1、用心 爱心 专心 119 号编辑 1初三数学圆与圆的位置关系 圆的全章复习一. 本周教学内容：圆与圆的位置关系、圆的全章复习学习目标1. 掌握圆与圆的五种位置关系，类比于点与圆，直线与圆的位置关系，能通过两圆半径r1，r 2及圆心距 d 三者的数量关系，判断两圆位置关系，或通过位置关系，判断数量关系。2. 在数轴上表示当 d 在不同位置时，两圆的位置关系。3. 在证明两圆的或多圆的图形时，常加的辅助线：公共弦、公切线；圆心距，连心线。4. 当两圆相交时，连心线垂直平分公共弦。当两圆内切时，连心线垂直于公切线。当两圆外切时，连心线垂直于内公切线。5. 公切线是指两个圆公共的切线，如果两圆在公切线
2、同旁则称外公切线，如果两圆在公切线两旁则称内切线。公切线上两切点间线段的长叫公切线长。6. 如图内公切线长 （外离时）dRr22()外公切线长 （外离、外切、相交时）d 圆心距 R 大圆半径 r 小圆半径 Rr内 公 切 线夹 角 一 半的 正 弦 值 sinRrd外 公 切 线夹 角 一 半的 正 弦 值 sinRrd7. 公切线条数内含 0 条0r内切 1 条R相交 2 条d外切 3 条外离 4 条r8. 圆的全章复习（1）圆的基础知识圆的有关概念：用心 爱心 专心 119 号编辑 2弦，弧，半圆，弓形，弓形高，等弧（隐含同圆等圆） ，弦心距，直径等。圆的确定圆心决定位置，半径决定大小，不
3、共线的三点确定一个圆。注意：作图（两边中垂线找交点） ，外心的位置，外心到三角形各顶点距离等圆的对称性：轴对称，中心对称，旋转不变性2. 圆与其它图形（1）点与圆 三种（2）直线与圆一条直线与圆 三种两条直线与圆 有 关 的 角 ： 圆 周 角 ， 弦 切 角 ， 圆 外 角 等比 例 线 段 ： 圆 幂 定 理 等三条直线与圆三角形内切圆与圆外切三角形三角形内心（角平分线交点）位置永远在三角形内部到三角形各边距离相等四条直线与圆圆外切四边形两组对边的和相等ABDCB（3）两圆与直线两圆外切时连心线过内公切线切点与该切线垂直。两圆内切时连心线过切点，垂直于过切点的切线。两圆相交时，连心线垂直于
4、公共弦，并且平分公共弦。3. 定理（1）垂径定理及推论：过圆心；垂直弦；平分弦（非直径） ；平分优弧；平分劣弧；知 2求 3。（2）圆心角，弦，弦心距，弧之间关系：同圆等圆中知 1 得 3。（3）与圆有关的角：圆心角，圆周角，弦切角，圆内角，圆外角，圆内接四边形外角，内对角，对角（4）切线的判定、性质：判定：常见的证法连半径，证垂直，判断切线，用心 爱心 专心 119 号编辑 3“连垂切”或作垂直证 dr性质：若一条直线满足过圆心、过切点，垂直于切线中任意两条，可得另外一条。常见“切连垂”（5）和圆有关的比例线段：相交弦定理及推论，切割线定理及推论，圆幂定理4. 和圆有关的计算（1）求线段直径
5、、半径垂径定理：求弦长、弦心距、拱高切线长、公切线长（外公切线长，内公切线长）直角三角形内切圆半径任意三角形内切圆半径与面积、周长的关系等边三角形内切圆半径：外接圆半径=1：2与圆有关的比例线段、弦长、切线长等（2）求角圆心角，圆周角，弦切角，两切线夹角，公切线夹角5. 常见辅助线半径、直径、弦心距、 “切连垂” 、连心线、公共弦、公切线6. 圆中常见图形直角三角形 等腰三角形 圆内接四边形 相似三角形【典型例题】用心 爱心 专心 119 号编辑 4例 1. 已知半径分别为 R 和 r（Rr）的两圆外切，它们的两条外公切线互相垂直，则 R：r等于（ ）A. B. 2121C. D. ()解：连
6、结 O1A、O 2B、O 1O2（如图所示） ，则 O1AAB，O 2BAB，O 1O2过点 P 且平分APC，过点 O2作 O2EO 1A，则 O2EABO 1O2E=O 1PA=45，O 1O2E 是等腰直角三角形。 ，1 ，Rrr12， () ，()1r ，故选 C。Rr22()点拨：本题涉及的知识点较多，要认真审题，理清思路，解决问题。例 2. 如图所示，O 1与O 2内切于点 A，并且O 1的半径是O 2的直径，O 1B 为O 1的半径，交O 2于点 C，AD 是公切线，O 1AC=50，则BAD=（ ）A. 50 B. 40 C. 25 D. 20解：O 1A 是O 2的直径，AC
7、O 1=90又O 1AC=50O 1=40又DA 是两圆的公切线，DAB 和DAC 分别是O 1、O 2的弦切角，用心 爱心 专心 119 号编辑 5 BADO12402故选 D。点拨：利用学过的知识解决两圆位置关系问题是解决本题的关键，要学以致用，温故而知新。例 3. 已知两圆的半径分别为 8 和 6，如果两圆的圆心距为 14，则两圆的公切线条数有_。解：由题意知两圆的圆心距等于两圆的半径之和，则两圆外切，共有 3 条公切线，故应填3。例 4. 两圆的一条外公切线与连心线成 30的角，它们的圆心距是 10cm，则外公切线长为_。解：如图所示，连结 O1A、O 2B，过点 A 作 ACO 1O
8、2，则BAC=30，AC=O 1O2=10cm，在 RtABC 中，ABCcmcos()301325故应填 cm。5点拨：公切线、两圆的半径之差（或和）和圆心距构成直角三角形，是解决这部分题的关键。例 5. 已知两圆外离，圆心距为 25cm，两圆的周长分别为 15 和 ，则其内公切cm10线和连心线所夹的锐角等于_。解：如图所示，过点 O1作 O1CAB，交 O2B 的延长线于 C，两圆的周长分别为 15cm 和 10cm，两圆的半径分别为 ，152cm和 ，CO2用心 爱心 专心 119 号编辑 6又 Ocm125在 RtO 1CO2中，sinO 2O1C= ，C212O 2O1C=30，故
9、应填 30。例 6. 如果两圆外切，切点为 M，外公切线 AB，切点为 A、B，则AMB_。解：如图所示，过点 M 作两圆的公切线交 AB 于点 C，AB 是两圆的公切线，CA=CM=CBCAM=CMACBM=CMB，CAM+CMA+CBM+CMB=180CMA+CMB=90即AMB=90，故填 90点拨：本题是一道典型题，可作为一般的结论记忆。例 7. 如图所示，O 和O相交，且点 O 在O上，公切线 AC、BD 分别切两圆于A、B、C、D 四点，求证：AB 是O 的切线。证明：连结 OA、OB、OC、OD，过点 O 作 OEAB 于 E，AC、BD 是公切线，AC=BD又OC=OD，ACO
10、=BDO=90AOCBOD，CAO=DBODBO=EAO，CAO=EAO又AO=AO，ACO=AEO=90ACOAEO，OE=OCAB 是O 的切线。用心 爱心 专心 119 号编辑 7点拨：本题利用圆心到直线的距离等于半径判定直线是圆的切线。例 8. 两圆外切，两条外公切线所成的角是 60，公切线长等于 ，求两圆的半径。23cm解：如图所示，过点 A 作 AEO 1O2，设O 1和O 2的半径分别为 r 和 R。在 RtABE 中，AB= 23cmBAE=30，AE=O 1O2=R+r，BE=Rr，Rr230()cos，解这方程组，得 R=3cm，r=1cm，两圆的半径分别为 3cm 和 1
11、cm。点拨：本题涉及的知识点较多，要注意各知识点之间的联系，正确解题。例 9. 如图所示，O 1与O 2内切于 A，过 A 作大圆的弦 AD、AE 分别交小圆于 B、C，求证：ABAE=ACAD证明：过点 A 作两圆的外公切线 AF，FAB=ACB，FAB=AED，ACB=AEDBCDE，AB：AD=AC：AE，即 ABAEACAD点拨：当两圆外切或内切时，公切线是常添的辅助线，然后利用有关的角相等，找到解题思路。例 10. 如图所示，两圆内切于点 C，O 1的弦 AB 切O 2于点 E，CE 的延长线交O 1于 D，求证：AECDBDAC用心 爱心 专心 119 号编辑 8证明：过点 C 作
12、两圆的公切线 CF，则FCEDBC又AB 是O 2的切线，FCE=AEC，AEC=DBC，又A=D，AECDBC，AE：BD=AC：CD，即 AECD=BDAC点拨：作公切线，通过相似，证明结论。例 11. 如图所示，半径分别为 r 和 R 的两圆O 1和O 2互相外切，从切点到两圆外公切线的距离为 d，求证： 12rd证明：过点 O1作 O1EAB，交 O2B 于 E，交 PC 于 D，由题意知， ArRPCd， ，PDO 2E， PD： ：12 ，drOr， 2R11， ，()()()rr： ： ，d，RrRr22用心 爱心 专心 119 号编辑 9dRr()2两边同时除以 dRr，得，r
13、即 12Rd点拨：通过引辅助线，构造相似三角形，找到证题思路例 12. 如图所示，设两圆交于 P、Q 两点，过 Q 作一直线交两圆于 A、B，过 A、B 各作所在圆的切线，设它们相交于一点 M，求证 A、M、B、P 四点共圆。证明：连结 PQ、PA、PB，则MAB=APQ，MBA=BPQ，M+MAB+MBA=180M+APQ+BPQ=180即M+APB=180A、M、B、P 四点共圆。点拨：证明四点共圆的方法有许多种，请同学们自己总结一下。例 13. 如图所示，以ABC 的一边 BC 为弦的圆交 AB、AC 于点 D、E，经过 A、D、E 三点的圆的圆心为 O，求证：AOBC。证明：连结 DE
14、，过 A 作O 的切线 AM，则 AOAM，MAD=AED。又四边形 BCED 内接于圆，AED=BMAD=BAMBCAOBC点拨：本题是一个富于思考的问题，还有很多推广。例如，设 N 是ABC 的外心，其余条用心 爱心 专心 119 号编辑 10件不变，则有 ANDE，此时，所作切线是ABC 的外接圆上经过点 A 的切线。【模拟试题】 （答题时间：90 分钟）一、选择题（本题共 60 分，1-4 题每题 3 分，5-16 题每题 4 分）在下列各题的四个备选答案中，只有一个是正确的，考生要按规定要求在机读答题卡上作答，题号要对应，填涂要规范。（1）方程 化成一元二次方程的一般形式后，二次项系
15、数、一次项系数、241xx()常数项分别是（ ）A. 2，0，1 B. 2，8，1C. 2，8，1 D. 2，0，1（2）一元二次方程 的根为x256A. x13，B. 2，C. x16，D. 23，（3）若点 A（x，y）在坐标轴上，则下列式子正确的是（ ）A. B. 0y0C. D. x（4）正比例函数 的图象经过点（1，2） ，则 k 的值为（ ）ykA. 2 B. 1 C. D. 212（5）方程 的两个根为 ，那么 的值为（ ）302xx1， 12xA. 3 B. C. D. 31（6）关于 x 的方程 有两个不相等的实数根，则 k 的最小整数值kxk210()是（ ）A. 1 B.
16、 0 C. 1 D. 2（7）点 P 关于原点对称的点的坐标为（3，1） ，则点 P 的坐标为（ ）A. （3，1） B. （3，1）C. （1，3） D. （3，1）（8）函数 的自变量 x 的取值范围是（ ）yx2用心 爱心 专心 119 号编辑 11A. B. x12x12C. D. （9）直线 在平面直角坐标系中大致的位置是（如图 1）ykxbybxk12与 直 线图 1（10）在 RtABC 中，C=90，若 ，则 （ ）tanA3cotBA. B. C. D. 313232（11）在 RtABC 中，C=90，若 ，则 cosA=（ ）si1A. B. 1 C. D. 322（12
17、）下列命题中，正确命题的个数为等弧对等弦平分弦的直径垂直于这条弦直径是圆中最长的弦同圆或等圆中，等弦所对的圆周角相等A. 1 B. 2 C. 3 D. 4（13）如图 2，O 中，直径 AB弦 CD 于点 E，AE=8cm，EB=2cm，则弦 CD 的长为（ ）图 2A. 4cm B. 6cm C. 8cm D. 10cm（14）如图 3，AB 是O 的直径，C 是 AB 延长线上一点，CD 切O 于点 D，A=30，则C=（ ）用心 爱心 专心 119 号编辑 12图 3A. 40 B. 30C. 20 D. 10（15）如图 4，O 中，弦 AB、ED 的延长线交于点 C，C=45， 的度
18、数为 30，则BD的度数为（ ）AE图 4A. 60 B. 75C. 105 D. 120（16）如图 5，向高为 a 的圆柱状的水瓶中匀速注水，注满为止。下面图象中（图 6）能表示出注水量 v 与水深 h 之间的函数关系的是（ ）图 5图 6二、填空题（本题共 12 分，每小题 4 分）（1）如图 7，PA 切O 于点 A，PB 切O 于点 B，APB=90，OP=2，则O 的半径长为_。用心 爱心 专心 119 号编辑 13图 7（2）如图 8，ABCD 是O 的内接四边形，AD 是直径，CBE=50，则COD=_。图 8（3）一根弹簧的原长是 12cm，它能挂的重量不能超过 15kg，并
19、且每挂重 1kg，弹簧就伸长 ，则弹簧长度 y(cm)与挂重 x(kg)之间的函数关系式为_，自变量 x 的取12cm值范围是_。三、 （本题共 17 分，第 1 题 5 分，第 2 题 7 分，第 3 题 5 分）（1）计算： 6024340sintacotcs（2）用换元法解方程： 122xx（3）解方程组： y560，四、列方程或方程组解应用题（本题 6 分）某企业响应政府号召，为节约用水，自建污水净化站。1 月份净化污水 3000 吨，3 月份净化污水增加到 3630 吨，求这两个月污水净化量平均每月增长的百分率是多少？五、 （本题 5 分）如图 9：有一位同学用一个自制的有 30角的
20、直角三角板估测学校旗杆的高度。他将30角的直角边水平放在高 1.2m 的支架 CD 上，使得三角板的斜边与旗杆的顶点 A 在一条直线上，此时量得支架到旗杆的底部的水平距离 BD 长为 18m。用心 爱心 专心 119 号编辑 14图 9求：旗杆 AB 的高度（精确到 0.1m， ）3172 .六、 （本题 7 分）在平面直角坐标系 xOy 内，点 A 的坐标为（2，0） ，点 B 是正比例函数 上的一点。yx12（1）求出使OAB 为轴对称图形的点 B 的坐标；（2）对于（1）中所得的OAB 是否存在对称轴与 y 轴平行的情况，若存在，你能找到一点 C，使以 O、A、B、C 为顶点的四边形为中
21、心对称图形吗？若能，求出点 C 的坐标，写出直线 AC 的解析式；若不能，请你说明理由。七、 （本题 6 分）锐角三角形 ABC 中，BC=2，ABC 的面积为 2，tanB、tanC 是一元二次方程的两个根。xmx2210()求：m 的值。八、 （本题 7 分）已知：如图 10，AB 为O 的直径，点 D 是圆上一点，点 C 是 的中点，且 DEAB 于BDE，交弦 AC 于 F，分别延长线段 ED 和 AB，与过点 C 的O 的切线交于点 H、G。图 10（1）找出图中与线段 CH 相等的线段，并证明；（2）证明：ADHE=HGAE；（3）若 BG=2， ，求：HD 的长。CG23用心 爱
22、心 专心 119 号编辑 15参考答案http:/一、选择题（本题共 60 分，1-4 题每题 3 分，5-16 题每题 4 分）1. A 2. C 3. D 4. A 5. A6. C 7. D 8. D 9. B 10. A11. C 12. B 13. C 14. B 15. D16. B二、填空题（本题共 12 分，每小题 4 分）（1） 2（2）80（3） yx105()三、 （本题共 17 分，第 1 题 5 分，第 2 题 7 分，第 3 题 5 分）（1）解：原式 32432（2）解：设 ，yx2则原方程可化为 10去分母得 y2解得 12当 yx31时 ，解得 12，经检验
23、是原方程的根。x，（3） y22560， 解：由得 ，x用心 爱心 专心 119 号编辑 16把代入整理得 49502y解之得 y125，把 ；x14代 入 得把 y223代 入 得所以原方程组的解是xy12541，；四、列方程或方程组解应用题（本题 6 分）解：设这两个月污水净化量平均增长的百分率是 x根据题意得 301302()x解之得 x12，但 不合题意，故舍去。0答：这两个月净化污水的量平均增长的百分率为 10%五、 （本题 5 分）解：过 C 作 CEAB 于 E，四边形 CDBE 是矩形CE=BD=18，ACE=30在 RtACE 中， tantan30301836， ACECD
24、=BE=1.2， ABEm12659216.() 答：旗杆 AB 的高度约为 11.6m。六、 （本题 7 分）（1）解：如图 1 所示，符合题意的 B 点有四种情况。用心 爱心 专心 119 号编辑 17图 1（I）等腰三角形以点 B1为顶点，即 B1O=B1A过点 B1作 B1Dx 轴于点 D，则 OD=DA=1点 B1在正比例函数 的图象上，yx2点 B1的坐标为（1， ）（II）等腰三角形以 O 为顶点，即 OA=OB2=2过点 B2作 B2D1x 轴于点 D1，点 B2在正比例函数 的图象上，yx2设点 B2的坐标为（x， ）在 RtOB 2D1中， x22()解得 x45点 B2的
25、坐标为 ，点 B3坐标为()5， ()452，（III）等腰三角形以 A 为顶点，即 OA4过点 B4作 B4D2x 轴于点 D2，点 B4在正比例函数 图象上，yx1设点 B4的坐标为 ()，在 RtAB 4D2中， ，(xx22解得 （舍）x1650，点 B4的坐标为（ ）85，（2）对于（1）中存在对称轴与 y 轴平行的情况，如图 2 所示，存在点 C 使以O、A、B、C 为顶点的四边形为中心对称图形。由中心对称图形的性质可得点 C 的坐标为（3，） 、 （1， ）或（1， ） 。所求直线 AC 的解析式为 或2yx1yx16用心 爱心 专心 119 号编辑 18图 2七、 （本题 6
26、分）解：过 A 点作 ADBC 于 D图 3BC=2，ABC 的面积为 2 12， 则BCAD在 ；RtBDAB 中 ， ，tantan在 RtACD 中， 。C，BC=2，BC=BD+CD=2， ADBtant2CADBC(tt)(tant)1 2， 即 又 anttmm21， 21312， 解 得 ， ()()402 m9又 tantaBC0，用心 爱心 专心 119 号编辑 19 ，tantBCm210 舍去21 3八、 （本题 7 分）（1）解：CH=FH连结 OC。HG 是O 的切线，切点为 C，图 4OCA+HCA=90又DEAB 于 E，CAG+AFE=90AO=COCAG=OC
27、AHCA=AFE又AFE=HFC，HCA=HFCCH=FH（2）证明：点 C 是 的中点，BDDAC=GAC又CAG=OCADAC=OCAADOCCOG=DAG又COG+G=90，且G+H=90COG=HDAG=HAEDHEG ADHGE即 ADHE=HGAE（3）解：HG 切O 于 C， CBG2 23， ，AB=4，OB=2，OG=4用心 爱心 专心 119 号编辑 20在 RtOCG 中，可知G=30，COG=60ADE=30，连结 OD，可知ADO 为等边三角形AE=1，BE=3，DEAB 于 E，AB 是O 的直径 DEAB23，AEDHEG， ， HG5 323说明：本题只给出一种解法，其他解法相应给分。
