1、物 理 方 程,应力只取决于应变状态，与达到该状态的过程无关x= x(x，y，z，xy，yz，zx) y= y (x，y，z，xy，yz，zx) .zx= zx (x，y，z，xy，yz，zx),一般表示,对于线性弹性材料，应力与应变是线性关系x =c11x+ c12y+ c13z+ c14xy+ c15yz+ c16zxy =c21x+ c22y+ c23z+ c24xy+ c25yz+ c26zxz =c31x+ c32y+ c33z+ c34xy+ c35yz+ c36zx xy =c41x+ c42y+ c43z+ c44xy+ c45yz+ c46zxyz =c51x+ c52y+
2、c53z+ c54xy+ c55yz+ c56zxzx =c61x+ c62y+ c63z+ c64xy+ c65yz+ c66zx系数cmn共36个取决于材料弹性性质，与坐标系选取有关,张量形式表示ij =Cijklkl 其中Cijkl称为四阶弹性张量，共81个分量。 同样也取决于坐标系，服从四阶张量的坐标变换定律 弹性张量的对称性（1）根据应力张量和应变张量的对称性Cijkl= Cjikl （2）根据应力张量和应变张量的对称性Cijkl= Cijlk 独立的分量也是36个。,（3）应变能存在，则弹性张量关于ij和kl也应对称Cijkl= Cklij 独立的弹性常数共有21个 两种表示方式之
3、间的关系弹性系数c的下标 1、 2、 3、 4、 5、6对应于张量C的指标11、22、33、12、23、31例如： c11C1111 c12C1122 c13C1133 c14C1112 弹性系数cmn也应具有对称性cmncnm,材料对称性,弹性对称面该面对称的两个方向具有相同的弹性关系,以最后一个方程为例zx 反号，而x，y，z和xy不变，c61c62c63c640x =c11x+ c12y+ c13z+ c14xyy =c12x+ c22y+ c23z+ c24xyz =c13x+ c23y+ c33z+ c34xy xy =c14x+ c24y+ c34z+ c44xyyz = c55y
4、z+ c56zxzx = c56yz+ c66zx,正交各向异性材料具有三个相互正交的弹性对称面。独立弹性常数减少到9个x =c11x+ c12y+ c13zy =c12x+ c22y+ c23zz =c13x+ c23y+ c33z xy = c44xyyz = c55yzzx = c66zx各种增强纤维复合材料和木材等属于这类材料,横观各向同性材料存在一个弹性对称轴，在垂直该轴的平面内材料各向同性将x，y轴互换时，材料弹性关系不变 c11=c22， c13=c23， c55=c66将坐标系绕z轴旋转450，剪切应力应变关系不变， c44=(c11 c12)x =c11x+ c12y+ c1
5、3zy =c12x+ c11y+ c13zz =c13x+ c13y+ c33z xy =(c11 c12) xyyz = c55 yzzx = c55 zx独立的弹性常数减少到5个。例如：层状结构的岩体。,各向同性弹性体,广义Hooke定律将x轴与z轴互换，或将y轴与z轴互换时，材料弹性关系不变， c11=c33， c12=c13， c55=c66=(c11 c12)于是，独立的弹性常数减少到2个x =c11x+ c12y+ c12zy =c12x+ c11y+ c12zz =c12x+ c12y+ c11z xy =(c11 c12) xyyz =(c11 c12) yzzx =(c11
6、c12) zx,令c12=， c11 c12=2G 、G称为Lame弹性常数x=2Gx + xy =Gxy y=2Gy + yz = Gyz z=2Gz + zx = Gzx =x + y + z 是体积应变,广义Hooke定律的张量形式ij=kkij +2Gij ij =Cijklkl Cijkl=ijkl+G(ikjl+iljk) 式中ij是二阶单位张量某个面上的剪切应力为零时，剪应变也为零应力的主方向与应变的主方向重合,体积应力与体积应变关系将等式对应相加，可得平均应力与体积应变的关系：30=(2G+3) 式中0=(x+ y+z)/3是平均应力。0=K 式中 K = (3+2G)/3 是
7、体积变形模量。,偏应力与偏应变关系x=2Gx + sx+0=2G(ex + )+ 将体应力与体应变关系代入：sx=2Gex 同理可得：sy=2Gey sz=2Gez 张量形式表示为sij = 2Geij 在线弹性范围内，偏应力只产生偏应变，即只产生形状改变，体积应力只产生体应变，即只产生体积改变。,弹性常数之间的关系,单轴拉伸使用物理关系，有：x = 2Gx+(x+y+z)0 = 2Gy+(x+y+z) y = z,纯剪实验使用物理方程，xy = 2Gxy，G是剪切模量。 G、K、E和共5个弹性常数，但只有2个独立,由应力表示应变,正应力只产生正应变；剪应力只产生剪应变。 每个应变等于各个应力
8、单独作用时产生的应变之和。,弹性应变能,一维情况一细长杆，长度L，横截面积S，两端受拉力P作用，伸长量为L，外力功为由于应力x=P/S，x=L/L，上式可写成,单位体积的应变能W为求应变能相对应变的偏导,三维情况考察微小六面体，作用的应力分量ij，由此产生的应变分量ij各应力分量ij都只在指标与它相同的应变分量ij上做功，,根据能量平衡，单位体积的应变能应是所以dW=ijdij 对于弹性体，应变能只取决于状态，而与达到该状态的路径无关是应变状态的单值函数W=W(ij)，应变能增量dW必须是全微分=ijdij 上式对于任意的应变增量dij都应成立，,可导出如下对称性Cijkl= Cklij 将物理方程ij =Cijklkl代入dW=ijdij，考虑对称性，则W= Cijklijkl = ijij,应变能分解应变能可分解为体积改变能和形状改变能。W = ijij = (sij +0ij)(eij + kkij)= 0kk+ sijeij 第一项是体积应力在体积应变上做的功，称为体积改变能；第二项是偏应力在偏应变上做的功，称为形状改变能。在各向同性情况下，应变能由应变表示为W = K(kk)2+ (2G)eijeij 或者用应力表示为W = (0)2+ J2 应变能函数W应是正定的，即W0，,
