1、1例谈中学数学中的向量构造法http:/www.DearEDU.com河南汤阴一中 杨焕庆 王国伟向量融数、形于一体，具有几何形式与代数形式的“双重身份”，是中学数学知识的一个重要的交汇点，是联系众多知识的媒介。它广泛应用于函数、三角函数、数列、不等式、解析几何、立体几何等知识。利用向量这个工具解题，可以简洁、规范的处理数学中的许多问题。特别是处理立体几何、解析几何的有关度量、角度、平行、垂直、共线等问题；运用向量知识，可以使几何问题直观化、符号化、数量化，从而把“定性”研究推向“定量”研究。构造向量除有坚实的基础知识外，还特别要知道实现构造的理论基础：（1） .| baba（2） 。一. 证
2、明不等式通过构造向量，利用向量的重要不等式： ，或|ab，以达证明不等式之目的。| bab例 1. 设 a、b、c、d 均为正数，求证 cdacbd2222()()证明：构造向量 ， ，由 得ma()， n()， |mncb2222例 2. 若 ，求证：abc113证明：构造向量 ， ，a()， ， nca()， ， pcab()， ，则 mnpcbb， ， ， ，1于是由 |mp有 3322ab得 c1将例 1 推广到更一般的形式，即有例 3. 若 和 都是正数，则an23， ， ， ， bbn12， ， ，a ababnn n12121222 ()()()证明：构造向量 ，m()， ， ，
3、 n， ， ，于是，由 得|aabbababnn n1221221222 ()()()从上述证明，发现条件 和 是正数是多余的。， ， ， n， ， ，而且利用 还可以推出|nn n1221221222 ()()()例 4. 设任意实数 x，y 满足 ， ， 求证：|y1xyx2证明：构造向量 ，axy()122， bxy()122，由向量数量积性质 得)|ba4112222()xy所以 4212xyxy()即 1122xy例 5. 设 a，b 为不等的正数，求证 ()()()abab4232证明：构造向量 ， ，则m()2， n，()n32|cos|2()()ab42因为 a，b 为不相等的
4、正数，所以 ，即 ，mn0所以 ()ab4232例 6.已知 x0,y0，且 x+y=1，求证： 。9)1(yx证明：构造向量 ，则 ，而),1(),(yxax，)(1| xb由 ，得 | ba22| ba所以 9)1()()( yyyx例 7.求证： 222dcdc证明：设 ),(),(OBbaA（1）当 至少有一个为零时，所证不等式 成立；, 0（2）当 都不是零向量时，设其夹角是 ，则有，22|cos dcbaOBA因为 ，即1|)()(dc点拨：只要实质上，甚至形式上和向量沾点边的，都是向量的亲戚，用向量去思考，没错！二.研究等量关系3例 8.已知： 。)0,(1cossin44 ba
5、bxa证明：对于任何正整数 都有 11212(cosinnnx分析：借助向量不等式 等号成立的条件，构造向量，可化难为易。|证明：构造向量 ，则),(),s,i(2baqbaxp 1cossi22xqp，所以 ，故 同向，则1cosin| 44qp |,即 ，所以 代入题设得：bxax22s,si bxa22cossin，1)co(in22于是 112211 )()cos()sin(ss nnn babxaxbxa所以 122)(ci nn例 9.已知 ，求锐角 。23osos,分析：本题如果直接进行三角恒等变换，较难求出 的值。换一种思路，引入向量，问题迎刃而解。解：由已知得 ，cossin
6、cs)1( 构造向量 ，),(o,in,oba则 ，s23sis)(b cos2|ba由 ，得 ，即22|co)c(0)1(，则31cos316sin三.求值域或最值例 10.求函数 的最大值。2910xxy分析：本题是求无理函数的最值问题，按常规方法求解有一定的难度，若正确构造向量，利用向量数量积的性质 解答，将会使求解非常容易。| bab解：原函数可变为 ，设 ，因为23xy 29103)(xf，所以构造向量 由10)9()322xx ),13x| bab4得 ，310)910()31)(|9103| 2222 xxx从而 ，当且仅当 时，y ,90maxy例 11.求函数 的值域。22x
7、x分析：分析函数解析式的特征，结构上接近两个向量的差，于是构造向量。解：设 ， ， 不共线)3,1(),31(ba |baya,，即|例 12.已知 x0,y0，且 x+y=1，求 的最大值12x .2 12 2812x1 )1)()2( |) ),(,)1(22 为最 大 值故即 得 ：根 据证 明 ： 构 造 向 量 yxyybab利用向量数量积的一个重要性质 ，变形为| bab可以解决不等式中一类含有乘积之和或乘方之和的式子的22| bab题目，采用构造向量去解往往能化难为易，同时提高了学生的观察分析能力和想象能力总之，构造向量法，为我们研究数学问题提供了一种崭新的思维视角，体现了知识的交汇和联系，是高层次思维的反映,常用构造法解题 ,能起到发展思维,提高能力,挖掘潜力之功效.
