1、 本科生毕业论文（设计）题 目： 构造法在求数列通项公式中的应用 系 别： 数学与计算机科学系 专业班级： 数学与应用数学 2009 级 安 顺 学 院本科生毕业论文（设计）原创性申明本人郑重申明：所呈交的论文（设计）是本人在导师的指导下独立进行研究所取得的研究成果。除了文中特别加以标注引用的内容外，本论文（设计）不包含任何其他个人或集体已经发表或撰写的成果。对本文的研究作出重要贡献的个人和集体，均已在文中以明确方式表明。本人完全意识到本申明的法律后果由本人承担。作者签名： 日期：本科生毕业论文（设计）版权使用授权书本科生毕业论文（设计）作者完全了解学校有关保留、使用本科生毕业论文（设计）的规
2、定，同意学校保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子版，允许论文被查阅和借阅。本人授权安顺学院可以将本论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检索，可以采用影印、缩印或扫描等复制手段保存和汇编本本科生毕业论文（设计） 。作者签名： 日期：导师签名： 日期：摘 要 I构造法在求数列通项公式中的应用专业：数学与应用数学 学 号：200902014065姓名：陈斌 指导教师：刘太河摘 要所谓构造法，就是将陌生的模型转变为熟悉的模型，而不改变原题意的一种方法，其中转变的分析过程就是构造思想。构造法本身具有灵活性，应用上具有广泛性，是解决数学模型以及其他模型的一种重要方法。本文以常见的数列题型作为
3、课题研究对象来探讨构造法在求数列通项公式中的应用，其中涉及了简易数列和复合数列两大板块，包含十一种常见模型。在内容上以“模型构造结论”为主线构建，核心是构造思想，重点是模型和结论。构造法在解题中虽然没有固定的模型可套，但是有一定的思路可循，我通过对常见数列模型的研究，可以给读者一定思维上的启发，同时，本论文所涉及到的模型也可成为解决其他模型的基础。关键词：数列模型 构造法 构造思想ABSTRACT IIApplication of method to find the general formula of the structureThe method of construction, is
4、the model transformation of strange familiar model, without changing the original meaning of a method, the structure is thought to analyze the transformation process method has the flexibility,extensive application,is an important method to solve the mathematical model and the other models,Based on
5、the test sequence common application as the object of study to explore the construction method to find the general term formula,which involves the simple sequence and composite series two plate,contains eleven kinds of common model.In the content to “modelstructureconclusion”as the main line constru
6、ction,the core is to construct thought,is focused on the model and conclusions.conclusion method solving the problem is there is no fixed model can be set,but the ideas to follow certain,I through the study of the common sequence model,can give readers some inspiration thinking,at the same time,this
7、 thesis involved the model can be the basis to solve the other model.Keywords: sequence model, construction method, construction ideaABSTRACT III目 录 目 录引言.1第 1 章 绪论.21.1 构造法简介 .21.2 构造法的前景.3第二章 简易构造.42.1 一级构造.42.1.1 一级构造的数列表达式.42.1.2 超一级构造.52.2 二级构造 .92.2.1 二级构造的数列表达式 1.92.2.2 二级构造的数列表达式 2.102.2.3 二
8、级构造的数列表达式 3.112.3 三级构造的概念.122.3.1 三级构造的数列表达式 1.122.3.2 三级构造的数列表达式 2.14第三章 复合构造.173.1 特征方程构造法.173.2 关于 的复合构造.18012nnaf3.3 关于 的复合构造.1921nbf第四章 总结.214.1 知识点总结.214.2 课题研究总结.23结束语.25参考文献 .26致谢 .27引 言 - 1 -引 言构造法作为数学的一种重要的思想方法，它一直伴随着数学的发展而成长，构造法的内涵十分丰富，具有广泛的适用性，在数学解题尤其是在高中数列解题中具有广泛的应用。本文以“构造法在求数列通项公式中的应用”
9、为题，是以实习过程中学生出现的相关问题为重点、以典型的例题和以构造性思维方式进行讲解、以及在相关老师的指导和帮助下完成的。内容上比较偏重于思想，偏重于方法，偏重于应用，而不是过于追求严格的数学推导。在实习期间，我主要授课内容是高一数列部分，通过与同学们的交流，我了解到学生在解决数列问题上存在的问题；通过与老师的交流，我得出了一些很好的解决方法，并形成了很多很好的结论，比如说，对于等差数列和等比数列以及它们的前 n 项和所成的数列都是一些最特殊、最基本的数列，它们的通项公式用演绎法套公式解决，大多数学生都能掌握，而让学生以及老师困惑的都是其他类型的数列。在不断探讨过程中，我发现构造法求通项公式是
10、一种重要的有效方法，它比较灵活，可以通过构造一个与原数列相关的新数列，转化为具有特殊性质的数列，从而找到解题的新方法。在论文的选题上，我主要依据以下两点：一是在实习过程中对学生在数列上存在的问题有所了解，以及本人在数列求通项公式上有一定的知识积累；二是数列的实质是按照一定的规律排列成的一列数，描述这种规律的最简单的形式是通项公式，因此，求数列的通项公式就成为研究数列的一个主要课题。学习构造法，最主要的是掌握其思想（构造思想）方法，学会应用，将构造法的思维模式变成自己思考问题的模式之一。遇到问题，首先想到解决该问题需要哪些资源，从哪里可以获得这些资源；其次要考虑获得资源后，如何使这些资源得到合理
11、利用，使其产生最大效益。如果若干年后，你即使将学过的公式忘得一干二净，最后头脑中剩下来的还是构造法的这种思维模式，则表明你抓住了构造法的精髓。下面我主要对以下几个方面对“构造法在数列求通项公式的应用”进行展开讨论。第一章 绪论 - 2 -第 1 章 绪论1.1 构造法简介 在数学的发展史上，数学家一直注重思维的缜密性、相关联的逻辑性和对新领域的创造性，从而在发展过程中不断形成种种数学模型，数学思维，数学方法以及数学结论，数学模型的构建，数学思维的多样化不仅是科学发展的力量，也使我们在解决相关问题时更加灵活。构造法作为解决数学问题的重要思维方法，它没有固定的思维方式，是以广泛的普遍性和特殊性的现
12、实问题为基础，针对具体问题所呈现出来的特点而采取相应的解决问题的办法，应用起来比较灵活，在解决数学问题，特别是数列问题上占有重要地位。历史上不少著名的数学家，如欧几里德，高斯，欧拉，拉格朗日维尔斯特拉斯等，都曾利用构造法成功解决过数学上的难题。构造法历史进程大概可分为这样三个阶段：一是直觉数学阶段，德国的克隆尼克明确提出并强调了能行性，并主张没有能行性就不得承认它的存在性，成为直觉数学阶段的先驱者。他认为定义应当包括由有限步骤所定义对象的计算方法，而存在性的证明对于要确立其存在的那个量，应当许可计算到任意的精确度。另一个强有力的倡导者是彭加勒，他主张所有的定义和证明都必须是构造性的。近代构造法
13、的系统创立者是布劳威，他从哲学和数学两方面贯彻和发展了“存在必须被构造 ”的观点。二是算法数学阶段。算法数学是由马尔科夫及其合作者创立的，它以递归函数理论为基础，是一种把数学的一切概念都归约算法的构造性方法。马尔科夫用哥德尔数的办法来处理每个函数，每个实数代表一个特定的递归函数等来严格定义每一个概念。他用标准构造性的方法，采纳直觉派逻辑，他所形成的是一种即限制对象的类，又限制可容许证明方法的类的理论。接着，沙宁通过对各种古典理论在马尔科夫算法数学中的模拟物的研究，能够展述分析中象希尔伯特空间和勒贝格积分的构造性理论。马尔科夫的工作使构造性方法进入了“算法数学”阶段，但是，由于这种构造法依赖于递
14、归函数理论的术语，使得这种算法数学外行人读起来十分困难，加之马尔科夫的后继者们似乎对于算法数学实践本身没有对于复杂理论及其在计算机科学上的应用更有兴趣，使之算法数学由于缺乏合适的框架来进行数学实践，而处于一种冬眠的状态。三是现代构造数学阶段，自 1967 年比肖泊的书出版以后，构造法进入“现第一章 绪论 - 3 -代构造数学” 阶段。比肖泊重新建立现代分析的一个重要部分，从而激发了构造法的活力。他研究的课题包含测度论、泛函微积和对偶理论。尤其是测度理论的创立，证明了构造的连续统在一种强的意义下是不可数的，消除了人们对于在实直线上构造可数可加测度的可能性的种种忧虑。比肖泊摆脱了理论方法的不必要的
15、依赖，跨越了直觉数学的自我禁锢，避免了对直觉派的超数学原理的使用，超脱了对于形式体系的任何束缚，从而保留了进一步创新的余地。为了让一般数学家容易看懂，他采用数学上大家熟悉的习惯术语和符号。比肖泊为构造法建立了一个更为广泛，更为完整的理论，他在马尔科夫的基础上解决了阅读困难和数学实践上存在的问题，体现出构造法的灵活性、广泛性和实用性，激发了人们对构造思想的认可。1.2 构造法的前景构造法伴随数学成长，解决了数学中很多难以解决的问题，为数学的发展做出了成就，在以后数学的发展中，构造法还可以用于开发构造性数学的新领域，组合数学、计算机科学中所涉及的数学，都是构造性数学的新领域，尤其是图论更是构造数学
16、发展的典型领域之一。因为图的定义就是构造性的，同时图的许多应用问题，如计算机网络，程序的框图，分式的表达式等，也都是构造性很强的问题。同时，构造法还可以用于对经典数学的概念、定理寻找构造性解释。此外，拓扑学，特别是维数理论，也是可以为构造法的洞察力提供实例的数学分支，所以也是构造数学有待开发的新领域。第二章 简易构造 - 4 -第二章 简易构造 2.1 一级构造 所谓一级构造，就是只通过一次模型转换就得出结论的思想方法。一级构造也称为初级构造，它是构造法在数列中应用的基础，也就是说，在利用构造法解决数列题型的问题中，最终都要将题型转变成一级构造的数列表达式形式，所以说，一级构造是构造初步，也是构造法的核心。2.2.1 一级构造的数列表达式一般地，形如 （ ，c,d 为常数）的式子，我们称为一级构dcan12造的数列表达式。注意： （ ，c,d 为常数）是其中一种一级构造的数列表达an1式，而不是唯一的一级构造的数列表达式。模型 1：在数列 中，已知 ，且数列 满足 （ ，c,dn1andcan12为常数） ，求通项公式 。分析：不妨设 Acann1即 又 dcn1A即 c11cdadann（验证： ）1cnn 11cdndcan1数列 是以 为首项，c 为公比的等比数列1cdan1da
