1、1授 课 教 案课程名称： 弹塑性力学及其应用 总 学 时： 32 总 学 分： 2 课程类别： 必修 任课教师： 易先中 单 位： 机械工程学院 职 称： 教授 授课专业： 机械 授课班级： 机械 S121 201 201 学年 第 学期2课 题 接触问题学 时 2教学目标与要求本课程的目的主要是让学生在硕士学习期间在掌握了解接触应力所产生的应力效应，如：接触应力的边界效应等；了解工程实际中的几种典型接触问题，如：圆柱体之间的外接触、圆柱体之间的内接触和球体之间的接触等；了解工程实际中典型零件的接触问题，如：齿轮传动的接触问题，滚动轴承的接触问题，轴毂配合的接触问题。重 点1、掌握平面接触问
2、题和空间接触问题的分析，以及半无限平面问题的求解；2、研究两个平行轴圆柱的接触问题；3、掌握一般情况下的弹性接触问题。难 点1、了解齿轮接触问题；2、了解空间轴对称问题；3、了解半空间体受几种典型载荷作用下的情况。教学方法与手段多媒体做习题举例子参考资料1、徐秉业,黄炎,刘信声等编，弹塑性力学及应用，机械工业出版社，19892、 （英）K.L.Johnson 著， Contact mechanics ，Cambridge University Press，First published 19853、 （加）格拉德韦尔（Gladwell,G.M.L.）著, 经典弹性理论中的接触问题, 北京理工大
3、学版社，1991 年 12 月4、吴家龙编著， 弹性力学同济大学出版社，1987 年 8 月3教学内容9-1 弹性力学半无限楔形体与半无限平面问题我们先分析研究如图 9-1。所示的半无限楔形体，楔体的顶角为 2，楔体的厚度等于 1，顶端受集中力 P 的作用。当 =0 时，如图 9-1b 所示，当 =/2 时，如图 9-1c 所示，此两种特殊情况均为解决无摩擦及有摩擦时两圆柱体接触问题的重要的基础。我们也可以引进应力函数 ，但是它是 r 与 的函数，所以我们应该将平面问题的基本方程9-1 半无限楔形体受集中力作用0)( 4222 yxyx转换成极坐标的形式。极坐标与直角坐标之间的关系为xytgx
4、ryrx 122,sin,co所以得 sin,cyxrxyxi1)(22rxyxycos1)(22由于 是 x,y 的复合函数所以有 sin1cosrrx5cos1sinryry重复上述运算可得出 22 2 2211sincossincocosisiy rxxxrrrrr i222 2211sin2sincocosx ryyyrr r22 222221 1cosinsincoxyxyryxyxrr r 利用这些公式，很容易证明，222xyrr所以极坐标表示的双调和方程可写成（9-1）2224110rrrr 利用以上关系式，也可得 用应力函数 表示。令 x 轴与 r 轴重合，y 轴与rr, 轴重
5、合，亦即 ，则02 200 0,rx yyx 200rxyxy由此可得6（9-2）2222111rrrrr现在应用量纲分析来选取本例的应力函数 ,由于楔形体内任意一点的分量与 ,P, r, 等诸量有关，为此应力分量也只能包括这些量。其中 , , 为无量纲的数量，P 的量纲是力/长度，r 的量纲是长度，而应力分量的量纲是 ，则这个表达式应取成 的形式2长 度力 Pk，式子中 k 为由 , , 所组成无量纲数量。而由极坐标的表达式 ，21rr， 表达式可知，应力函数 中的 r 的幂次应该比应力分量中 r 的2rrr1幂次高二次，亦即应力函数 只能包含 r 的一次幂，为此可设应力函数为（9-3）f将
6、上式代入2224110rrrr得 423dfffd亦即 420fff此四阶常微分方程的通解为（9-4）cosincossfABCD式中 A、B、C、D 均为积分常数，因此应力函数的具体形式为 i inrrr上式中右边的前两项为 ，由于它是坐标 x, y 的线性项，不产csAxBy生应力，故可删去，则应力函数 可简化为 osiCrDr相应的应力分量为 21cinr Cr7210, 0rr由上式可见，楔形体左右两面的边界条件都可以满足 ,r面对如图 9-1a 所示的任一圆柱 mn，该截面上只有 ，所以 mn 截面上的 组成的合力rr沿 x,y 方向的分力应与外载荷的分力组成平衡力系，可得 cosc
7、os,sinsinr rdPdP 将以上应力分量表达式代入上式后得 22inco0sicossinDCd 积分后得 2in0,ii0PP所以得积分常数 sicos,2in2CD最后可得应力分量为（9-5）2cossin,0,ir rP上式中当 （图 9-1b）及 （9-1c ）时两种特殊情况，是为了解决两圆柱体接触问题090受正压力及摩擦力作用时的基础，为此分别列出如下。（1）当 时，得（9-6）2cos,0,(in)r rP如转换成直角坐标表示时，可得（9-7）32 22 22coscos(in)insi21cosi(in)xryrxyr xryPxyr 8（2）当 时，得 90（9-8）
8、2sin,0,r rP令楔形体的 ，则成为如图 9-2a 所示的半无限平面体，仍取厚度等于 1，在其边界上的 0 点有一向下集中力 P 作用时，则（9-9）2cos,0,r rra) b)图 9-2 半无限平面受集中力作用其直角坐标表示的应力分量为（9-10 ）32322222 2coscosinin1sicosixryrxyrPxryPxPyr其应力分布如图 9-2b 所示。以上的应力分量是分析齿轮等接触应力的基础，但为了解决齿轮等接触问题必须会求位移分量。由于应力分量为 ，作为平面应力状态时，利用广义胡克定律2cos,0,r rPr可得（9-11）0)1(2cos2)(1rrrrrEGPr
9、利用结果可以得到边界上受集中力 P作用的半无限平面问题的解如有几个集中力同时作用在边界面上时，则可将各个集中力的单独作用的结果叠加，就可以求得任意点的应力。9面应变与位移之间的关系为（9-12）rurrurr 1由此可得 EPcos2rru10r积分第一式后，得其中 是坐标 的函数frEPucos2f由第二式 f-rcos2sEPu积分后得 gdEPf-rin2si将 、 的积分式代入 后得u01ur0sin2)1(fdr EPdfg由于 、 互相独立，所以得到以下两个微分方程r Krgrdf sin2)1(由以上两微分方程可得 sin)1(cosi,321 EPCfKrCg将以上结果整理后可
10、得位移分量的表达式 cosiinE)-(rcos2P-u 32PrCC132sinc sinE)P-(1)-( 由于对称关系，当 时， 由此得001210于是 0,12C即可求得在 x 轴上各点的径向位移为 30rEP-u如假定在 x 轴上离原点为 h 的点的垂直位移为零，即0Ch2-30由此可得 ，将求得的常数 值代入 、 的表达式后得E2PC3321,Cu（9-13） sinE)P(cos)-(rhsin2incouP将 代入上式中的第二式，即可求得边界面上的垂直位移为（9-14）E)P(1-rh2- ）（ ）（在平面应变情况一下，只须将上式中的 换成 ，E 换成 ,得1 21E（9-15
11、）E)P(1-rh-12PE- ）（）（ ）（）（以上结果是符合对称性的分布规律.9-2 两个平行轴圆柱的接触问题两个平行轴圆柱体如图 9-3a 所示，可以简化为平而应变问题，在垂直于轴线方向取单位长度来研究，两圆柱体沿长度均匀分布的单位长度上的压力为 p。设 为如图 9-3b 所示圆柱体表面上的点，它们距通过两圆柱体轴线的平面距离为 r。21,A令 表示 点到变形前两个圆柱体公切面间的距离，由几何关系得z21, 2121rzR11展开简化后得 12Rrz图 9-3 两平行圆柱体的接触问题同理可得 2Rrz所以 121r式中 (9-16) 2121R在 P 力的作用下，圆柱体被压扁了，它们轴线
12、间的距离缩小了 ，并产生了宽为 2b 的接触带。令 两点由于接触后的变形面产生的分别沿 方向的位移为 ，21,A21z及 21及由几何关系可得（9-17 ） 21212=()zr12设接触面上的压应力 ，则利用对称性得xqpdxqb图 9-4 半无限平面受部分载荷作用由图 9-4 所示作用在宽 带内的载荷 的作用下，点 所产生的垂直位移可以利用半无dxdxq1A限平面的结果来求(令材料的弹性常数为 )，则1,EdxqdxqEEd 112 11121 nR-2-rn-r由此可求得 点的垂直位移为1A211 11()()lnln2bqxrdxRpE （9-18）同理可求得 点的垂直位移2A22 2
13、2(1) 1()lnlnbqxrdxRpE （9-19）13将所得的 结果代入变形条件21及 221r后得 22 21()()()lnbqxrdxrconstE （9-20）式中的 const 表示与 r 无关的各项之和，为了消去这些项，将上式对 r 求导，并用无界函数积分定理，进行简化后得 221()()2bqxdEr（9-21）可以假定 是与以直径 2b 所作的半圆弧的纵坐标成比例，亦即xq2maxbq式中 为 的最大值(发生在接触面的中心处)，代入 式后得max pdxbpqmax于是可得 21ax21 RbE将 式代入上式后得bpq2max221214()pRbE（9-22）而 12m
14、ax12122pRpqbE（9-23）仅知道接触表面上法向作用的接触应力值，还不能全面的解释材料接触破坏的现象14当 E1=E2=E, 1=2=0.3，则（9-24）21max21)(48.05.RpEqb当 时R21 RpERpEqb591.02418.076.5.max进一步研究初始接触线附近的一小块材料中的应力分布状况(如图 9-5 所示)。下面以机械工程中广泛使用的钢材为例(此时取 ),接触中心点有最大压应力 ， 随 z 值的增加而3.maxq很快地衰减，而最大剪应力 发生在 处，其值为 ，由此可见，maxbz7860301.max远小于 ，二:二，材料常常在很大的压力下仍能处于弹性范
15、围，其原因即在于此。maxq而当圆柱体与平面相接触时，则仅需将以上公式中的 用 来代替，而 。1R2R当 E1=E2=E, 1=2=0.3，则（9-25）RpqEb418.052.又当轴线平行的圆柱体与圆柱凹而接触时，则需将以上的两平行圆柱体相接触的公式(9-22), (9-23)中的 用 来代替。1R有了以上的各种结果，可以用来作为计算机械工程中直齿圆柱齿轮及滚柱轴承等接触问题的基础。9-3 空间轴对称问题在机械工程中有不少问题的几何形状是回转体，物体所受的载荷亦对称于回转轴，则用圆柱坐标比用直角坐标更为方便。由于轴对称，所以只发生径向位移 和轴向位移 而切向u位移 ，而且 、 与 无关，代
16、入公式0u rrGrzGrz 11及15得 ,因此只有未知应力分量为 和，根据图 9-6 所示的微单元体，0rz rzzr和,9-6 空间轴对称问题当体积力等于零时的平衡微分方程为（9-26）0rzrzrz几何方程（9-27）rzuzrxr,物理方程（9-28 ）GEzrrzxzrxr16在直角坐标下的应力表示的协调(或连续) 方程为(当体积力为零或为常数时)式（3-18 ） ，由于极坐标时 222 1rryx所以转化为圆柱坐标时可得（9-29）22222 1zrrzyx现在将以上应力法的协调方程变换成为用圆柱坐标表示的形式，用 代表 r 与 x 轴之间的夹角，则(9-30) cos,sin,
17、cosin,cs 2222 zrxzryrxy xz于是经过较复杂的推导可得以下轴对称问题的圆柱坐标的协调方程为 (9-31)222 22221010rrrzrzr rzr现在求某种应力函数，使同时能满足上述条件。既然应力与 无关，故可以设想应力函数是 和 的函数 ，令rzzr,（9-32）222221(2)1rzrz rzz 把以上关系式代入平衡微分方程的第一式，恒等地满足了。将其代入平衡微分方程的第二式和以上四个协调方程，发现这五个式子都能满足，只要具有下列条件。（9-33）011 42222 zrzr17用应力法解轴对称问题时，先适当选择应力函数 ，使问题按应力解出。将解出的应力分量代入
18、广义虎克定律可求出应变分量，进一步代入几何方程积分以求出位移。以下研究如图 9-7 所示的半空间体，在水平边界面上受垂直集中力 P 的作用，取 P 力的作用点为原点，采用柱坐标。9-7 半空间体受集中力作用把由一次幂组成的双调和函数相加，可得通式如下:（9-35）zrnzCrznrC232121令 R所以 zrzr2,则应力函数 可以改写为zRnCnzRCnrz 3321先求应力分量 221zrz而 RC43282382rrz将上式代入式(9-32),经化简后可得18 25232 325232641zrzr CzrCzr利用边界条件 代入上式，可得0zr014122320 rCrCzr 由此可
19、得 23进一步求 22zz将 函数代入上式后，经化简得 25232 325232641zrzr CrCz将 代入上式后得231C 25232zrzCz可假想过 M 点作一个与边界平行的面，将半空间体的上部切下，根据被切下部分的 z 方向的平衡条件，可得 020Prdz即 0253202 PrdzCrdz得 2所以 414123再求 ，把应力函数 的相应导数代入，得到r19 21252232 32523212264 zrzrzr CCrzr在无穷远处，即当 时， ，由此条件确定 。z0zr1C020132 rCzr所以 P131最后求 2321232 3224 zrzrzr CzrC将已求得的常
20、数 、 、 代入以上各应力分量表达式经化简后，得1C3（9-36 ）2533522()11rzzrPzrRzRPr由以上所得的应力分量公式可以看出，随着 R 的增大，应力分量都迅速减小，当 时应R力分量趋于零。又当 时，各应力分量都趋于无限大，所以在集中力 P 作用点处早已进入塑性，0R上述应力公式不适用。我们进一步求出各位移分量。可以利用下式求径向位移 u zrEr1将以上应力分量代入，合并个别项后得到 32RyPu20又由 zrzzE1将应力分量代入后，再对 z 积分，积分时应注意到 85331,RddR由此可得 rfzEP2)(21利用边界条件 ，得0z 0rf故最后得位移公式为（9-3
21、7）33(1)12,02()rPzuvERwz在解决接触问题中需要知道水平边界上各点的沉陷，取 ，有0z（9-38）ErPz201即边界上的沉陷与其距原点的距离成反比。9-4 半空间体受几种典型载荷作用下的情况先设在弹性半空间体的边界上，作用着两个相等的载荷 ，设已知作用深度 处由P21 z载荷 引起的 分布图。以下可以证明在计算 A 点由载荷 引起的应力 时，可以利用上述载2Pz z荷 引起的图形(如图 9-8 所示)。图 9-8 弹性半空间体边界上作用两个集中力21设 AB 相距为 r,则由 作用，在 B 点产生的应力2Pz25231rPz而由 作用，在 A 点产生的应力1Pz1253zr
22、Pz 所以计算 A 点由 引起的应力 二可以利用 引起的图形，量得 作用点处的图形的高，即1z21P得所求的 。z由于 B 点可以随着 的移动而移功，因此由 引起的 图形是 A 点应力 的影响线。1P2Pzz利用以上结果，可以应用如图 9-9a 所示的半空间体边界上 B 点作用外力 P=1 所引起的 截hz面上 分布图来计算由图 9-9b 所示的载荷组作用而引起的 A 点的应力。z很明显地可求得 4321qzPz以下可以对如图 9-10 所示的弹性半空间体图 9-9 弹性半空间体作用几种载荷边界上，在半径为 a 的圆面积内受有均匀分布的载荷 q 的作用，可以利用上一节集中力问题的解，应用叠加原
23、理求出处在上述载荷作用区域内的点的挠度表达式(z=0)。22已知半空间体的弹性常数为 ，而 。,E2aPq应用叠加法求解时，求出圆内各点的载荷所引起的 C 点下沉，叠加起来，得 C 点的下沉C。过 C 点作圆之任意割线 MC，再作一无限接近于 MC 的割线材 ，以 C 为中心，并以 sM1和 C，为半径作二弧，得一微面积 dA，现求 dA 上的压力引起的 C 点之下沉 。cd由于 ，式中 为两割线之夹角。sdA上的压力 qsdAdP利用上节集中力的结果可得、sEsc 221由总压力 P 引起的 C 点之总下沉 为cdraEq qEsdsrac 202220in2i14 12对于压力中心 0 处
24、，可将上式中的 ,得下沉为PEaqaEqadq 22220 11414 在载荷作用边界处 的挠度为r aqdaqar 22200 1414cos14 中心下沉与边界下沉之比为 57.120a进一步可以对如图 9-11 所示的弹性半空间体边界上在半径为 a 的圆面积内作用着按“半球”规律分布的载荷，任意点的载荷强度与以 a 为半径，载荷作用面积为底的半球的纵坐标成正比。亦可以利用上节集中力问题的解，应用叠加原理求由上述总载荷 P 所引起的 处的挠度表达式。0z由于 sqdAEsddc22123则 dsqEdsqEc 2211根据题意可求得图 9-11 半空间体受按“半球”分布的载荷作用 220s
25、inraqds代入上式后 20222020202834141irParErqEaqdc 24式中 322081,413EaPEaP如图 9-12 所示一半径为 R 的绝对刚性球，在 P 力作用下压入弹性半空间体。因此，球与半空间体由最初的点接触变为以某一半径为 a 的圆面积的接触，并使半空间体的表面各点发生下沉。现设载荷在接触面上按“半球”规律分布的假设(这一假设符合实际情况) 以下将分别算出接触圆的半径 a,挠度 ，及载荷中心点的 值。max0q图 9-12 绝对刚性球压入弹性半空间体由于在边界上 02,21212 azRazR简化后得 1利用上例的结果 ParEc22834则得当 时边界上
26、的 为ar125PEaPEar 221 1834当 时为中心.收的挠度0r0a41320由图 9-12 的变形几何关系 10z即 RaEaP283412由此可解得 122122016943RPEaP由于 3q由此可得 322016PE9-5 圆接触面的接触问题两个圆球受力接触后，接触面为圆，已如前述，这类问题在机械工程中是很重要的。通常采用的弹性接触应力和变形，主要基于下列假定：（1）变形在弹性范围内，应力和应变符合线性正比关系的虎克定律。（2）两物体的接触面的尺寸与物体接触点的曲率半径相比甚小。（3）接触体间的压力垂直于物体的接触面，不考虑接触而上的摩擦力。接触体间无润滑剂，不考虑流体动力效
27、应。（4）表面光滑，无微观不平度。总结 9-3 节所用的以及本节与下节推导接触问题公式的基本原理为（1）几何方面：根据几何原理可知，原为点接触的物体，受力变形后接触表面为椭圆形(一般情况)或圆形（特殊情况，例如两个球接触时) 。(而 9-3 节所分析的两个平行圆柱体受力前为线接触，受力变形后接触表面则变为矩形。)在其体推导过程中，必须找到两按触物体的变形应符合的变26形几何条件。（2）物理方面;由于材料是线弹性体，因此接触表面上的压应力的变化规律与接触物体的应变成线性关系，在接触表面中心处应变最大，所以该处的压应力为最大，即为 。maxq（3）静力平衡方面。根据接触表面压应力变化规律求得表面接
28、触压力所组成的合力应等于所加的外载荷。将以上三方面的表达式联合求解，即可得出根据接触物体表面在接触点处之主曲率半径，材料的弹性常数和载荷值求出接触面尺寸、最大压应力值以及接触物体的变形等的计算公式。以下推导两个线弹性球体的接触公式如图 9-13a 所示的两个圆球，其半径分别为 ，其弹性常数分别为 和 。21,R1,E2,图 9-13 两个圆球的接触图中 212,Rrzr而 与 点的距离为1A2 2212121 rrRrz 式中 2127当两圆球受到 P 力作用相压后，接触而为圆，假设其半径为 a 与两球的半径 相比是微小21,R量，则可以把两球均可看作半空间体。则可以应用以前的结果来计算变形。
29、如图 9-13b 所示，则可得 dsqEdsqE2121,将以上结果代入与 9-3 节相似的变形条件 21r得 22121 rdsqE由此可见，问题归结为寻求压应力分布 q 的表达式，使其满足以上积分方程，同时还要满足 aPrd02若在接触而上按与以 a 为半径的半球面的纵坐标成比例分布，则以上积分方程可以满足，最后可求得 2012121 arqEdsqE20222 式中 为接触面中心处的压应力(亦是最大压应力)。0q由此可得 22211rarqEo此式在接触面内对任意 r 值都是适用的，所以有 qo21aEo21而 ，所以代入上式后得21R 21214RaqEo28式中 可以由 求得 代入上
30、式后可求得 a 值为0q023qaP23aP3 2121 43PER由此得（9-39） 3 212210 3 2122120123 212126694EPRq PERaqEPRa 当 E1=E2=E, 1=2=0.3 时，得（9-40）32120 3213128. .,9.RPEq REPa当圆球与平面接触时，将以上结果中的 可得201,（9-41） 3 212200 3 221032120669,4EPRq PERa 当 E1=E2=E, 1=2=0.3 时，则得（9-42 ）22033300.9,1.,.8PPPEaqRR又当圆球与凹球面(球坐)接触时，如以 代替两圆球接触公式中的 ，则可
31、得2229（9-43）221213 22213210 231496RaPERPqE当 E1=E2=E, 1=2=0.3 时，则得（9-44）12321322130.098PaRqPER由以上公式可见，最大接触压应力 与载荷的立方根成正比，这是因为随着载荷的增加，接触0q面积也在增大，致使接触面上的最大压应力的增长较载荷的增长为慢。应力与载荷之间的非线性关系是接触应力的重要特征之一。接触应力的另一特征是应力与材料的弹性常数 有关，这是因为,E接触面积的大小与接触物体的弹性变形有关的缘故。9-6 一般情况下的弹性接触问题以下将简介任意两弹性体相接触的一般情况，与以前分析方法相同，仍用图 9-13
32、表示。只要两个弹性体在接触附近表面均为平滑曲面，则该处的曲面总可以近似地用下列方程丧示 2321yAxz2B于是 与 两点之间距离为1A22322121 yAxyxBAz 我们将选择适当的 x 与 y 轴的方向，使上式中的 项成为零。于是可得 2/21Bz30其中 都是常数且为正的，它们的数位取决于两接触物体表面的主曲率以及主曲率平面之间的,BA夹角。如用 表示其中一个物体在接触点处的主曲率半径， 代表另一个物体在接触点/1R和 /2R和的上曲率半径， 代表曲率各为 的两个法面之间的夹角，则常数 将取决于下式21R和 ,BA（9-45 ） 2cos)1)(1(2)()(21 22 21 RRR
33、AB）（可以证明， 和 的符号相同，且可断定相互间距离 相同的所有各点都在一个椭圆/ 1z上，因此，如将物体沿接触点的法线方向互相压紧，则所形成的接触面将是一个椭圆。的意义与两球接触相同，于是，对于接触面上各点，有21, 2121z/yBxA与两圆球接触问题相似可得 rqdE21221式中 为接触面上距 点为 r 的任一微面积，而 q 为该接触面的压应力。将dA1代入上式后得2/21yBx 2/21 yBxArdE为此须寻求 q 的分布规律以满足上式，赫兹曾证明，假设用接触面上的半椭球面的纵坐标与接触面上的压应力成正比，就可以满足这一要求。令 代表最大压应力( 在接触面中心处)，用 a 和 b
34、 代表接0q触面椭圆边界的半轴，则可得 nabdAP32由此得： （9-46）q0亦即最大压应力为接触面上平均压应力的 1.5 倍。要计算这压力，必须先知道半轴 a 和 b。用类似于分析球体接触的方法，可求得以下关系式31(9-47)3 21321321)(2894)(EAPBEPa其中 ，而 与 有关。引进记号 ，得出对于不同的 值，)11(2RA, ABcos对于不同的 值可由下表查出。,当 即为两圆球的接触时，则/2/1,R0,12 212/2/1 BRA，所以得 由上表查得0cosB90代入以上公式后得.,. 3 212213 212213 21221 69894 PERPERba 与两圆球接触的结果完全相同。
