1、录入：李俊杰 1抽象函数周期与对称轴的相关结论一、教学内容 抽象函数的周期与对称轴二、教学重、难点 重点：抽象函数周期与对称轴的相关结论。难点：结论的推导证明，利用结论解决问题三、具体内容1. 若 则 的周期为 。)()Txff(xfT2. 若 则 的周期为 。 ba)ab证：令 x)(xff3. 若 则 的周期 。)()(fT2证：令 ax)(abxff令 b)(由得： )(xfxf )()(abaf abT24. 若 则 图象的对称轴为 。xffx证：要证原结论成立只需证 )2()2(f令 代入 则xab2xbf)2()(xbafxbaf 5. 若 则 的图象，以 为对称中心。)()(ff
2、 (f 0,2证：方法一：要证原结论成立只需证 )()xbafxbaf 令 代入 xab2()(xf则 2)(f方法二：设 它的图象为 (xfyC则 关于点 的对称点 CxP),(0P0,2ba),(0 yxbaP)()( 0000 fxfxbafbaf )(yx0yf C【几个重要的结论】录入：李俊杰 2（一）函数图象本身的对称性（自身对称）1、函数 满足 （T 为常数）的充要条件)(xfy)()(xfTf是 的图象关于直线 对称。2、函数 满足 （T 为常数）的充要条件)(xfy)2()xff是 的图象关于直线 对称。3、函数 满足 的充要条件)(xfy)()(xbfaf是 图象关于直线
3、对称。22ba4、如果函数 满足 且 ， （ 和 是不相等的常数） ，)(xfy)()(11xTff)()(2xTff12T则 是以为 为周期的周期函数。25、如果奇函数 满足 （ ） ，)(xfy)()(xff0则函数 是以 4T 为周期的周期性函数。6、如果偶函数 满足 （ ） ，)(xfy)()(xTff则函数 是以 2T 为周期的周期性函数。（二）两个函数的图象对称性（相互对称） （利用解析几何中的对称曲线轨迹方程理解）1、曲线 与 关于 X 轴对称。)(xfy)(xf2、曲线 与 关于 Y 轴对称。3、曲线 与 关于直线 对称。)(xfy)2(xaf a4、曲线 关于直线 对称曲线为
4、 。0,b0)2,(ybxf5、曲线 关于直线 对称曲线为 。)(yxf 0cyx ),cxf6、曲线 关于直线 对称曲线为 。, (y7、曲线 关于点 对称曲线为 。0)(yxf ),(baP0)2,bxaf注：一个结论：设 ， 都有 且 有 个实根 ，则所有fRx()xf(fk)2(实根之和为 ka【典型例题】【例 1】 对于 ， 有下列命题。)(xfy录入：李俊杰 3（1）在同一坐标系下，函数 与 的图象关于直线 对称。)1(xfy)1(xfy1x（2）若 且 均成立，则 为偶函数。)()(xff2)(f（3）若 恒成立，则 为周期函数。1x)(xfy（4）若 为单调增函数，则 也为单调
5、增函数，其中正确的为)(f a)10、解：（2） （3）【例 2】若函数 有 求 。3)()axfR)()1(xfxf)2(f解： ， 知 的图象关于 对称而 的对称中心 Rx1f0, 3ax)0,(aP 则3)(x 6)3(1)2(f【例 3】设 是定义在 上的函数， 均有 ，当 时，)(xf Rxf 1x，求当 时， 的解析式。12)(f 3)(xf解：由 有 得Rx2)(f 4T设 则 ， ,1, )()2()42()( xfxfxff ， 时5)()()( xxff 315【例 4】已知 是定义在 上的函数且满足 ，当 时有 则R)(xf 1,0x2)(xf（1） 是周期函数且周期为
6、， （2）当 时，)(xf 2,2（3） 其中正确的是？ 435,20解：（1） （2） （3）【例 5】已知 满足 ， ，当 时)(xf )2()(xff )4()(xff26x且 ，若 ， ， 求 大小关系？cbxf2)( 1343bm2cn)1(fppnm、解：由已知得 ，对称轴 也为一条对称轴T 由 8b1)4(f 346c ， ， )3(fm)2(fn)3(fppn【例 6】 定义在 上的函数 既是偶函数又是周期函数，若 的最小正周期是 ，且当Rx)(xf时， 求 的值。2,0xxfsi)()35(f录入：李俊杰 4解 23sin)3()32()32()5( fffff【例 7】 设
7、 定义在 上， 有 且当 时，xfyRnm, )(fmf0x1)(xf（1）求证： 且当 时， （2）求证： 在 上递减。1)001)(xR解：（1）在 中，令 得)(fnf0n、 )(1)(ff 设 ，则 令 代入条件式)xxxnm、有 而 )(0(xff10(f 1)()ff（2）设 则 21x1(12xf令 则 代入条件式得2xnm、 12x)()(1212xff即 在 上递减1)(02f )(12ff)xfR【模拟试题】一、选择题1. 已知 满足 ， 且 是奇函数，若 则 （ ）)(xf )(3(xffR)(xf 2)1(f)0(fA. B. C. D. 222232. 已知 是定义在
8、 上的偶函数，且 对任何实数均成立，当 时，)(xfR)(4(xff2x，当 时， （ ）40398x)xA. B. 398 C. D. 40x x40x3983. 若函数 ， 都有 则 等于（ ）)sin()(xf R)6()(ff(fA. B. C. D. 或34. 函数 是（ ）)2co(yA. 周期为 的奇函数 B. 周期为 的偶函数C. 周期为 的奇函数 D. 周期为 的奇函数45. 的图象关于 轴对称的充要条件是（ ）)sin()(xf yA. B. C. D. 2kk2 k6. 如果 且 则 可以是（ ）)()(xfxf)(xff(f录入：李俊杰 5A. B. C. D. x2s
9、inxcosxsinxsin7. 为偶函数的充要条件是（ ）)(3)(yA. B. C. D. k6k62k6k8. 设 是 上的奇函数， 当 时， ，则 （ ）)(xfR)()2(xfxf10xf)()5.7(fA. B. C. D. 5.0.5.15.9. 设 ， 有 那么（ ）cbf2)(t)2()(tftfA. B. C. D. )4(1f4)1(4ff)1(2)4(ff10. 定义在 上，则 与 的图象关于（ ）)(xfyR1(xfy)(xyA. 对称 B. 对称 C. 对称 D. 对称00二、 填空题1. 是 上的奇函数，且 ， )(xf )(2(xfxf )203()3(2fff
10、f 。2. 函数 的图象的对称轴中最靠近 轴的是 。)32sin(y y3. 为奇函数，且当 时， 则当 时 。)(xf 0x2)(xf 0)(xf4. 偶函数 的定义域为 ，且在 上是增函数，则R,（1） （2）)1()43(2aff )1()43(2aff（3） （4） 中正确的是 。三. 解答题1. 设 是定义在 上的偶函数，图象关于 对称, 都)(xfR1x21,01x、且 。 （1）求 、 （2）证明： 是周期函)(2121ff0af )2(f4f )(xf数2. 如果函数 的图象关于 和 都对称，证明这个函数满足 。)(xfyx)(ba )()(fbaf3. 已知 对任意实数 都有
11、 ，比较 与 的大小。cbf2)( t)1()(tftf)21(ff4. 定义在实数集上的函数 ，对一切实数 x 都有 成立，若方程 仅有)(xf x0)(x个不同实根，求所有实根之和。10【课后练习】录入：李俊杰 61、定义在实数集上的奇函数 恒满足 ，且 时, ,)(xf )1()(xff)01(512)(xf则 _。)20(logf2、已知函数 满足 ，则 图象关于_对称。)(xfy0)2()xf )(xfy3、函数 与函数 的图象关于关于_对称。11y4、设函数 的定义域为 R，且满足 ，则 的图象关于_)(xfy )1()(xfxf)(xfy对称。5、设函数 的定义域为 R，且满足
12、，则 的图象关于)(f )()(ff)1(f_对称。 图象关于_对称。xy6、设 的定义域为 R，且对任意 ，有 ，则 图象关于)(f x)2(1(xff)2(xfy_对称， 关于_对称。xfy7、已知函数 对一切实数 x 满足 ，且方程 有 5 个实根，则这)()4()2(xff0)(xf5 个实根之和为（ ）A、5 B、10 C、15 D、188、设函数 的定义域为 R，则下列命题中，若 是偶函数，则 图象)(xfy )(xfy)2(xfy关于 y 轴对称；若 是偶函数，则 图象关于直线 对称；若)2)(xfy2，则函数 图象关于直线 对称； 与 图象)2()(xfxf(xfy2)(xfy
13、)(xfy关于直线 对称，其中正确命题序号为_。9、函数 定义域为 R，且恒满足 和 ，当)(fy )()(xff)6()(ff时， ，求 解析式。62xx21)(f10、已知偶函数 定义域为 R，且恒满足 ，若方程 在 上)(fy )2()(xfxf 0)(xf4,只有三个实根，且一个根是 4，求方程在区间 中的根。10,8【模拟试题答案】一1. B 2. C 3. D 4. C 5. C 6. D 7. B 8. B 9. A 10.B二1. 2. 3. 4. 012x2x)(三. 1. 解：（1） 都有,0,)(2121xfxf )()(fxf ,0 2)1()1(ff录入：李俊杰 7
14、， 21)(af2)41()fff41)(af（2）由已知 关于 对称 即 ，xf xfxf)2(xffR又由 是偶函数知 ，)( )(fR ， 将上式中 以 代换得)2xffx)()xff 是 上的周期函数，且 是它的一个周期)(xR22. 证： 关于 和 对称 ， fabx)2()xafxf)2(xbff 令 ，则)2()(fxAAb 即Abf)()(2xfaf3. 解：由 知抛物线 的对称轴是 1 而)1()(tftcbx2 )32(ff根据 在 上是增函数得 即xf,)3(ff)2(ff4. 解：设 即 u2uu 有 所有实根之和为Rx)3()xff301【课后练习答案】： ： ： ：y 轴即 ：y 轴1T2)0,1(3T140x5T1x： ：C ： 64x78T：9T ),682()8(21,)( Zkxk kxf：方程的根为 共 9 个根。10 10646
