1、12013 年 12 月全省学业水平考试文科数学试题一、选择题：（每小题 5 分，每题只有一项正确答案，共 60 分）1. 对四组数据进行统计，获得以下散点图，关于其相关系数比较，正确的是（ ）相关系数为 1r 相关系数为 2r相关系数为 3r 相关系数为 4rA. 2410rB. 2130C. 3rD. 4rr 第 2 题2.一个算法的程序框图如图所示，若该程序输出的结果是 63，则判断框内应填入的条件是( )A.i4 C.i53.从 231 个编号中抽取 22 个号码入样，若采用系统抽样方法进行抽取，则分段间隔应为A B 22 C10 D. 112104.为了普及环保知识，增强环保意识，某
2、大学随机抽取 30 名学生参加环保知识测试，得分（十进制）如图所示，假设得分值的中位数为 ，众数为 ，平均值为 ，则（ ）abcA B. C. D.cbabcacba5.某容量为 180 的样本的频率分布直方图共有 n(n 1)个小矩形， 若第一个小矩形的面积等于其余n -1个小矩形的面积之和的 ，则第一个小矩形对应的频数是( )51A.20 B.25 C.30 D.35姓名 学年 班级 学号 装 订 线26.设不等式组 表示的平面区域为 D，在区域 D 内随机取一点，则此点到坐标原20yx点的距离大于 1 的概率为（ ）A. B. C. D.2441167.现有 2 名女教师和 1 名男教师
3、参加说题比赛，共有 2 道备选题目，若每位选手从中有放回地随机选出一道题进行说题，其中恰有一男一女抽到同一道题的概率为( )A.3 B. 23 C. D. 348.已知椭圆 和双曲线 有公共焦点，那么双曲线的渐近线方152nymx 122nymx程是( )A x y B y x C x y D y x152 152 34 349.已知实数 4， ，9 构成一个等比数列，则圆锥曲线 的离心率为（ ） 12A. B. C. 或 D. 或 6307630765710.已知抛物线 ，过焦点 F 作直线 交抛物线于 A、B 两点，交抛物线的准线于 Cxy42l点，O 为坐标原点，|AF|= ,则 =（
4、）32 S OACS OBCA. B. C. D. 45 34 23 1211.以 为中心， 为两个焦点的椭圆上存在一点 ，满足 ,12,FM12FOMF则该椭圆的离心率为（ ）A. B. C. D.2363412.椭圆 的左、右焦点分别为 ，弦 过 ，若 的内切圆156xy1,2FAB12周长为 ， 两点的坐标分别为 和 ，则 的值为（ ）,AB()xy2(,)21yA. B. C. D.3030353二、填空题（每小题 5 分，共 20 分）13.如下茎叶图表示的是甲、乙两人在 5 次综合测评中的成绩，其中有一个数字被污损，则甲的平均成绩超过乙的平均成绩的概率是 14.为了了解本市居民的生
5、活成本，甲，乙，丙三名同学利用假期分别对三个社区进行了“家庭每月日常生活消费额”的调查，他们将调查所得的数据分别绘制成频率分布直方图。记甲乙丙所调查数据的标准差分别为 ，则它们的大小关系为 （用“”连接）321,s3第 13 题 第 14 题15点 是方程 所表示的曲线上的点，若点 的纵坐P6)5()5( 22yxyx P标是 ，则其横坐标为_.416.已知直线 与椭圆 相交于 两点，且 1y )0(12baBA, (OB为坐标原点)，若椭圆的离心率 ，则 的最大值为 ,e三、解答题（17 题 10 分，其余每题 12 分，总计 70 分）17已知椭圆与双曲线 1 共焦点，它们的离心率之和为
6、，求椭圆的方程y24 x212 14518.某校从高二年级学生中随机抽取 40 名学生，将他们的单元测试数学成绩（满分 100 分，成绩均为不低于 40 分的整数）分成六段：后40,5),690,1得到如图所示的频率分布直方图.（1） 若该校高二年级共有学生 640 人，试估计该校高二年级本次单元测试数学成绩不低于60 分的人数；（2） 若从数学成绩在 和 两个分数段内的学生40,5)9,10中随机选取 2 名学生，求这 2 名学生数学成绩之差的绝对值不大于 10 的概率.19. 如图，某隧道设计为双向四车道，车道总宽为 m，要求通行车辆限高 4.5m，隧道78全长为 2.5km，隧道的拱线可
7、近似的看成半个椭圆形状.（1）若最大拱高 为 6m，则隧道设计的拱宽 是多少？hl（2）若最大拱高 不小于 6m，则应如何设计拱高 和拱宽 ，才能使隧道的土方工程hl量最小？（注：1.半个椭圆的面积公式为 ； lS42.隧道的土方工程量=截面面积 隧道长）. 420.为预防 H7N9病毒爆发，某生物技术公司研制出一种新流感疫苗，为测试该疫苗的有效性（若疫苗有效的概率小于 90%，则认为测试没有通过） ，公司选定 2000 个流感样本分成三组，测试结果如下表：分组 A 组 B 组 C 组疫苗有效 673 a b疫苗无效 77 90 c已知在全体样本中随机抽取 1 个，抽到 B 组疫苗有效的概率是
8、 0.33（I）现用分层抽样的方法在全体样本中抽取 360 个测试结果，问应在 C 组抽取样本多少个？（II）已知 b465，c 30，求通过测试的概率21. 已知中心在原点 ，焦点在 轴上，离心率为 的椭圆过点 .设不过原点Ox23)2,(的直线 与该椭圆交于 两点，且直线 的斜率依次成等比数列，求OlQP, OQP,面积的取值范围. PQ22.在直角坐标系 xy中，曲线 M的参数方程为 sinco2xy( 为参数)，若以该直角坐标系的原点 为极点， 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 N的极坐标方程为：2sin()4t（其中 t为常数）.若曲线 N与曲线 只有一个公共点，求 t的取值范围；
9、当 t时，求曲线 上的点与曲线 N上点的最小距离 .2013 年 12 月全省学业水平考试文科数学答案ABCDC DCDCD CD13. 14. 15. 16.45321S32617. 由题意设椭圆的方程为 1( ab0)y2a2 x2b2双曲线的焦点为(0，4)，离心率为 e2，椭圆的焦点 (0，4)，离心率 e .45 a5. b2 a2 c29，故椭圆的方程为 1.y225 x2918.(1)544 人 （2） 157519. （1）以车道中点为原点，建立直角坐标系则 P( ，4.5),74设椭圆的方程为 ，12byax则 解之得：5.4)7(622b6a此时 .3al（2）由 可知1)
10、(22baba5.4725.4)7(2故 ，所以 ，当且仅当 时取等.736ab84blhS 629,18hl答：当拱高为 拱宽为 时，土方工程量最小.,29120. （I） ， a=660b+c=20006737766090=500，应在 C 组抽取样个数是 （个） ； （II）b+c=500，b465，c30，（b，c）的可能是（465，35） ， （466，34） ， （467，33） ， （468，32） ， （469，31） ， （470，30） ，若测试没有通过，则 77+90+c2000（190%）=200，c33，（b，c）的可能性是（465，35） ， （466，34） ，通
11、过测试的概率是 21. 由题意可设椭圆方程为 ，21xyab(0)由 得 ，231cab21b所以，椭圆方程为 24xy由题意可知，直线 的斜率存在且不为 ，故可设直线 的方程为 ，l0l(0)ykxm6满足 ，12(,)(,)PxyQ240ykxm消去 得 248(1)kx，2 261()6(41)0mkk且 ， 1224kx24x 2 21211()()()ykxmx因为直线 ， ， 的斜率依次成等比数列，OPQ所以， ，即 ，221112()ykxmxx k228140k又 ，所以 ，即 0m24k由于直线 的斜率存在，且 ，得 且 OQ022m设 为点 到直线 的距离，则dl 21211OPQSdkx，2112()()42mmxx所以 的取值范围为 OPQS0,)22. (1)若曲线 M,N 只有一个公共点，则有直线 N 过点 (2,1)时满足要求，并且向左下方平行运动直到过点 (2,1)之前总是保持只有一个公共点，再接着向左下方平行运动直到相切之前总是有两个公共点，所以 21t满足要求；相切时仍然只有一个公共点，由 2xt，得20,x4()0t，求得54t. 综合可求得t的取值范围是： 1t或5t. (2)当 t时，直线 N: y，设 M 上点为 )1,(20x， 02，则8234)2(200xxd，当 01时取等号，满足 0x，所以所求的最小距离为 823. 7
