1、第11章 质点系动量矩定理, 动量矩定理, 刚体定轴转动微分方程, 总结, 刚体平面运动微分方程,动量矩,例 质量为M的大三角形柱体, 放于光滑水平面上, 斜面上另放一质量为m的小三角形柱体,求小三角形柱体滑到底时,大三角形柱体的位移。,解：,选两物体组成的系统为研究对象。,受力分析，,由水平方向动量守恒及初始静止；则,设大三角块速度,小三角块相对大三角块速度为 ，,则小三角块,运动分析，,解：取起重船，起重杆和重物组成的质点系为研究对象。,浮动起重船, 船的重量为P1=200kN, 起重杆的重量为 P2=10kN, 长l=8m，起吊物体的重量为P3=20kN 。 设开始起吊时整个系统处于静止
2、，起重杆OA与铅直位置的夹角为1=60, 水的阻力不计, 求起重杆OA与铅直位置成角2 =30时船的位移。,受力分析如图示， , 且初始时系统静止，所以系统质心 的位置坐标XC保持不变。,重物的位移,船的位移x(右)，杆的位移,转动惯量是刚体转动时惯性的度量 或回转物体保持其匀速圆周运动或静止的特性,某瞬时，质点或质点系绕某点O或某轴转动时机械运动强弱的一种度量。,动量矩：,质点：,质点系：,转动惯量,动量矩定理：,质点：,质点系：,动量矩守恒：,L 0 =常数,Lz = 常数,1. 球与杆刚性连接,O,A,O,A,2. 球与杆有相对运动,O,r,3. 轮的角速度计算复合运动+平面运动,E,v
3、e,vr,vEA,vA,右图中: a.若主动力FNf，则质心不动;b.若主动力FNf，则质心向右运动.,左图质心保持不动，因为水平方向的和外力为零;,1).地面光滑时:,右图质心将沿力F方向运动.,2).地面有摩擦时:,左图质心将向右运动，,概念题. 1、 两相同的均质圆轮绕质心轴转动，角速度分别为1和2，且1 2 ，问 ： 1）哪个动量大? 分别为多少?2）哪个动量矩大? 分别为多少?,答：1）一样大，均为02）J1J2,2、汽车为何不能在光滑的水平路面上行使？,答：系统在水平方向无外力，质心在水平面运动守恒。,答：旋转时间较长的是熟蛋，时间短的是生蛋。因为，熟蛋的壳、青、黄为一整体，而生蛋
4、的则相对分离，开始时由于惯性，壳转，青、黄不转，内阻力使其早早停止转动。,3、芭蕾舞演员伸臂抬腿旋转，收回臂、腿时将会出现什么现象？为什么？,答：旋转速度更快，因为对z轴动量矩守恒。,1、怎样用旋转的方法区别生蛋和煮熟的鸡蛋，为什么？,求单摆的运动方程(摆角很小),练习:,研究小球,两个质量为m1 ，m2 的重物分别系在绳子的两端，如图所示。两绳分别绕在半径为 ， 并固结在一起的两鼓轮上 求：鼓轮的角加速度和轴承的约束力。,系统对O的轴总动量矩,应用动量矩定理,解：设鼓轮的角速度和角加速度分别为 。,求轴承的约束反力：,讨论：若两鼓轮对O轴的转动惯量为Jo，重为W，结论如何？, 刚体对z 轴的
5、转动惯量(moment Of inertia), 刚体定轴转动微分方程, 刚体定轴转动运动微分方程 (differential equations Of rotation of body with a fixed axis),质点系的动量矩定理,应用于刚体定轴转动的情形，有：,定轴转动的动量矩,即为刚体定轴转动的微分方程。,与质心运动定理 比较之。,6. 刚体平面运动的微分方程,刚体的平面运动可以分解为随任选基点的平动和绕该基点的转动。 这里，以质点系的质心C为基点，则随质心C的平动用质心运动定理、绕质心C的转动用相对于质心的动量矩定理，即得刚体平面运动的微分方程：,其投影式为：,或：,实际上
6、，动量矩定理除了对固定点O、固定轴z、质心C可以取矩外，还可以对瞬心P取矩，但是要求瞬心P到质心C的距离保持为常量，其公式的形式不变。,O： 固定点,z： 固定轴,C： 质心,P： 瞬心，要求PC=常量,在圆轮作纯滚动及椭圆规机构中， 此式显得特别方便。,例：半径为R、质量为m的均质圆轮绕质心轴z以匀角速0转动。今欲制动，闸瓦压力Q、摩擦系数f，求制动所需时间。,解：研究轮子，分析受力：,列出动力学方程：,练习题：均质圆柱体半径为r，重为Q，放在粗糙的水平面上，设质心速度v0 ，具有初角速度0 ，且r0 v0 ，圆柱与地面间的摩擦系数为fk ，问（1）经过多少时间，圆柱体才能只滚不滑地向前运动
7、？ 并求该瞬时圆柱体中心的速度 （2）若轮上作用一力偶M，则力偶必须符合什么条件才能使轮滚而不滑？,解:受力如图:,用平面运动微分方程:,只滚不滑时，,运动规律（曲线匀变速运动5-28式）,只滚不滑前，,只滚不滑时，,例题：两均质杆AB=BD=l，质量均为m，现突然撤去支座D，求该瞬时A端的反力。,解：研究BD，定轴转动,再研究AB：静平衡，,初瞬时，=0，,解除约束前： FOx=0,FOy=mg/2,突然解除约束瞬时：FOx=？,FOy=？,突然解除约束瞬时，杆OA将绕 O轴转动，不再是静力学问题。 这时， 0， 0。需要先 求出 ，再确定约束力。,应用定轴转动微分方程,练习题：,应用质心运
8、动定理,解除约束的前、后瞬时，速度与角速度连续，加速度与角加速度将发生突变。,突然解除约束问题的特点, 系统的自由度一般会增加；,例题：如图所示，两均质圆轮半径分别为rA和rB ，重为PA和PB ，鼓轮B上作用主动力偶矩M，A轮与斜面间无相对滑动，求B轮从静止开始转过角时的角加速度及支座B处的反力。,解：,、分析所给系统的构成及各部分作何种运动，一般应拆开分别研究。,、先研究B，作受力图：,作定轴转动，列动力学方程：,（1）,.再研究A，作受力图：,作平面运动，列动力学方程：,（2）,（3）,再列补充方程 一般为运动学关系：,（4）,（5）,以上5个未知量均可求解，从中解出B为常量,欲求支座反
9、力，则需对轮B列质心运动定理：,（6）,（7）,求：1、圆轮滚动到任意位置 时，质心的加速度；2、圆轮在斜面上不发生滑动 所需要的最小摩擦因数。,半径为r的均质圆轮，在倾角 的斜面上，从静止开始向下作无 滑动的滚动。,练习题：,解：受力分析,1、圆轮质心加速度 :,Wmg圆轮所受重力； F 滑动摩擦力；FN 斜面约束力。,根据平面运动微分方程,圆轮作平面运动，,根据圆轮作纯滚动的条件,aC =r,2、圆轮在斜面上不发生滑动 所需要的最小摩擦因数:,纯滚动时，滑动摩擦力一般小于最大静摩擦力 FN fs,应用动量矩定理时, 一般情形下，应该以定点、定轴或质心(平移系)为矩心，或取矩轴；若运动过程中，质心与速度瞬心间的距离始终保持不变，则可以瞬心为矩心建立动量矩定理。, 动量矩定理主要应用于分析具有转动系统的动力学问题。, 对于定轴问题，系统各部分对定轴的角速度必须是同一惯性参考系中的角速度，也就是绝对角速度。, 计算动量矩以及外力矩时，都要采用相同的正负号规则 右手定则。, 总结,作业：11-15，11-22,概念题. 1、均质圆轮半径均为r，求在下列不同形式下的动量、对O点的动量矩。,答：1）动量： 0、 mr、 mr,2）动量矩： Jo 、Jo、 Jo,
