1、- 1 -专题二 代数式第一节 代数式的初步知识一【知识梳理】1. 代数式的概念: 用 (加、减、乘、除、乘方、开方 )把数或表示数的字母连结而成的式子叫代数式。单独的一个数或者一个字母也是代数式代数式即代表数的式子。2. 代数式的分类:3.代 数 式 的 值 ： 用 数 值 代 替 代 数 式 里 的 字 母 ， 计 算 后 所 得 的 结 果 叫 做 代 数 式 的 值 。求 代 数 式 的 值 可 以 直 接 代 入 、 计 算 。 如 果 给 出 的 代 数 式 可 以 化 简 ， 要 先 化 简 再 求 值 。二【课前练习】1. a，b 两数的平方和用代数式表示为（ ）A. B. C
2、. D. 22()ab2ab2ab2. 当 x=-2 时，代数式- +2x-1 的值等于（ ）xA.-9 B.6 C.1 D.-13. 当代数式 a+b 的值为 3 时，代数式 2a+2b+1 的值是（ ）A.5 B.6 C.7 D.84. 一种商品进价为每件 a 元，按进价增加 25出售， 后因库存积压降价，按售价的九折出售，每件还盈利（ ）A.0.125a 元 B.0.15a 元 C.0.25a 元 D.1.25a 元5. 一个正方形的边长增加了 ，面积增加了 ，则这个正方形的边长为（ cm3239c）（A）6 ； （B ）5 ； （C）8 ； （D ）7cmm6. 判别下列各式哪些是代数
3、式，哪些不是代数式。（1）a 2-ab+b2； （2）c=2 R； （3）2a+3b0； （4）y； （5）07. 两个数的和是 25，其中一个数用字母 x 表示，那么 x 与另一个数之积用代数式表示为（ ）Ax（x25） Bx（x25） C25x Dx（25x）8. 小卫搭积木块，开始时用 2 块积木搭拼（第 1 步） ，然后用更多的积木块完全包围原来的积木块（第2 步） ，如图反映的是前 3 步的图案，当第0 步结束后，组成图案的积木块数为 （ ）A306 B361 C380 D4209. 科学发现：植物的花瓣、萼片、果实的数目以及其他方面的特征，都非常吻合于一个奇特的数列著名的裴波那契数
4、列：1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，仔细观察以上数列，则它的第 11 个数应该是 .10. 一串有黑有白，其排列有一定规律的珠子，被盒子遮住一代数式有理式无理式第 1 步 第 2 步 第 3 步- 2 -部分如图所示，则这串珠子被盒子遮住的部分有_颗11. 用黑白两种颜色的正六边形地面砖按如下所示的规律，拼成若干个图案： 第 4 个 图 案 中 有 白 色 地 面 砖 块 ； 第 n 个 图 案 中 有 白 色 地 面 砖 块 12.一根绳子弯曲成如图所示的形状，当用剪刀像图那样沿虚线把绳子剪断时，绳子被剪成 5 段；当用剪刀像图那样沿虚线 b（ba）把绳子再剪一次时，绳子就被
5、剪成 9 段，若用剪刀在虚线 ab 之间把绳子再剪(n-2) 次( 剪刀的方向与 a 平行）这样一共剪 n 次时绳子的段数是（ ）A.4n+1 B.4n+2 C.4n+3 D.4n+513. 有这样一道题， “当 a= 0.35，b=-0.28 时，求代数式 7a36a 3b+3a36a 3b3a 2b10a 3+3 a2b2 的值” 小明同学说题目中给出的条件a=0.35，b=-0.28 是多余的，你觉得他的说法对吗？试说明理由14.先化简后求值： 其中 x2)5(x15. 下面是一个有规律排列的数表：上面数表中第 9 行，第 7 列的数是_16. 观察下面的点阵图和相应的等式，探究其中的规
6、律：在和后面的横线上分别写出相应的等式；通过猜想写出与第 n 个点阵相对应的等式.三【课后反思】第二节 整式及因式分解一【知识梳理】1.整式有关概念（1）单项式：只含有 的积的代数式叫做单项式。单项式中_叫做这个单项式的系数；单项式中_叫做这个单项式的次数； a a b 1=12； 1+3=2 2；1+3+5=3 2； ； ；- 3 -（2）多项式：几个 的和，叫做多项式。 _ 叫做常数项。多项式中_的次数，就是这个多项式的次数。多项式中_的个数，就是这个多项式的项数。2.同类项、合并同类项（1）同类项：_ 叫做同类项；（2）合并同类项：_ 叫做合并同类项；（3）合并同类项法则： 。（4）去括
7、号法则：括号前是“”号，_ 括号前是“”号，_ （5）添括号法则：添括号后，括号前是“+”号，插到括号里的各项的符号都 ；括号前是“”号，括到括号里的各项的符号都 。3.整式的运算（1）整式的加减法：运算实质上就是合并同类项，遇到括号要先去括号。（2）整式的乘除法：幂的运算： 0;();()1,(0,mnmnmnnpaaabap为 整 数整式的乘法法则：单项式乘以单项式： 。单项式乘以多项式： 。()mab多项式乘以多项式： 。n乘法公式：平方差： 。完全平方公式： 。2()()abxabxab、 型 公 式 ：整式的除法：单项式相除：把它们的系数、相同字母分别相除，作为商的因式；对于只在被除
8、式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式，相同字母相除要用到同底数幂的运算性质。多 项 式 除 以 单 项 式 ： 先 把 这 个 多 项 式 的 每 一 项 除 以 这 个 单 项 式 ， 再 把 所 得 的 商 相 加 注意：在进行代数式的有关运算时，公式或运算律中的字母代表的是一个代数式（可能是一个数、一个字母，或是一个多项式等） ，因此要注意整体看待问题。4.分 解 因 式 ： 把 一 个 多 项 式 化 成 的 形 式 ， 这 种 变 形 叫 做 把 这 个 多 项 式 分 解 因 式 .分解因式的方法：提公因式法： )(cbamcba运用公式法：平方差公式: ； - 4 -n
9、mba完全平方公式: ；)()(2 qxpqxpx分解因式的步骤：（1）分解因式时，首先考虑是否有公因式，如果有公因式，一定先提取公因式，然后再考虑是否能用公式法分解（2）在用公式时，若是两项，可考虑用平方差公式；若是三项，可考虑用完全平方公式；若是三项以上，可先进行适当的分组，然后分解因式。注：因式分解与整式乘法为互逆运算，因式分解正确与否可用乘法检验。分解因式时常见的思维误区：提公因式时，其公因式应找相同字母且指数是最低的，这与确定最简公分母不同若有一项被全部提出，括号内的项“ 1”易漏掉分解不彻底，如保留中括号形式，还能继续分解等,分解结果应在指定范围内不能再分解为止；若无指定范围，一般
10、在有理数范围内分解。注意： ，22nnaba2121nnaba二【巩固练习】1. 多项式 是 次 项式，每项系数分别是 _.42xy2. 的系数是_，次数是 _ 23abc3.若代数式2x ayb+2与 3x5y2-b是同类项，则代数式 3ab=_ 4. 如图,请写出阴影部分的面积: _.5. 计算： ； (3x 2)3。 3)( y6.若 所得的差是单项式则 m=_n=_，这个单项式是_3nm4ab-57. 计算：19982002 ， 8. 若 ，那么 。210201019aa9.下列计算中，正确的是（ ）A2a+3b=5ab； Baa 3=a3 ； Ca 6a2=a3 ； D （ab） 2
11、=a2b210. 下列两个多项式相乘，可用平方差公式（ ） （2a3b） （3b2a） ； （2a 3b） （2a+3b）（2a +3b） （2a 3b） ； （2a+3b） （2a3b） A； B ； C ； D11.下列各组多项式中没有公因式的是（ ）A3x2 与 6x 24x B. 3（ab） 2与 11（ba） 3Cmxmy 与 nynx Dabac 与 abbc12. 下列各题中，分解因式错误的是（ ）13. 列多项式能用平方差公式分解因式的是（ ）2 22 2.1() ;.14()186498);.()2xxByyyxyx- 5 -2222.94 .94()AxyBxyCD14.（
12、2007 德阳）已知 （ ）转化代人、特殊值法的 值 是则 bab,2A. 2 B. 3 C. 4 D.615. 下列计算错误的个数是（ ）33+66350382432439x= m=2 a=a; (-1)(-)=1(-) ； ； Al 个 B2 个 C3 个 D4 个 16. 计算： 的结果是（ ）2(a-1)(a-5)Aa 25a+6; Ba 25a4; Ca 2+a4; D. a 2+a+6 17.若 是一个完全平方式，那么 m的值是（ ）96xmyA24 B12 C12 D2418. 把多项式 因式分解的结果是（ ）1bA B C Da1ab1ab1ab19. 已知 可以被在 6070
13、 之间的两个整数整除，则这两个数是（ ）482A61、63 B61、65 C61、67 D63、6520.合并同类项： 2224-abc4-6+3abc54;()-7x53xyy21.在实数范围内分解因式： x222.计算3x 27x(4x3)2x 2 ； 3a 2b (2a2b23ab) ；(2ab) ( 2ab) 23. 计算 的值105.24. 如图所示是杨辉三角系数表，它的作用是指导读者按规律写出形如（a+b） 2（其中n 为正整数）展开式的系数，请你仔细观察下表中的规律，填出（a+b） 4展开式中的系数：(a+b)1=a +b；(a+b)2=a2+2ab+b2 (a+b)3=a3 +
14、3a2 b+3ab2+b3则(a+b) 4=_a4+_a3 b+_ a2 b2+_(a+b)6= 25. 分解因式：（1） ； （2） ； （3） ； 3xy32187xx21x（4） （5） ； )()( 20y（6） ； （7）26xx 238xx- 6 -26. 计算： 2222 1093127. 已知 a、 b、 c是ABC 的三边，且满足 ，试判断2abcabcABC 的形状。28.先化简，再求值：已知：a 512，求(2a 1) 2(2a1) (2a 1) 的值。29观察下列各式：由此可以猜想：( )n =_(n 为正整数，且 a0)ba证明你的结论：30. 阅读材料，大数学家高斯
15、在上学读书时曾经研究过这样一个问题：1+2+3+4+5+100=？经过研究，这个问题的一般性结论是 1+2+3+4+5+n= n(n+1)，12其中 n 是正整数现在我们来研究一个类似的问题：12+23+34+n(n+1)=?观察下面三个特殊的等式：12= (123012)1323= (234123)34= (345234)13将这三个等式的两边分别相加，可以得到 12+23+34= 345=2013读完这段材料，请你思考后回答：12+23+34+100101=_.12+23+34+n(n+1)=_.猜想验证：123+234+n(n+1)(n+2)=_.（只需写出结果，不必写中间的过程）31.
16、 观察下列等式：23123361041- 7 -想一想，等式左边各项幂的底数与右边幂的底数有何关系？猜一猜可引出什么规律？用等式将其规律表示出来： 。三【课后反思】第三节 分式一【知识梳理】1分式有关概念（1）分式：分母中含有字母的式子叫做分式。对于一个分式来说：当_时分式有意义。当_时分式没有意义。只有在同时满足_，且_这两个条件时，分式的值才是零。（2）最简分式：一个分式的分子与分母_时，这样的分式叫做最简分式。（3）约分：把一个分式的分子与分母的_约去，叫做分式的约分。将一个分式约分的主要步骤是：把分式的分子与分母_，然后约去分子与分母的_。（4）通分：把几个异分母的分式分别化成与_相等
17、的_分式叫做分式的通分。通分的关键是确定几个分式的_ 。（5）最简公分母：通常取各分母所有因式的最高次幂的积作公分母，这样的公分母叫做最简公分母。求几个分式的最简公分母时，注意以下几点：当分母是多项式时，一般应先 ；如果各分母的系数都是整数时，通常取它们的系数的 作为最简公分母的系数；最简公分母能分别被原来各分式的分母整除； 若分母的系数是负数，一般先把“”号提到分式本身的前边。2分式性质：（1）基本性质：分式的分子与分母都乘以（或除以）同一个 ，分式的值 即： (0)AMB其 中（2）符号法则：_ 、_ 与_的符号， 改变其中任何两个，分式的值不变。即： ab3.分式的运算： 注意：为运算简
18、便，运用分式的基本性质及分式的符号法则：若分式的分子与分母的各项系数是分数或小数时，一般要化为整数。若分式的分子与分母的最高次项系数是负数时，一般要化为正数。 4对于化简求值的题型要注意解题格式，要先化简，再代入字母的值求值二【巩固练习】()nabcdbacad同 分 母加 减 异 分 母乘分 式 运 算 乘 除 除乘 方 ()为 整 数- 8 -1. 判断对错：如果一个分式的值为 0，则该分式没有意义（ ）只要分子的值是 0，分式的值就是 0（ ）2. 在 中，整式和分式的个数分别为（ ） 222113,0,3,xyxxyA5，3 B7，1 C6，2 D5，23. 若将分式 (a、b 均为正
19、数）中的字母 a、b 的值分别扩大为原来的 2 倍，则a分式的值为（ ）A扩大为原来的 2 倍 ； B缩小为原来的 ； C不变； D缩小为原来的12144. 若分式 的值为 0，则 x 的值为（ ）21xAx=1 或 x=2 B、x=0 Cx=2 Dx=15.分式 约分的结果是 。296x6. 分式 的最简公分母是 。,4()2()yyx7. 已知分式 当 x_时，分式有意 义；当 x=_时，分式的值为25,x08. 分别写出下列等式中括号里面的分子或分母。（1） ； （2）()23nm2()ab9. 若 ，则 。7;1abab10. 已知 。则分式 的值为 。3xy23xy11. （1） 先
20、化简，再求值： ，其中 .21()1xx2x（2）先将 化简，然后请你自选一个合理的 值，求原式的值。2()1xx（3）已知 ，求 的值046yzyz- 9 -12.计算（1） ； （2） ；241aa2x（3） （4） ；24xx yxyx33（5） 4211分析：（1）题是分式的乘除混合运算，应先把除法化为乘法，再进行约分，有乘方的要先算乘方，若分式的分子、分母是多项式，应先把多项式分解因式；（2）题把当作整体进行计算较为简便；（3）题是分式的混合运算，须按运算顺序进x行，结果要化为最简分式或整式。对于特殊题型，可根据题目特点，选择适当的方法，使问题简化。 （4）题可以将 看作一个整体 ，
21、然后用分配律进行计算；yxyx（5）题可采用逐步通分的方法，即先算 ，用其结果再与 相加，依121x次类推。13. 先阅读下列一段文字，然后解答问题：已知：方程 方程121x=,2x的 解 是 ； 122=3,x的 解 是 ；方程 方程1234,的 解 是 ； 1214x5,的 解 是 ；问题：观察上述方程及其解，再猜想出方程： =10 的解，并写出检验x014. 阅读下面的解题过程，然后解题：已知 求 x+y+z 的值xyzabca()bc、 、 互 相 不 相 等 ，解：设 =k,();(),();x+yz=()0xkabykczkakabcak则 于 是仿照上述方法解答下列问题：已知：(
22、0),yz xyxzxzz求 的 值 。三【课后反思】第四节 数的开方和二次根式一【知识梳理】1.平方根与立方根- 10 -(1)如果 x2=a，那么 x 叫做 a 的 。一个正数有 个平方根，它们互为 ；零的平方根是 ； 没有平方根。（2）如果 x3=a，那么 x 叫做 a 的 。一个正数有一个 的立方根；一个负数有一个 的立方根；零的立方根是 ；2.二次根式（1）一般地，式子 叫做二次根式。（2）满足下列两个条件的二次根式，叫做最简的二次根式： ； .（3）几个二次根式 ，这几个二次根式就叫做同类二次根式。（4）二次根式的性质 ； 20,a若 则 () ab(0,)ab ； 2(),（5）
23、二次根式的运算加减法：先化为 ，再合并同类二次根式；乘法：应用公式 ；(0,)abab除法：应用公式 或转化为乘法运算。,）二次根式的运算仍满足运算律，也可以用多项式的乘法公式来简化运算。运算结果要化简为最简二次根式，分母要有理化等，要注意二次根式的运算性质成立的条件。二【巩固练习】1.填空题81 的平方根是 ，81 的算术平方根是 ， 的平方根是 .81的平方根是 ，算术平方根是 4 的数是 ，9 的负平方根是 .4； = ； = ； = .12121260一个数的平方根等于它本身，这个数是 ；一个数的算术平方根等于它本身，这个数是 ；2. 判断题- 11 -3. （05 海南）化简 的结果
24、是（ ）2A、-2 B. 2 C.-4 D.5. 如果 那么 x 取值范围是（ ）2(x-)=A、x 2 B. x 2 C. x 2 D. x26. 下列各式属于最简二次根式的是（ ）A 225+1 B.y C.1 D.057. 在二次根式： ； 是同类二次根式的是（ ）, 3273中 ， 与A和 B和 C和 D和8. 计算 所得结果是_ （注意算式中的隐含条件）321a+9. 已知ABC 的三边长分别为 a、b、c, 且 a、b、c 满足 a2 6a+9+ ，4|5|0bc试判断ABC 的形状 10. x 为何值时，下列各式在实数范围内有意义（ 分 母 不 为 零 ， 二 次 根 式 的 被 开 方 数 为 非 负 数 ）（1） ； （2） ； （3）321x14x11. 化简与计算 ； ； ； 67524()x1625. ； 292x20320452312. 已知： ，求 3x+4y 的值。2-4+x1y=、 为 实 数 ，13. 实数 P 在数轴上的位置如图所示：化简 22()()pP
