1、第 1 页 椭圆与双曲线的对偶性质椭 圆1. 点 P 处的切线 PT 平分PF 1F2 在点 P 处的外角.2. PT 平分PF 1F2 在点 P 处的外角，则焦点在直线 PT 上的射影 H 点的轨迹是以长轴为直径的圆，除去长轴的两个端点.3. 以焦点弦 PQ 为直径的圆必与对应准线相离.4. 以焦点半径 PF1 为直径的圆必与以长轴为直径的圆内切 .5. 若 在椭圆 上，则过 的椭圆的切线方程是 .0(,)Pxy21xyab0P021xyab6. 若 在椭圆 外 ，则过 Po 作椭圆的两条切线切点为 P1、P 2，则切点弦 P1P2 的直,2线方程是 .027. 椭圆 (ab0) 的左右焦点
2、分别为 F1，F 2，点 P 为椭圆上任意一点 ，则椭圆1xya 12F的焦点角形的面积为 .12tanFPS8. 椭圆 （ab0）的焦半径公式：2xy, ( , ).1|MFe20|ex1)c2(0)F0,)Mxy9. 设过椭圆焦点 F 作直线与椭圆相交 P、Q 两点，A 为椭圆长轴上一个顶点，连结 AP 和 AQ 分别交相应于焦点 F 的椭圆准线于 M、N 两点，则 MFNF.10. 过椭圆一个焦点 F 的直线与椭圆交于两点 P、Q, A1、A 2 为椭圆长轴上的顶点，A 1P 和 A2Q 交于点M，A 2P 和 A1Q 交于点 N，则 MFNF.11. AB 是椭圆 的不平行于对称轴的弦
3、，M 为 AB 的中点，则 ，2xyab),(0yx 2OMABbka即 。02KAB12. 若 在椭圆 内，则被 Po 所平分的中点弦的方程是 .0(,)Pxy21xyab 2002xyxyab13. 若 在椭圆 内，则过 Po 的弦中点的轨迹方程是 .0,2 022双曲线1. 点 P 处的切线 PT 平分PF 1F2 在点 P 处的内角.2. PT 平分PF 1F2 在点 P 处的内角，则焦点在直线 PT 上的射影 H 点的轨迹是以长轴为直径的圆，第 2 页 除去长轴的两个端点.3. 以焦点弦 PQ 为直径的圆必与对应准线相交.4. 以焦点半径 PF1 为直径的圆必与以实轴为直径的圆相切
4、.（内切：P 在右支；外切：P 在左支）5. 若 在双曲线 （a0,b0）上，则过 的双曲线的切线方程是0(,)Pxy21xyb0.2ab6. 若 在双曲线 （a0,b0）外 ，则过 Po 作双曲线的两条切线切点为0(,)xy2xyP1、P 2，则切点弦 P1P2 的直线方程是 .21xyb7. 双曲线 （a0,bo）的左右焦点分别为 F1，F 2，点 P 为双曲线上任意一点b，则双曲线的焦点角形的面积为 .12F12tPSco8. 双曲线 （a0,bo）的焦半径公式：( , 1xy (0)2()当 在右支上时， , .0(,)M10|MFexa2|exa当 在左支上时， ,0F9. 设过双曲
5、线焦点 F 作直线与双曲线相交 P、Q 两点，A 为双曲线长轴上一个顶点，连结 AP 和AQ 分别交相应于焦点 F 的双曲线准线于 M、N 两点，则 MFNF.10. 过双曲线一个焦点 F 的直线与双曲线交于两点 P、Q, A1、A 2 为双曲线实轴上的顶点，A 1P 和A2Q 交于点 M，A 2P 和 A1Q 交于点 N，则 MFNF.11. AB 是双曲线 （a0,b0）的不平行于对称轴的弦，M 为 AB 的中点，则xyb ),(0yx，即 。02KABOM 02yxbAB12. 若 在双曲线 （a0,b0）内，则被 Po 所平分的中点弦的方程是0(,)Pxy21x.202ab13. 若
6、在双曲线 （a0,b0）内，则过 Po 的弦中点的轨迹方程是0(,)xy21xyb.202ab椭圆与双曲线的对偶性质-（会推导的经典结论）椭 圆第 3 页 1. 椭圆 （abo）的两个顶点为 , ，与 y 轴平行的直线交椭圆于21xy1(0)Aa2()P1、 P2 时 A1P1 与 A2P2 交点的轨迹方程是 .2xyb2. 过椭圆 (a0, b0)上任一点 任意作两条倾斜角互补的直线交椭圆于 B,Cxyab0(,)两点，则直线 BC 有定向且 （常数）.20BCxkay3. 若 P 为椭圆 （ab0）上异于长轴端点的任一点,F 1, F 2 是焦点, , 21xy 12PF，则 .21Ftn
7、t2co4. 设椭圆 （ab0）的两个焦点为 F1、F 2,P（异于长轴端点）为椭圆上任意一点，在2xyPF 1F2 中，记 , , ，则有 .12P1212Psincea5. 若椭圆 （ab0）的左、右焦点分别为 F1、F 2，左准线为 L，则当 0e2xy时，可在椭圆上求一点 P，使得 PF1 是 P 到对应准线距离 d 与 PF2 的比例中项.16. P 为椭圆 （ab0）上任一点,F 1,F2 为二焦点，A 为椭圆内一定点，则21xy,当且仅当 三点共线时，等号成立.211|2|aAFF2,7. 椭圆 与直线 有公共点的充要条件是002()()xyb0xByC.222Bx8. 已知椭圆
8、 （ab0） ，O 为坐标原点，P、Q 为椭圆上两动点，且 .（1）1 OPQ;（2）|OP| 2+|OQ|2 的最大值为 ;（3） 的最小值是221|OPQ24abS.ab9. 过椭圆 （ab0）的右焦点 F 作直线交该椭圆右支于 M,N 两点，弦 MN 的垂直平21xy分线交 x 轴于 P，则 .|2FeMN第 4 页 10. 已知椭圆 （ ab0） ,A、B、是椭圆上的两点，线段 AB 的垂直平分线与 x 轴相21xya交于点 , 则 .0()P22bxa11. 设 P 点是椭圆 （ ab0）上异于长轴端点的任一点 ,F1、F 2 为其焦点记21xyab，则(1) .(2) .12F21
9、2|cosPF12tanPFSb12. 设 A、B 是椭圆 （ ab0）的长轴两端点，P 是椭圆上的一点， , 2xyab PAB, ，c、e 分别是椭圆的半焦距离心率，则有(1) .(2) P 2|cos|ab.(3) .2tan12cotPABSba13. 已知椭圆 （ ab0）的右准线 与 x 轴相交于点 ，过椭圆右焦点 的直线与椭2xylEF圆相交于 A、B 两点,点 在右准线 上，且 轴，则直线 AC 经过线段 EF 的中点.ClC14. 过椭圆焦半径的端点作椭圆的切线，与以长轴为直径的圆相交，则相应交点与相应焦点的连线必与切线垂直.15. 过椭圆焦半径的端点作椭圆的切线交相应准线于
10、一点，则该点与焦点的连线必与焦半径互相垂直.16. 椭圆焦三角形中,内点到一焦点的距离与以该焦点为端点的焦半径之比为常数 e(离心率). （注:在椭圆焦三角形中,非焦顶点的内、外角平分线与长轴交点分别称为内、外点.）17. 椭圆焦三角形中,内心将内点与非焦顶点连线段分成定比 e.18. 椭圆焦三角形中,半焦距必为内、外点到椭圆中心的比例中项.椭圆与双曲线的对偶性质-（会推导的经典结论）双曲线第 5 页 1. 双曲线 （a 0,b0）的两个顶点为 , ，与 y 轴平行的直线交21xyb1(0)Aa2()双曲线于 P1、 P2 时 A1P1 与 A2P2 交点的轨迹方程是 .2xyb2. 过双曲线
11、 （a0,bo）上任一点 任意作两条倾斜角互补的直线交双xyb0(,)曲线于 B,C 两点，则直线 BC 有定向且 （常数）.20BCxkay3. 若 P 为双曲线 （a0,b0）右（或左）支上除顶点外的任一点,F 1, F 2 是焦点, 21xyb, ，则 （或 ）.12F21tant2ccotantco4. 设双曲线 （a0,b0）的两个焦点为 F1、F 2,P（异于长轴端点）为双曲线上任2xyb意一点，在PF 1F2 中，记 , , ，则有12P12P12FP.sin()cea5. 若双曲线 （a0,b0）的左、右焦点分别为 F1、F 2，左准线为 L，则当 1e21xyb时，可在双曲线
12、上求一点 P，使得 PF1 是 P 到对应准线距离 d 与 PF2 的比例中项.16. P 为双曲线 （a0,b0）上任一点,F 1,F2 为二焦点，A 为双曲线内一定点，则21xyb,当且仅当 三点共线且 和 在 y 轴同侧时，等号成21|AFF2, 2,F立.7. 双曲线 （a 0,b0）与直线 有公共点的充要条件是2xyb0AxByC.2AaBC8. 已知双曲线 （ba 0） ，O 为坐标原点，P、Q 为双曲线上两动点，且1.OPQ（1） ;（2）|OP| 2+|OQ|2 的最小值为 ;（3） 的最小值是22|24abOPQS.2ab第 6 页 9. 过双曲线 （a0,b0）的右焦点 F
13、 作直线交该双曲线的右支于 M,N 两点，弦21xybMN 的垂直平分线交 x 轴于 P，则 .|2eMN10. 已知双曲线 （a0,b0）,A 、B 是双曲线上的两点，线段 AB 的垂直平分线与21ybx 轴相交于点 , 则 或 .0()x2b20abx11. 设 P 点是双曲线 （a0,b0）上异于实轴端点的任一点,F 1、F 2 为其焦点记21yb，则(1) .(2) .12F22|cosbPF12cotPFSb12. 设 A、B 是双曲线 （a0,b0）的长轴两端点，P 是双曲线上的一点，21xyb, , ，c、e 分别是双曲线的半焦距离心率，则有(1)PBA.2|cos|a(2) .
14、(3) .2tn1e2cotPABabS13. 已知双曲线 （a0,b0）的右准线 与 x 轴相交于点 ，过双曲线右焦点 的2xyblEF直线与双曲线相交于 A、B 两点,点 在右准线 上，且 轴，则直线 AC 经过线段CBCEF 的中点.14. 过双曲线焦半径的端点作双曲线的切线，与以长轴为直径的圆相交，则相应交点与相应焦点的连线必与切线垂直.15. 过双曲线焦半径的端点作双曲线的切线交相应准线于一点，则该点与焦点的连线必与焦半径互相垂直.16. 双曲线焦三角形中,外点到一焦点的距离与以该焦点为端点的焦半径之比为常数 e(离心率).(注:在双曲线焦三角形中,非焦顶点的内、外角平分线与长轴交点
15、分别称为内、外点).17. 双曲线焦三角形中,其焦点所对的旁心将外点与非焦顶点连线段分成定比 e.18. 双曲线焦三角形中,半焦距必为内、外点到双曲线中心的比例中项.第 7 页 圆锥曲线问题解题方法圆锥曲线中的知识综合性较强，因而解题时就需要运用多种基础知识、采用多种数学手段来处理问题。熟记各种定义、基本公式、法则固然重要，但要做到迅速、准确解题，还须掌握一些方法和技巧。一. 紧扣定义，灵活解题灵活运用定义，方法往往直接又明了。例 1. 已知点 A（3，2） ，F（2，0） ，双曲线 ，P 为双曲线上一点。xy231求 的最小值。|P1解析：如图所示，双曲线离心率为 2，F 为右焦点，由第二定
16、律知 即点 P 到准线距离。12|F|PAPEAM15二. 引入参数，简捷明快参数的引入，尤如化学中的催化剂，能简化和加快问题的解决。例 2. 求共焦点 F、共准线 的椭圆短轴端点的轨迹方程。l解：取如图所示的坐标系，设点 F 到准线 的距离为 p（定值） ，椭圆中心坐标为 M（t，0） （t 为参数）l，而pbc2t再设椭圆短轴端点坐标为 P（x，y） ，则xtybp消去 t，得轨迹方程 2三. 数形结合，直观显示将“数”与“形”两者结合起来，充分发挥“数”的严密性和“形”的直观性，以数促形，用形助数，结合使用，能使复杂问题简单化，抽象问题形象化。熟练的使用它，常能巧妙地解决许多貌似困难和麻
17、烦的问题。例 3. 已知 ，且满足方程 ，又 ，求 m 范围。xyR,xy230()yx3解析： 的几何意义为，曲线 上的点与点（3，3）连线的斜率，如图所m32()第 8 页 示kmPAPB32352四. 应用平几，一目了然用代数研究几何问题是解析几何的本质特征，因此，很多“解几”题中的一些图形性质就和“平几”知识相关联，要抓住关键，适时引用，问题就会迎刃而解。例 4. 已知圆 和直线 的交点为 P、Q，则 的值为_。()xy342ymx|O解： OMPQN|5五. 应用平面向量，简化解题向量的坐标形式与解析几何有机融为一体，因此，平面向量成为解决解析几何知识的有力工具。例 5. 已知椭圆：
18、 ，直线 ： ，P 是 上一点，射线 OP 交椭圆于一点 R，点 Q 在 OP 上且xy2416lxy128l满足 ，当点 P 在 上移动时，求点 Q 的轨迹方程。|OQR分析：考生见到此题基本上用的都是解析几何法，给解题带来了很大的难度，而如果用向量共线的条件便可简便地解出。解：如图， 共线，设 ， ， ，则OQRP， ， ORQPOQxy()，Rxy()， xy()，|OQPR22点 R 在椭圆上，P 点在直线 上l第 9 页 ，22416xyxy81即化简整理得点 Q 的轨迹方程为：（直线 上方部分）()()xy523122yx23六. 应用曲线系，事半功倍利用曲线系解题，往往简捷明快，
19、收到事半功倍之效。所以灵活运用曲线系是解析几何中重要的解题方法和技巧之一。例 6. 求经过两圆 和 的交点，且圆心在直线 上的圆xy2640xy26280xy40的方程。解：设所求圆的方程为：22()()(184xyxy则圆心为 ，在直线 上31， 0解得7故所求的方程为 xy2732七. 巧用点差，简捷易行在圆锥曲线中求线段中点轨迹方程，往往采用点差法，此法比其它方法更简捷一些。例 7. 过点 A（2，1）的直线与双曲线 相交于两点 P1、P 2，求线段 P1P2 中点的轨迹方程。xy2解：设 ， ，则Pxy()， 2()，x1221 得()()()xyy21212即 yx212设 P1P2
20、 的中点为 ，则Mxy()0，k121又 ，而 P1、A、M、P 2 共线yxA0，即kP12 xy00中点 M 的轨迹方程是 402y解析几何题怎么解第 10 页 高考解析几何试题一般共有 4 题(2 个选择题, 1 个填空题, 1 个解答题), 共计 30 分左右, 考查的知识点约为 20 个左右. 其命题一般紧扣课本, 突出重点, 全面考查. 选择题和填空题考查直线, 圆, 圆锥曲线, 参数方程和极坐标系中的基础知识. 解答题重点考查圆锥曲线中的重要知识点, 通过知识的重组与链接, 使知识形成网络, 着重考查直线与圆锥曲线的位置关系, 求解有时还要用到平几的基本知识,这点值得考生在复课时
21、强化. 例 1 已知点 T 是半圆 O 的直径 AB 上一点，AB=2、OT=t (0t1)，以 AB 为直腰作直角梯形 ，使BA垂直且等于 AT，使 垂直且等于 BT， 交半圆于 P、Q 两点，建立如图所示的直角坐标系.A B BA(1)写出直线 的方程； （2 ）计算出点 P、Q 的坐标；（3 ）证明：由点 P 发出的光线，经 AB 反射后，反射光线通过点 Q.讲解: 通过读图, 看出 点的坐标.,A(1 ) 显然 , 于是 直线t1 ，tBBA的方程为 ；xy（2）由方程组 解出 、 ； ,12ty),(10P),(221ttQ（3 ） , .tkPT01 ttttkQT1202)(由直
22、线 PT 的斜率和直线 QT 的斜率互为相反数知，由点 P 发出的光线经点 T 反射，反射光线通过点 Q.需要注意的是, Q 点的坐标本质上是三角中的万能公式, 有趣吗?例 2 已知直线 l 与椭圆 有且仅有一个交点 Q，且与 x 轴、y 轴分别交于 R、S，求以线段 SR)0(12bayx为对角线的矩形 ORPS 的一个顶点 P 的轨迹方程讲解：从直线 所处的位置, 设出直线 的方程,ll由已知，直线 l 不过椭圆的四个顶点，所以设直线 l 的方程为 ).0(kmxy代入椭圆方程 得 ，22bayxb2(22bakax化简后，得关于 的一元二次方程 .)(2 于是其判别式 )(44)( 22
23、222 kbmkmk由已知，得=0即 .在直线方程 中，分别令 y=0，x=0，求得xy ).,0(SR令顶点 P 的坐标为（x，y） ， 由已知，得 .,.,ymxkyx解 得代入式并整理，得 , 即为所求顶点 P 的轨迹方程12ybxa方程 形似椭圆的标准方程, 你能画出它的图形吗?2第 11 页 例 3 已知双曲线 的离心率 ，过 的直线到原点的距离是12byax32e),0(,bBaA.23（1 ）求双曲线的方程；（2 ）已知直线 交双曲线于不同的点 C，D 且 C，D 都在以 B 为圆心的圆上，求 k 的值.)0(5kxy讲解：（1） 原点到直线 AB： 的距离 .,32ac 1by
24、ax.3,122abcbd故所求双曲线方程为 .12yx（2）把 中消去 y，整理得 .35ky代 入 078)31(2kx设 的中点是 ，则CDyxC),(),(21 ),(0xE00 0215, .313BEykx kxk即,0ky 7,15 222 kk又故所求 k= . 为了求出 的值, 需要通过消元, 想法 设法建构 的方程.7 k例 4 已知椭圆 C 的中心在原点，焦点 F1、F 2 在 x 轴上，点 P 为椭圆上的一个动点，且F 1PF2 的最大值为 90，直线 l 过左焦点 F1 与椭圆交于 A、B 两点，ABF 2 的面积最大值为 12（1 ）求椭圆 C 的离心率； （2 ）
25、求椭圆 C 的方程讲解：（1）设 , 对 由余弦定理, 得112|,|,|Prc21，1)(44)(24cos 2121211 rcararc 02e解出 .e（2 ）考虑直线 的斜率的存在性，可分两种情况：li) 当 k 存在时，设 l 的方程为 )(cxky椭圆方程为 由 得 .,1212BAbax.e22,cba于是椭圆方程可转化为 20yc将代入，消去 得 ,)(2xk整理为 的一元二次方程，得 .x 0)1(412kcx则 x1、x 2 是上述方程的两根且 ， ，22| 212)(| kcxAB也可这样求解： |212yFS|xkc第 12 页 AB 边上的高 ,1|2sin| 21
26、21 kcFBhkcS|)(22224222 41| 1.1kccckii) 当 k 不存在时，把直线 代入椭圆方程得 x 21,|,2yABSc由知 S 的最大值为 由题意得 =12 所以 2c2c26ba故当ABF 2 面积最大时椭圆的方程为： .1yx下面给出本题的另一解法,请读者比较二者的优劣：设过左焦点的直线方程为： cmyx（这样设直线方程的好处是什么？还请读者进一步反思反思.）椭圆的方程为： ),(,122BAba由 得： 于是椭圆方程可化为： .e,2c022cyx把代入并整理得： 0)(2my于是 是上述方程的两根.21,y,22121|()|ABxyy2)(42mc2)1(
27、mcAB 边上的高 ,2ch从而 222)(1)(|1 cmS .212cc当且仅当 m=0 取等号，即 .axS由题意知 , 于是 .12c21,62acb故当ABF 2 面积最大时椭圆的方程为： y例 5 已知直线 与椭圆 相交于 A、B 两点，且线段 AB 的中点在直线1xy )0(12ba上.（）求此椭圆的离心率；02:yxl（2 ）若椭圆的右焦点关于直线 的对称点的在圆 上，求此椭圆的方程.l 42yx第 13 页 讲解:（1）设 A、B 两点的坐标分别为 得1).,(),( 221 byaxyxBA，则 由, 02)( 22 baxba根据韦达定理，得 ,2)(,2121221 b
28、axy线段 AB 的中点坐标为（ ）. 22,ba由已知得 ，故椭圆的离心率为 . 22222 )(,0cacba 2e（2 ）由（ 1）知 从而椭圆的右焦点坐标为 设 关于直线 的对称点为,c,0bF)0,(bF0:yxl解得 ,2120),( 00 yxbxy且则 yx54300且由已知得 ，故所求的椭圆方程为 .4,)54(3,4202 by 1482x例 6 已知 M： 轴上的动点，QA，QB 分别切M 于 A，B 两点，xQyx是,122（1）如果 ，求直线 MQ 的方程；（2 ）求动弦 AB 的中点 P 的轨迹34|AB方程.讲解:（1）由 ，可得|由射影定理，得 ,31)2(1)
29、2|(| ABMP在 RtMOQ 中，,|,|2QB得，故 ，523| 22OOQ 5a或所以直线 AB 方程是 ;0205yxyx或（2）连接 MB，MQ，设 由点 M，P，Q 在一直线上，得),(,aP (*),2xya由射影定理得 即 |,|2MB (*),14)22ayx第 14 页 把（*）及（*）消去 a，并注意到 ，可得2y ).2(16)47(22yyx适时应用平面几何知识，这是快速解答本题的要害所在，还请读者反思其中的奥妙.例 7 如图，在 RtABC 中，CBA=90，AB=2，AC= 。DOAB 于 O 点，OA=OB，DO=2，曲线 E 过 C2点，动点 P 在 E 上
30、运动，且保持| PA |+| PB |的值不变.（1）建立适当的坐标系，求曲线 E 的方程；（2）过 D 点的直线 L 与曲线 E 相交于不同的两点 M、N 且 M 在 D、N 之间，设 ，试确定实数 的取值范围讲解: （1 ）建立平面直角坐标系 , 如图所示| PA |+| PB |=| CA |+| CB | y=动点 P 的轨迹是椭圆 曲线2)(22,1abcE 的方程是 .12yx（2 ）设直线 L 的方程为 , 代入曲线 E 的方程 ，得2kx 22yx设 M1（ , 则068)1(2kxk )()2, yNy.126,)(4)(122kxi) L 与 y 轴重合时， 31|DNMi
31、i) L 与 y 轴不重合时， 由得 又 ,.2k 21xDNMN 或 0 1 ,012x,12x 2)(121 )12(3)(64)(221 kkx而 , ,32k.8)(62k,3)(42k64A O BC第 15 页 , 的取值范围是 . 3102.13,10,21,3值得读者注意的是，直 线 L 与 y 轴重合的情况易于遗漏，应当引起警惕 . 例 8 直线 过抛物线 的焦点，且与抛物线相交于 A 两点.l )(2px ),(),(21yxB和（1 ）求证： ;（2 ）求证：对于抛物线的任意给定的一条弦 CD，直线 l 不是 CD 的垂直平分线.14x讲解: （1）易求得抛物线的焦点 .
32、 若 lx 轴，则 l 的方程为 .若 l 不垂直于 x 轴，可设)0,(PF4,221Px显 然,代入抛物线方程整理得 . 综上可知 .)2(Pxky 4,0421212Pxkx则 2p（2）设 ，则 CD 的垂直平分线 的方程为dcpDcC且),(,2 l )(dcxdcy假设 过 F，则 整理得 l )(02p 0)(22p， . 这时 的方程为 y=0，从而 与抛物线 只相交于原点. 而 l 与抛物线有22dcp0cllpxy两个不同的交点，因此 与 l 不重合，l 不是 CD 的垂直平分线.此题是课本题的深化，你能 够 找到它的原形吗？知识在记忆中积累，能力在 联想中提升. 课本是高
33、考试题的生长点，复课切忌忘掉课本！例 9 某工程要将直线公路 l 一侧的土石，通过公路上的两个道口 A 和 B，沿着道路 AP、BP 运往公路另一侧的 P 处，PA=100m，PB=150m，APB=60 ，试说明怎样运土石最省工？讲解: 以直线 l 为 x 轴，线段 AB 的中点为原点对立直角坐标系，则在 l 一侧必存在经 A 到 P 和经 B 到 P 路程相等的点，设这样的点为 M，则|MA|+|AP|=|MB|+|BP|, 即|MA| |MB|=|BP|AP|=50,M 在双曲线 的右支上.750|AB1625y故曲线右侧的土石层经道口 B 沿 BP 运往 P 处，曲线左侧的土石层经道口 A 沿 AP 运往 P 处，按这种方法运土石最省工.
