1、浅谈利用补形法巧解空间几何题浙江省 邬天泉 我们知道将一个四面体可以补形成为一个平行六面体.其中有两种补形的方法: 其一将四面体的六条棱作为相应的平行六面体的六个面的对角线; 其二将四面体的共顶点的三条棱作为相应的平行六面体的共顶点的三条棱(这里依顶点又可分为四种情形 ).下面举例说明几种常用的补形技巧, 我们将体会到这种方法比其它方法更快捷有效, 特别有利于考场实战.一. 将四面体补形成为平行六面体例 1.(2003 年全国高考第 12 题)一个四面体的所有棱长都为 , 四个顶点在同一个球面上, 则此球的表面积为A. B.4 C. D.6分析: 分别以正四面体 ABCD 的棱 AC, BD
2、的中点 为中心作线段且 . 得到的平行六面体就是棱长为 1 的正方体, 它的对角线就是正四面体 ABCD 的外接球的直径, 长为 . 所以 . 选 A.例 2. 如图, 甲烷 的分子结构是: 碳原子位于正四面体的中心, 4 个氢原子分别位于正四面体的四个顶点上(各个面都是正三角形的四面体叫正四面体 , 到正四面体的四个顶点的距离都相等的点叫做正四面体的中心). 设碳原子与 4 个氢原子连成的四条线段两两组成的角为 , 则 cos =A. 0 B. C. D. 解 如例 1 将正四面体 ABHD 补形成正方体, 且它们的顶点都在同一个球 C 上, 不妨设正四面体 ABHD 的各棱长为 , 如 A
3、D= , 则这个正方体的棱长为 1, 正方体的对角线就是球 C 的直径, 即 2AC= . 所以 cos =cosACD= = = 选 C.二. 将三棱柱补形成为平行六面体例 3. ( 2003 年全国高考理科第 18 题)如图, 在直三棱柱 ABC 中, 底面是等腰直角三角形, ACB .侧棱 =2, D、E 分别是 与 的中点, 点 E 在平面 ABD 上的射影是ABD 的重心 G.()求 与平面 ABD 所成角的大小（结果用反三角函数值表示） ；（）求点 到平面的距离。分析：将这个几何体补上关于平面 的对称图形既直三棱柱就得到正四棱柱 。()显然ABD 的重心 G，都在正四棱柱 的对角面
4、 内，记的中点为，由， ，得 ，又， = , ， ， ， 。 。 与平面 ABD 所成角是 arcsin .（）平面 平面 ，作 于， 面。 。点 到平面的距离为 。三. 将某个空间图形相嵌入正方体中例 4. 将一个水平放置的正方形 绕直线 向上转动一个二面角 到位置,再将所得正方形 绕直线 向上转动一个二面角 到位置 ,设平面 与水平面 所成的二面角为 , 试证: .这里 ,.解: 在棱长为 1 的正方体 内来分析.我们不妨将原题中两个正方形 及 延展到如图正方体中所示的位置与位置 .只需求出平行四边形 的面积 . 由即得所求.显然 平面 面 作 于 E 点, 平面 ,二面角 的平面角为 . .= .故 .
