1、新王牌教育 http:/ 为进步提供动力1.4 命题的形式及等价关系教学目标：1.理解四种命题之间的相互关系，能由原命题写出其他三种形式；2.知道推出关系的概念，理解一个命题的真假与其他三个命题真假间的关系；3.掌握等价关系的概念，初步掌握反证法。4.理解充分、必要条件的概念；5.掌握充分、必要条件的判断方法。6.掌握集合的包含关系和推出关系、充分必要条件之间的联系。教学内容：1、命题：能够判断对错的语句。真命题：判断为正确的命题。假命题：判断为错误的命题。通常可以化简为： 。,若 则 的 形 式2、推出关系：一般地，如果 这件事成立可以推出 这件事也成立，那么就说由 可以推出 ，并用记号 表
2、示，读作“ 推出 ” 。换言之， 表示以 为条件， 为结论的命题是真命题。3、传递性：， ，则 4、命题的四种形式：如果把命题： 称为原命题；则我们把命题： ，,若 则 ,若 则称为原命题的逆命题，简称逆命题。命题： 称为原命题的否命题，简称否命题。,若 则命题： 成为原命题的逆否命题，简称逆否命题。其中 分别是 的否定,若 则 和 和形式。5、充分条件：一般地，用 、 分别表示两件事，如果 成立，可以推出 也成立，即 ，那么 叫做 的充分条件。说明：可以解释为：为了使 成立，具备条件 就足够了；可进一步解释为：有它即行，无它也未必不行；结合实例解释为： x = 0 是 xy = 0 的充分条
3、件， xy = 0 不一定要 x = 0.6、必要条件：如果，那么叫做的必要条件。说明：可以解释为若，则叫做的必要条件，是的充分条件；无它不行，有它也不一定行；结合实例解释为：如 xy = 0是x = 0的必要条件，若xy0，则一定有 x0；若xy = 0也不一定有 x = 0。注：根据子集的定义，我们可以发现，将符合具有性质的元素的集合记为A，将符合具有新王牌教育 http:/ 为进步提供动力性质元素的集合记为B，若 ，则 ,即 ；反之，若 ，AB是 的 充 分 条 件 则 ，也即 ，则由满足条件 的元素组成的集合是由满足条件 的A若 是 的 充 分 条 件元素组成的集合的子集。而子集需要符
4、合的条件往往可以用一种特例的形式来表示，即特例就可以作为充分条件。7、 ： 如果 ，且 ，那么记作 ，叫做 ，也称 互为与 等 价 与 等 价 与充要条件。特别的：原命题和它的逆否命题一定是等价的。即两个命题同时为真或同时为假。而逆命题和否命题同样也是等价的。当直接证明一个命题比较困难，我们有时会利用这一点来证明它的真假这就是所谓的反证法。练习一：一、填空题1. 给出下列语句：（1）上海的空气质量越来越好（2）空集是任何集合的子集（3）菱形的对角线相等（4）这次数学考试成绩及格的未必有几个。其中是命题的语句的序号为 2. 命题“能被 2 整除的数是偶数”的逆命题是 3. 已知命题 ，则命题 M
5、 与 N 的推:,;:dbMaxbcdaRNxac命 题出关系是 4. 有以下命题：（1）有男生爱踢足球（2）所有男生都爱踢足球（3）所有男生都不爱踢足球（4）至少有一个男生不爱踢足球（5）所有女生都爱踢足球，上述命题中互为否命题的一对命题的序号是 5. 下列说法中，正确说法的序号是 （1） “ 且 ”的否定形式是“ ”0ab0ab或（2）命题“对顶角相等”的否命题是“对顶角不等”（3） “方程 至多有一个实根”的否定形式是“方程 至少有两个实fx 0fx根”（4）命题“若 a，b 是正数，则 a+b 是正数”的逆否命题是“若 a+b 不是正数，则a，b 都不是正数”6. 设有两个命题：（1）
6、方程 没有实根；（2）实数 m 是非负数。如果这240xm两个命题中有且只有一个是真命题，则实数 m 的取值范围是 二、选择题7. 下列命题中的真命题是 （ ）（A）若集合 A，B 的交集是空集，则 A，B 中至少有一个是空集（B）对于实数 a，b，c，若 2,bac则新王牌教育 http:/ 为进步提供动力（C）方程 的两根异号230mx（D）若集合 A 不是集合 B 的子集，则 AB8. 下列各组命题中的两个命题互为等价命题的是 （ ）（A） “和是正数的两个数的差为整数 ”与“差为整数的两个数的和为整数” （B） “ ”与“ （C ） “ ”与“ ”a集 合 a集 合 AB（D） “若
7、”与“若 ”,MN则 ,MaN则9. 若命题 A 的否命题是 B，命题 B 的逆命题是 C，则命题 C 是 A 的逆命题的（ ）（A）否命题 （B）逆命题 （C）逆否命题 （D）不能确定10. 某个命题与自然数 n 有关，当 时该命题成立，可推得 时，该*k1nk命题也成立，现已知 n=5 时该命题不成立，则可推得 （ ）（A）n=4 时该命题不成立 （B ）n=4 时该命题成立 （C）n=6 时该命题不成立 （D）n=6 时该命题成立三、解答题11. 写出下列命题的逆命题，否命题，逆否命题，并判断其真假，（1）矩形的对角线相等（2）若实数 a，b 满足 0,12ab则 且12. 试写出一个命
8、题，再写出它的逆命题，否命题，逆否命题，并使这四个命题都是真命题。13. 如图，BM，CN 分别是ABC 的边 AC，AB 上的高，且 :BMCNAB求 证 AB CMN新王牌教育 http:/ 为进步提供动力新王牌教育 http:/ 为进步提供动力练习二：一、填空题1. “ ”是“ ”的 条件。20x1x2. “ ”是“ ”的 条件。AB3. 设 的必要非充分条件，则 的 条件。是 是4. 命题“xb0（2）b0b（4）b0a。其中使 成立的充ab分条件是（填上符合题意的条件的序号）二、选择题7. 若非空集合 是 的（ ）,MNaN则 “或 ”aM“”（A）充分非必要条件（B）必要非充分条件
9、（C）充要条件（D）既不充分也不必要条件8. 成立的 （ ）369ab是（A）充分不必要条件（B）必要非充分条件 （C）充要条件（D）既不充分也不必要条件9. “ ”的一个充分非必要条件是（ ）2abc（A）ac 或 bc （B ）a2c 或 bc 且 bc （D）a+b3c10. 一元二次方程 有一个正根和一个负根的充分不必要条件是（ 210xa）（A）a0 （C）a1三、解答题11. 设 A 是 B 的充分而不必要条件，B 是 C 的充分条件， D 是 C 的必要条件，D 是 B 的充分条件，试问：（1）D 是 C 的什么条件？（2）A 是 C 的什么条件？新王牌教育 http:/ 为进步
10、提供动力12. 已知集合 ，判断“实数2 220,40AxpqBxqp”是“ ”的什么条件，并说明理由。1pq13. 求抛物线 与 x 轴的焦点在 y 轴同一侧的一个充分非必要条221yxax件。练习三：一、填空题1. 与命题“若 ”等价的命题是 。,aMb则2. “一次函数 的图像经过原点”的充要条件是 。yx3. “ ”是“ 关 于 的二 次 方 程 有一个正根和一个负根”的 0c20axbc条件。4. 已知 成立的充要条件是 ,1xxR等 式5. ，若 “ ”的充要条件是“ ”，则“ ”是“,ABC设 有 非 空 集 合 aAaBC且 aB的 条件。a新王牌教育 http:/ 为进步提供
11、动力6. 集合 中至多只有一个元素的充要条件是 20,MxmxR二、选择题7. 集合 A=B 是集合 的（ ）ACB（A）充分非必要条件（B）必要非充分条件（C）充要条件（D）既非充分也非必要条件8. “a，b 是整数”是“方程 有且只有整数解”的（ ）20xab（A）充分非必要条件 （B）必要非充分条件（C）充要条件 （D）既非充分也非必要条件9. a，b，c 中至少有一个是非负实数的充要条件是（ ）（A）a，b，c 均不是负数 （B）a ，b，c 中只有一个是负数 （C）a ，b，c 中至少有一个是正数 （D）a ，b，c 不都是负数10. “ ”是“ ”的（ ）12,x1212,xx（A
12、）充分非必要条件（B）必要非充分条件（C）充要条件（D）既不充分也不必要条件三、解答题11. “三角形中，一条边上的中线是这条边的一半”是“这个三角形是直角三角形”的充要条件吗？为什么？12. 求证：关于 x 的方程 有一个根为 1 的充要条件是20abxc0abc新王牌教育 http:/ 为进步提供动力13. 试分别写出“二次方程 的两根为正根”的：20axbc（1）一个充分非必要条件（2）一个必要非充分条件（3）一个充要条件练习四：一、填空题（根据充分性、必要性填空）1. 若 ，则 p 是 q 的 条件。:5;:pxq2. 已知 A，B 两个命题，如果 A 是 B 的充分条件，则 的 条件
13、。AB是3. 若非空集合 ，则“ ”是“ ”的 条MNaN或 aMN件。4. 的 条件。0523x是5. 命题甲： ；命题乙： ，则甲是乙的 条件。y12xy或6. 已知 ，则 p 是 q 的 条件。:1;:0pxq二、选择题7. 设集合 的（ ）03,2,“MxNxaMN那 么 是（A）充分非必要条件（B）必要非充分条件（C）充要条件（D）既非充分也非必要条件8. 若 b0，则 的 （ ）b是（A）充分不必要条件 （B）必要不充分条件（C）充要条件（D）既不充分也不必要条件9. 设命题甲： 命题乙： 那么甲是乙的 （ ）2403xy0123xy新王牌教育 http:/ 为进步提供动力（A）充
14、分不必要条件（B）必要不充分条件（C）充要条件 （D）既不充分也不必要条件10. 设 A 是 B 的充分不必要条件，B 是 C 的充要条件，C 是 D 的必要不充分条件，则 D是 A 的 （ ）（A）充分非必要条件（B）必要非充分条件（C）既不充分也不必要条件（D）不能确定三、解答题11. 下列各题中，判断条件甲是条件乙的什么条件：（1）甲： 乙：310ab3a（2）甲： 乙：22xy0xy12. 用充分非必要条件，必要非充分条件填空：（1） 的 “2“3“xyxy且 是（2） 的 或 是13. 设集合 A，B 满足“ ”是“ ”的充分非必要条件，若AB，请写出一个符合条件的集合 B。6,xkZ14. 根据要求写出：（1） “ ”的一个必要不充分条件；0x（2） “ ”的一个充分不必要条件。
