1、第一章 绪 论,1-1 弹性力学研究内容,1-2 弹性力学基本假定,1-3 弹性力学几个基本概念,1-4 弹性力学问题的提法,1-5 弹性力学参量的张量记法,1-1 弹性力学研究内容,一. 研究内容,材力:,（内容）杆件在外力或温度作用下的应力、变形、材料 的宏观力学性质、破坏准则等。,结力:,（内容）杆件系统（杆系结构）在外力或温度作用下的应力、变形、位移等变化规律。,（任务）解决杆系的强度、刚度、稳定性问题。,（任务）解决杆件的强度、刚度、稳定性问题。,弹力:,（内容）弹性体在外力或温度作用下的应力、变形、位移等分布规律。,（任务）解决弹性体的强度、刚度、稳定性问题。,二. 弹性力学与材力
2、、结力课程的区别,材力：,1. 研究对象,杆件（直杆、小曲率杆）,结力：,杆件系统（或结构）,弹力：,一般弹性实体结构：,三维弹性固体、板状结构、杆件等,2. 研究方法,材力：,借助于直观和实验现象作一些假定，如平面假设等，然后由静力学、几何关系、物理方程三方面进行分析。,结力：,与材力类同。,弹力：,仅由静力平衡、几何方程、物理方程三方面分析，放弃了材力中的大部分假定。,如：梁的弯曲问题,弹性力学结果,材料力学结果,当 l h 时，两者误差很小,如：变截面杆受拉伸,弹性力学以微元体为研究对象，建立方程求解，得到弹性体变形的一般规律。所得结果更符合实际。,3. 数学理论基础,材力结力, 常微分
3、方程（4阶，一个变量）。,弹力, 偏微分方程（高阶，二、三个变量）。,数值解法：能量法（变分法）、差分法、有限单元法等。,三. 与其他力学课程的关系,弹性力学是塑性力学、断裂力学、岩土力学、振动理论、有限单元法等课程的基础。,1-2 弹性力学中的基本假定,一. 连续性假定,整个物体的体积都被组成物体的介质充满，不留下任何空隙。,该假定在研究物体的宏观力学特性时，与工程实际吻合较好；研究物体的微观力学性质时不适用。,作用：,使得 、 、u 等量表示成坐标的连续函数。,并保证各量的极限，如,存在。,如,二. 线弹性假定,假定物体完全服从胡克（Hooke）定律，应力与应变间成线性比例关系（正负号变化
4、也相同）。,比例常数 弹性常数（E、）,脆性材料 一直到破坏前，都可近似为线弹性的；,塑性材料 比例阶段，可视为线弹性的。,三. 均匀性假定,作用：,可使求解方程线性化,假定整个物体是由同一种材料组成 的，各部分材料性质相同。,作用：,弹性常数（E、 ）不随位置坐标而变化；,取微元体分析的结果可应用于整个物体。,四. 各向同性假定,假定物体内一点的弹性性质在所有各个方向都相同。,作用：,弹性常数（E、 ）不随坐标方向而变化；,金属 上述假定符合较好；,木材、岩石 上述假定不符合，称为各向异性材料；,符合上述4个假定的物体，称为理想弹性体。,五. 小变形假定,假定位移和形变是微小的，即物体受力后
5、物体内各点位移远远小物体的原来的尺寸。,作用：,建立方程时，可略去高阶微量；,可用变形前的尺寸代替变形后的尺寸。,使求解的方程线性化。,1-3 弹性力学中的几个基本概念,一. 外力,体力、面力,（材力：集中力、分布力。）,1. 体力, 弹性体内单位体积上所受的外力。, 体力分布集度,（矢量）,Fbx、Fby、Fbz为体力矢量在坐标轴上的投影，称为体力分量。,单位：,N/m3,kN/m3,说明：,(1) 是坐标的连续分布函数,(2) 的形式是任意的(如重力、磁场力、惯性力等),(3) Fbx、Fby、Fbz 的正负号由坐标方向确定,2. 面力, 作用于物体表面单位面积上的外力, 面力分布集度（矢
6、量）,px 、 py、 pz 为面力矢量在坐标轴上的投影，称为面力分量。,单位：,1N/m2 =1Pa (帕),1MN/m2 = 106Pa = 1MPa (兆帕),说明：,(1) ps 是坐标的连续分布函数；,(2) ps 的加载方式是任意的；,(3) 的正负号由坐标方向确定。,二. 应力,1. 一点应力的概念,内力,(1) 物体内部分子或原子间的相互作用力;,(2) 由于外力作用引起的相互作用力.,P,(1) P点的内力面分布集度,(2) 应力矢量:,P点的应力,的极限方向,由外力引起的在 P点的某一面上内力分布集度,应力分量,法向分量, 正应力,切向分量, 切应力,单位:,与面力相同,M
7、Pa (兆帕),应力关于坐标连续分布,C,2. 一点的应力状态,通过一点P 可作无穷多个截面，各个截面上应力状况的集合, 称为一点的应力状态,x面的应力：,y面的应力：,z面的应力：,根据空间的三维性，用三个特殊截面来代表。即通过一点P 可作三个相互垂直的截面，该三个截面上应力状况的集合就完整地代表了P点的应力状态,1）P 点的位置 P(x，y，z),2）C 截面的方位 N(l1，l2，l3),3） 的数值大小,P点全应力的完整意义：,共九个分量,用矩阵表示：,其中，只有6个量独立。,切应力互等定理,应力符号的意义：,第1个下标 x ，表示 所在面的法线方向；,第2个下标 y ，表示 的方向.
8、,应力正负号的规定：,正应力 拉为正，压为负。,切应力 坐标正面上，与坐标正向一致时为正；,坐标负面上，与坐标正向相反时为正。,用微元体表示：,与材力中切应力 正负号规定的区别：,规定使得单元体顺时转的剪应力 为正，反之为负。,在用应力莫尔圆时必须用此规定求解问题,线应变：,称为 P 点沿 r 方向上的线应变,角应变：,称为 P 点在 rs 方向上的角应变,三. 变形,1. 一点变形的度量工程应变的定义,变形 物体的形状改变,线元长度的改变,两线元间夹角的改变,应变的正负：,线应变：,伸长时为正，缩短时为负,角应变：,夹角变小时为正，变大时为负,过 P 点所有方向上的线应变和角应变的集合称为P
9、点的应变状态,过 P 点可有无穷多个方向的线元,2. 一点的应变状态的描述,根据空间的三维性，用三个特殊方向来代表。,即通过一点P 可作三个相互垂直的线元。,该三线元长度改变（线应变）和线元间夹角改变（角应变）的集合就完整地代表了P点的应变状态,根据应变定义,三个线应变：,三个角应变：,共六个分量。即该六个分量可完整描述P点的应变状态。,相互垂直线元的线应变和角应变也称为工程正应变和工程切应变,写成矩阵形式,其中,应变无量纲；,四. 位移,注：,一点的位移 矢量,应变分量均为位置坐标的函数，即,位移分量：,u x方向的位移分量；,v y方向的位移分量；,w z方向的位移分量。,量纲：m 或 m
10、m,已知外力、物体的形状和大小（边界）、材料特性（E、 ）、约束条件等，求解应力、应变、位移分量。,为了建立数学模型需研究三个方面的关系：,（1）静力学关系：,应力与外力(体力、面力)间的关系；,（2）几何学关系：,形变与位移间的关系；,（3）物理学关系：,形变与应力间的关系(本构关系) 。,1-4 弹性力学问题的提法,综合三个方面的关系建立数学模型,数学模型的求解,力学模型 ,前几节中给出的力分量、应力分量、应变分量和位移分量，其表示方法引用的是记号法；,1-5 弹性力学参量的张量记法,上世纪二十年代起，数学理论中的张量记法（指标表示法）开始出现在力学文献及教科书中。,这是一种公认的弹性力学
11、参量表示方法。,张量记法书写简洁，便于力学问题的理论推导。,一. 指标符号,位移分量u、v 、w可表示为u1 、u2、u3，缩写为ui（i =1, 2, 3）,坐标x、y、z可表示为x1、 x2、 x3 ，缩写为xi（i =1, 2, 3）,单位矢量 可表示为 ，缩写为 （i =1, 2, 3）,在Descartes坐标系下具有相同性质的一组物理量，可用一带下标的字母表示。如,应力分量：,可表示为：,缩写为,其中，如,同理，应变分量可缩写为：,向量 表示为,三阶线性方程组,可表示为,缩写为,二. 爱因斯坦求和约定,在如前述表达式的某项中，某指标重复出现一次，则表示要把该项在该指标的取值范围内遍
12、历求和，重复指标称为哑指标（简称哑标）；,例：,非重复指标表示要把该项在该指标的取值范围内遍历列出，非重复指标出称为自由指标（简称自由标）。,说明：,（1）对于重复次数大于1的指标，求和约定无效。例：（2）哑标的有效范围仅限于本项。（3）多重求和可采用不同的哑标表示。例：（4）哑标可局部地成对替换。（5）自由指标必须整体换名。（6）当自由指标恰好在同一项中重复出现一次，为避免混淆，应声明对该指标不求和。例,三. 求导数的简记方法,微分算符简记法,例:,历列共27项,四. 克罗内克(Kroneker)符号,对单位矢量,因 相互垂直，则,定义,称 为Kroneker符号,显然,具有如下重要性质,故又称为换名算子（换下标名）,
