1、5.3 复数的乘法与除法,一、复数的乘法与除法,1.复数乘法的法则,复数的乘法与多项式的乘法是类似的,但必须在所得 的结果中把i2换成-1,并且把实部合并.两个复数的积仍然是一个复数,即: (a+bi)(c+di)=ac+bci+adi+bdi2=(ac-bd)+(bc+ad)i.,2.复数乘法的运算定理,复数的乘法满足交换律、结合律以及乘法对加法的分配律.即对任何z1,z2,z3有z1z2=z2z1;(z1z2)z3=z1(z2z3); z1(z2+z3)=z1z2+z1z3.,实数集R中正整数指数的运算律,在复数集C中仍然成立.即对z1,z2,z3C及m,nN*有zmzn=zm+n,(zm
2、)n= zmn,(z1z2)n=z1nz2n.,3:复数的一个重要性质,4:复数的除法法则,先把除式写成分式的形式,再把分子与分母都乘以分母的共轭复数,化简后写成代数形式(分母实数化).即,5.共轭复数的乘除性质:,6.一些常用的计算结果,(1)如果nN*有:i4n=1;i4n+1=i,i4n+2=-1;i4n+3=-i.(事实上可以把它推广到nZ.,(2)设 ,则有:,事实上, 与 统称为1的立方虚根,而且对于 ,也有类似于上面的三个等式.,(3),7.例题选讲,例1.计算:(1)(1-2i)(3+4i)(-2+i);(2)(1+2i) (3-4i),解:(1)(1-2i)(3+4i)(-2
3、+i)=(11-2i)(-2+i)=-20+15i.,(2)原式=,例2:计算:(1)i+2i2+3i3+2004i2004;,解:原式=(i-2-3i+4)+(5i-6-7i+8)+(2001i-2002-2003i+2004)=501(2-2i)=1002-1002i.,(2),解:原式=,(3),解:原式=,练习:计算:,答案:(1)255-i;(2)1.,例3:已知复数 ,且z2+az+b=1+i,求实数a,b.,解:,所以(1-i)2+a(1-i)+b=1+i,即-2i+a-ai+b=1+i,从而有: (a+b)+(-a-2)i=1+i.,练习2:已知z=1+i,(1)若 ,求 ;(
4、2)若;求a,b的值.,答案:(1) ;(2)a=-1,b=2.,O,A,B,D,x,y,例4:如图所示,平行四边形OABC(O,A,B,C按逆时针方向)中,各顶点对应的复数依次是zO=0,zA=a+ai/2,zB=-2a+3i,zC=-b+ai,(a,b为实数),求zC/zA的值.,解:因为OABC是平行四边形,解1:设z=a+bi(a,bR),则(3+4i)z=(3a-4b)+(4a+3b)i.,由已知得,代入a2+b2=|z|2=25,解得a2=16.,解2:由已知可设(3+4i)z=ki(kR且k0).,则,例6:若 是纯虚数,求z的对应点Z的轨迹.,解:设 ,则z-1=ki(z+1)
5、.,设z=x+yi(x,yR),则,消去k,得x2+y2=1且y0.,所以z的对应点Z的轨迹是以原点为圆心,1为半径的圆, 除去圆与x轴的交点(1,0)和(-1,0),二、重要性质的应用,公式的变形: ;特别地,当|z|=1时, .,在上述的条件中,特别要注意对第(2)个结论的灵活运用,事实上这是一个最常用的结论.,例1:已知|z|=1,求|z2+z+1|的最值.,解1:设z=x+yi(x,yR),则x2+y2=1,|x|1,|y|1.,故|z2+z+1|=|x2+2xyi-y2+x+yi+1|=|(x2-y2+x+1)+(2xy+y)i|=|(2x2+x)+(2x+1)yi|=|2x+1|x
6、+yi|=|2x+1|.,所以,当x=1时,|z2+z+1|最大值=3;,当x=-1/2时,|z2+z+1|最小值=0.,例2:设非零复数z1,z2满足|z1+z2|=|z1-z2|,求证:(z1/z2)20,解2:,解1:,解3:设z1=a+bi,z2=c+di(a,b,c,dR),代入条件式并利用模的计算公式可得ac+bd=0.,从而可知z1/z2是纯虚数,故 (z1/z2)20.,例3:求同时满足下列两个条件的所有复数z:(1)1z+8/z5;(2)z的实部和虚部都是整数.,解:,(1)故此时无解.,(2),练习1:设复数 ,求证 是纯虚数的充要条件是|z|=1.,练习2:求复数z,使(
7、1)|z-4|=|z-4i|;(2) 是实数同时成立.,答案:z=0或-2-2i或3+3i.,练习3:已知|z|=1,求|z2-z+3|的最值.,答案:当 时,取最小值 ,当z=-1时,取最大值5.,三、实系数一元二次方程,实系数一元二次方程ax2+bx+c=0,当=b2-4ac0时,有两个共轭虚根:,此时韦达定理仍然成立,并且注意到两根共轭,从而有,几何意义:两根在复平面内的对应点关于x轴对称.,如方程x2+x+1=0的两根为,例1:设方程x2-2x+2=0的两根为x1,x2,求x14+x24的值.,解:,例2:已知方程x2+x+a=0有两虚根x1、x2,且|x1-x2|=3,求实数a.,解
8、:,说明:由于x1、x2是虚根,因此原来在实根时的计算式不再成立.,解:=16-4m.,(1)当 时,(2)当 时,综合(1)、(2)得m=3或5.,类1:设x1、x2是关于x的方程x2-3x+m=0的两根,mR,且|x1|+|x2|=4,求m的值.,解:由韦达定理得:x1+x2=3,x1x2=m.,(1)当x1,x2R时,=9-4m0,m9/4.,故当0m9/4时,则由得x1x20,从而又由得 |x1|+|x2|=x1+x2=3,与已知矛盾.,所以m0,此时x1x20.,故 得m=-7/4.,又由已知得,|x1|+|x2|=2|x1|=4,|x1|=2,所以m=4.,类2:已知方程x2+2px+1=0的两个虚根为x1、x2,且x1、 x2、1在复平面内的对应点是一个正三角形的三个顶点,求实数p.,解:由已知知=4p2-40,得p21.,又方程的两个虚根为,故x1的对应点为A ,x2的对应点为B 1的对应点为C(1,0).,(满足p21).,故所求的p值为1/2.,四、小结,1.进行复数的除法运算时,通常进行分母实数化.,2.利用某些特殊复数的运算结果,可以常常化简复数的运算.,3.掌握重要性质以及复数为实数和纯虚数的条件.,4.掌握实系数一元二次方程有虚根时的理论和应用.,5.在复数的运算过程中,要注意复数整体的把握和应用.,五、作业：,p.267268课后强化训练.,
