合的个数为（ ,0,234）A.15 B. 16 C.32 D.256二、填空题： 本大题共 5 小题，每小题 4 分，共 20 分11. = 。 23552log10l.812.函数 的定义域为_。)(l21xy13.在一个湖里有一片睡莲，睡莲的面积每天扩大一倍。如果睡莲覆盖整个湖要 48天，那么它覆盖半个湖需要 天。14.已知函数 ，当 取最大值时，x=_。)(sinco)(Rxxf )(xf15已知定义域为 R的函数 ，则下列命题
4、：yf若 恒成立，则函数 的图像关于直线 x=1对称；(1)()fxfx()yfx若 恒成立，则函数 的图像关于（1，0）对()()0ff()f称；函数 的图像与函数 的图像关于 y轴对称；(1)yfx()yfx若 恒成立。则函数 以 4为周期0(f其中正确的命题序号有 .3一、选择题答案（每小题 5 分，共 50 分）二、填空题答案（每小题 5 分，共 25 分）11 12 13 14 15 三、解答题：本大题共 6 小题，共 80 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤16. (本小题满分 12分)设 ，其中2 22|40,|(1)0AxBxax=B，求实数 a的取值范围,R如 果题 号
5、 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10答 案417.(本小题满分 12分)已知数列 中， , .na1 )(2132Nnana（1）求数列 的通项公式；（2）求数列 的前 项和 .2nanT18. （本小题共 12 分）已知 为奇函数，则)(xaf().求常数 的值.().求 的值域.)(f519. (本小题满分 12分)设 的三个内角 A,B,C所对应的边为 a,b,c,且满足ABC，2) 0accACB（1）求角 的大小；（2）若 ，试求 的最小值。23b20.(本小题满分 13分)已知二次函数 对于 恒成立。2(:(1)0,8()41)fxfxfx满 足 且 xR（1）求 ;（2）求
6、 的表达式；)（3）设 ，定义域为 D，现给出一个数学运算程度：2(gxf，若 ，则运算继续121321)()()ngxxg nxD下去；若 ，则运算停止.给出 x1= 请你写出满足上述条件的集合nD37123,x621.（本小题共 14 分）已知数列 的前 项和 .na )(2)1(NnaSn().令 ，证明数列 是等差数列，并求数列 的通项公式;b2bna().令 ，试比较 与 的大小，并予以nnn ccTc21, nT125证明.7莆田四中 2012 年高三数学暑期测试卷（考试时间：120 分钟 总分 150分）二、 选择题：本大题共 10小题，每小题 5分，共 50分在每小题给出的四个
7、选项中，只有一项是符合题目要求的1.函数 的定义域是（ C ）2ln(1)34xyA.（-4，-1） B.（-4,1） C.（-1,1） D. (1,2.函数 09()fab是奇函数的充要条件是（ D ）:Aab:B:02:0ab3.已知 ，则 =（ ）tn222sinicosA B C D435345解析：齐次式，把分母当做 1，分子分母同时除以 可得 ，故选 D。2cos454.已知数列 是首项 的等比数列，且 成等差数列，则其公比为（ na1534,a）A.1 B.-1 C.1或-1 D. 2解析：依题意得 或 ，故选 C。422513240aqq25.已知两点 (,0),ABO为坐标原
8、点，点 C在第二象限，且 ，23AO设 ()OCR则则 等于（ ）A 1 B C1 D 2解析：作出坐标系，结合平面向量基本定理可得 C。 ，86.已知数列 是等差数列，若 ，且其前 项和 有最大值，那么当 取得最小na10annSnS正值时， =（ ）A.11 B.17 C.19 D.21解析：因为 有最大值，则公差为负数，故 ，又 ，所以nS10a10a101020,aa，则那么当 取得最小正值时， =19，故选 C.92nSn7.设函数 是定义在 上的奇函数，且当 时， 单调递减，若数列 是等)(xfRx)(xf na差数列，且 ，则 的值 ( )3 )()( 54321 aafff A
9、 恒为正数 B 恒为负数 C 恒为 0 D 可正可负解析： ，24244240)()0aafffff同理 ，故选 A。15()ff8.函数 的图像与函数 的图像所有交点的横坐标之和等于（ yxsin(2)yx）A 2 B 4 C 6 D 8解析：两个图像都关于点（1,0）成中心对称。故选 B。9.函数 的图象大致是( C )sinxyA B C D解析：因为 ，此时原函数是增函数； ，112cos04yx112cos0s4yx此时原函数是减函数,结合余弦函数图象，可得选 C正确.10.若 ，则 ，就称集合 A是伙伴关系的集合，集合 的所xx ,3A有非空子集中具有伙伴关系的集合的个数为（ ）A
10、.15 B. 16 C.32 D.256解析：具有伙伴关系的元素组有-1；1； 、2； 、3 共 4组，从中任取一组，两组，三1组，四组均可组成非空伙伴集合关系，则 ，故选 A.415C二、填空题： 本大题共 5小题，每小题 4分，共 20分11. = 。623552log10l.812.设 ，若 ，则 = .20()axftd(1)fa9解析：因为 ，所以 ，又因为 ，10x(1)lg0f230()afxtdx所以 ，所以 .3()fa1a13.在一个湖里有一片睡莲，睡莲的面积每天扩大一倍。如果睡莲覆盖整个湖需要 48天，那么它覆盖半个湖需要 天。解析：指数爆炸型，需要 47天。14. 设
11、，若 ，则 在点 的切线方程为 。()ln1fx0()2fx()fx0(,)y解析： ，故切线方程为 。0 l,1ey210xye15.某数学兴趣小组对偶函数 的性质进行研究，发现函数 在定义域 上满足f ()fR，且在区间 上为增函数，在此基础上，本组同学得出如下结(2)()fxf ,论：函数 的图像关于直线 对称；函数 的周期为 2；当yxxyfx时， ；函数 的图像上横坐标为偶数的点都是函数的极小3,0f()yf值点。其中正确结论的序号是 。解析：令 代入 得 ，则有 ，1x(2)(1fxf0(1)ff()()fxffx作出此函数的草图可得正确。三、解答题：本大题共 6小题，共 80分解
12、答应写出文字说明、证明过程或演算步骤16. (本小题满分 13分)已知函数 23sincosfxx（1）求 在 上的单调区间和值域；()y0,（2）把 的图像向右平移 个单位后得到的图像，其大于零的零点从小到大组成fx6数列 ，求数列 的前 项和 。nnnS解：（1） ， 3 分23()sicossi(2)fxx当 时， ， ，故值域为 ，5 分0,2x43i133,12当 上单调递增，当 上递减。 7 分,1,12x（2） 右平移 个单位后得到 ， 9 分()sin)3fx6()sin2gx令 11分20(2ngxN故 13分(1)4nS17.(本小题满分 13分)10已知数列 中， , .
13、na1 )(2132Nnana（1）求数列 的通项公式；（2）求数列 的前 项和 .2nanT解：（1）由 相减得 ，312312()na 1(2)3na分又因为 ， ，所以 是以 为首项，公比为12a1()3(2)nnana23 的等比数列，5分则 ，又 不满足上式，故 7 分2()nna1 213()nna （2） ，由错位相减法得 。 12 分2()3nn 26(79nnT经检验， ，也满足上式。13 分118. (本小题满分 13分)设 的三个内角 A,B,C所对应的边为 a,b,c,且满足 ，ABC (2)0acBCAcB（1）求角 的大小；（2）若 ，试求 的最小值。23bABC解
14、：（1）因为 ，则 ，()0acc(2)coss0aab即 ； 3 分()os07分122sinin2sinosi()03ACCBB（2）因为 ，10 分22co34baBacac， 12 分1sB 即当且仅当 时， 的最小值为 。 13 分AC219.(本小题满分 13分)某企业科研课题组计划研发一种新产品，根据分析和预测，能获得 10万元 1000万:元的投资收益。企业拟制订方案对课题组进行奖励。奖励方案为：奖金 （单位：万元）y随投资收益 （单位：万元）的增加而增加，且奖金不超过投资收益的 ，同时奖金x 02不超过 9万元，并用函数 模拟这一奖励方案。()yfx（1）试写出模拟函数 所满
15、足的条件；（2）试分析函数模型 是否符合奖励方案的要求？并说明你的理由。4lg3f解析：（1）由题意，模拟函数 所满足的条件是： 在 上是增函()yfx()yfx10,11数； ； 。（少一个扣 2分）()9fx1()5fx6分（2）对于函数 ，显然在在 上是增函数；满足条件7 分()4lg3f10,又当 从而满足条件 8 分10,1,9xy下面证明 ，即 ，设 ，()5fl5x1()4lg3(0)5xx，因为 ，则 ， 104lg2()eex02eelg1e分则 对 恒成立，所以 递减 12()01,0x1()4lg3(0)5xx分则 ，即 恒成立，所以 ，满足条件13()g14lg305x
16、()f分20. (本小题满分 13分)已知定义在 上的奇函数， 当 时， 。R()fx()ln1()fxaR（1）求函数 的解析式；(fx（2）当 时，若函数 在 上恰有 5个零点，求实数 的取值范围。2ae()yfR解：（1）因为 是奇函数，则 ， 1()f 0分设 ，则 ， 3分0xx()ln()1ffxax则 （忽略 的情况扣 2分）5 分ln1()l()0af =0x（2）因为函数是奇函数， ，则除 0外还有两正数零点和两负数零点，且关于原()f点对称，则只要使方程 在 恰有两个不等实数根即可。6x,)分当 时， ，当 时， ， 在 递增，不合； 8 分0x1()fa()fx()fx0
17、,)当 时，令 =0得 ，则 在 上递增，在 上递减，9 分ax1x1,a1(,a要使方程 在 恰有两个不等实数根，则 10分()0f(,)()ln0(,1)f又因为 时， ，或 ，xfx11()ln 0afaeaee且 ，12 分222()ln1lln0faa则 ， ，故当 时满足题意。14 分10e()f (,1)e128642246815 10 5 5 10 15另解：当 时，设 ， ，0xln1(0)(xagxln)x又 在（0,1）上递增，在 上递减，()g,且 ， ，,;()g()1再作出函数的草图可得， ，又 ，故当 时满足题意。01a2e2(,)ae【本题对于 可以不加限制，可
18、得到 】a21. (本小题满分 13分)已知函数 ，1lnxf（1）若函数 在 上为递增函数，求正实数 的取值范围；(),)a（2）当 时，求函数 在 上的最大值和最小值；a(fx1,2（3）试比较 与 的大小，并说明理由。22ln3ln ()1n解：（1）由 可得 在 递增，故 是 的子集，21()0()axf()fx,)a1,),)a所以 。 【或由 在 恒成立，也可得 。 】3a a1,分（2）当 ，由（1）的函数 在 上递减，在 上递增。则 ； 5()fx,2,2min(1)2yf分又因为 ，则 。8 分3()3ln2()lnff1()3lnmanyf（3）令 ，由（1）得 （当且仅当a1l20l1xxtx时等号成立） ，两边同除 得 ，10t (0)t1t分令 ，可得 12分2tn22l1()()1nnn由累加法得 = 14分22l3l 34n (1)2n
