1、基于 Matlab 的复摆混沌行为研究摘 要自然界中存在无数的无序、非平衡和随机的复杂系统。混沌现象出现于非线性系统中，它揭示了有序与无序的统一，确定性与随机性的统一。混沌运动是非线性动力学系统所特有的复杂运动状态，是一种貌似随机的不规则运动，混沌的发现被誉为继相对论和量子力学后的第三次物理学革命，混沌的研究一直备受学术界的关注。Matlab 是一个适用于科学计算、工程设计、数值分析等领域的各种计算、演算和仿真分析的高性能的优秀数学软件。混沌理论研究的是非线性问题，难以用解析式表达，只能采用数值解法，而 Matlab 在这方面便可展示其强大的潜能。本论文利用了 Matlab 软件研究经典的混沌
2、现象的特征，并且对混沌的特点以及形成过程进行模拟分析研究；并用 Matlab 模拟了复摆运动行为及混沌现象，对不同周期作出相图及奇怪吸引子，可以看到随着外驱动力的增加，复摆振动逐渐由倍周期分岔走向混沌。关键词：混沌，Matlab ，复摆 ，倍周期分岔，奇怪吸引子ITHE COMPLEX BEHAVIOR OF CHAOTIC PENDULUM BASED ON MATLABABSTRACTThere are many disorders, non-equilibrium, random complex systems in the nature. Chaos appears in nonlin
3、ear systems, it reveals the unity of order and disorder, certainty and randomness of unity. Chaos is a nonlinear dynamic system unique to the complex state of motion, is a seemingly random, irregular motion, chaos, following the discovery of relativity and quantum mechanics known as the third after
4、the revolution in physics, Chaos has always been of academic attention.Matlab is a suitable for scientific computing, engineering design, numerical analysis of the various fields of computing, calculation and simulation analysis of high-quality mathematical software.Chaos theory study nonlinear syst
5、em which is difficult to express use analytic style and colud only have numerical solution, and Matlab will demonstrate its strong potential in this respect. In this thesis, a Matlab software for classical chaos characteristics, and the chaos of the characteristics and formation process of simulatio
6、n studies; and use Matlab to simulate the pendulum movement behavior and chaotic phenomena, on different cycles to the phase diagram and the strange attractor, As you can see the increase in external driving force, pendulum vibration gradually from period-dou-bling bifurcation to chaos.KEY WORDS: Ch
7、aos, Matlab,compound pendulum,bifurcation,strange attractorII目 录前 言 .11.2.4 M 文件及程序调试 .21.4 本章小结 .5第二章 混沌行为与特性 .52.1 混沌理论 .52.1.1 简单的数学游戏 .62.1.2 “蝴蝶效应” .72.2 用 Matlab 演示混沌的基本性质 .82.2.1 用 Matlab 产生标准的混沌信号 .82.2.2 倍周期分岔 通向混沌之路 .92.2.3 初值敏感性 .122.3 本章小结 .13第三章 用 Matlab模拟复摆振动中的混沌行为 .133.1 复摆运动模型与振动方程 .
8、143.2 复摆运动状态的模拟研究 .153.2.1 无驱动力无阻尼的复摆运动 .153.2.2 无驱动力有阻尼的复摆运动 .173.2.3 有驱动力有阻尼的复摆运动，受迫运动 .193.3 本章小结 .25结 论 .27参考文献 .28致 谢 .290前 言自然界中存在无数的无序、非平衡和随机的复杂系统。混沌现象出现于非线性系统中，它揭示了有序与无序的统一，确定性与随机性的统一。混沌现象是指确定性系统中出现的一种类似随机过程的行为。混沌运动是非线性动力学系统所特有的复杂运动状态，是一种貌似随机的不规则运动，混沌的发现被誉为继相对论和量子力学后的第三次物理学革命，混沌的研究一直备受学术界的关注
9、。复摆运动是大学物理中基本的力学模型之一，在教学中通常只考虑其简谐振动的情况，内容比较单一，没有太多的研究空间。实际上，当复摆在驱动力矩及阻尼力矩的作用下，将出现复杂的非线性运动，而且在一定的条件下可通过倍周期分岔逐渐进入到混沌运动状态。如果将复摆的这些非线性振动特性利用计算机模拟出来，不仅可以加深我们对复摆运动规律的认识，给我们提供一个宽阔的研究空间，而且还有助于我们了解物理学的发展前沿，开阔我们的视野。Matlab 是集数值运算、符号运算、数据可视化、数据图文字统一处理、系统动态仿真等功能于一体的数学软件，具有很高的编程效率，在线性代数、矩阵分析、数值计算及优化、系统动力学、建模与仿真等领
10、域中得到广泛应用。混沌理论研究的是非线性问题，难以用解析式表达，只能采用数值解法，而 Matlab 在这方面便可展示其强大的潜能。本论文第一章对 Matlab 进行了简单介绍，并且详细介绍了 Matlab 的基本功能及在物理中的简单应用，第二章从简单的数学游戏和“蝴蝶效应”入手，说明了混沌运动主要特征及性质，并且用 Matlab 来演示其特性。第三章从复摆的运动方程出发，利用计算机进行数值求解，研究复摆从周期运动转化为混沌运动的过程。3、用 Matlab 的 ODE 命令求解常微分方程， Matlab 解常微分方程组的能力很强而且很方便，对于我们在普通物理学中遇到的大多数动力学方程都可以用命o
11、de45 求解 3。1Matlab 只能解一阶的常微分方程组，高阶的常微分方程需要转化成一阶方程组才能求解。对于二阶常微分方程 ，首先需要化成显式形式(,)0Fxt，然后令 ， ，则二阶常微分方程化为两个一阶常微分(,)xft(1)y2)方程组成的方程组，从而使问题得到解决。(1-1)()2(1),2dytft下一节我们将举例说明如何用命令 ode45 求解常微分方程。1.2.4 M 文件及程序调试由 Matlab 语句构成的程序文件称为 M 文件，它以 m 作为文件的扩展名。M文件可分为两种：一种是主程序文件(Script File)，是由用户为解决特定的问题而编制的；另一种是子程序文件(F
12、unction File)，它必须由其它 M 文件来调用，函数文件往往具有一定的通用性，并且可以进行递归调用。1、主程序文件的格式特征如下：(1)用 clear， close all 等语句开始，清除工作空间原有的变量和图形，以避免其它以执行程序残留数据对本程序的影响；(2)如果文件中有全局变量，即在子程序中与主程序的变量，应在程序的起始部分注明；(3)整个程序应按 Matlab 标示符的要求起文件名，并加上后缀 m。2、子程序文件的格式特征如下：(1)由 Function 起头，后跟的函数名必须与文件名相同；(2)由输入输出变量，可进行变量传递；(3)除非用 global 声明，程序中的变量
13、均为局部变量，运行后不保存在工作空间中。3、质点在万有引力作用下的运动以万有引力的固定不动的施力质点 所在位置为坐标原点 , 建立直角坐0mO标系 ，质点的运动微分方程为 ，分量方程为：Oxy 3Grr2(1-4)0 02 22 2()()GmGmxyxyyx，这两个方程都是二阶常微分方程，定义解矢量为 ，令 (1-5)(1)()(3)(4)xyy， ， ，可将方程组(1-4)化为： (1-6)03220322(1)()()2()(3)(4)1Gmdytdtytt，(1)编写微分方程组函数文件 yxlcfun.m： function ydot=yxlcfun(t,y,flag,p) %函数首行
14、,p 为参量 Gm0ydot=y(2); p*y(1)/sqrt(y(1).2+y(3).2).3; y(4); p*y(3)/sqrt(y(1).2+y(3).2).3; %建立微分方程组(2)解微分方程的主程序 yxlc.m： p=-1; %取 Gm0=1 y0=-10 0.2 6 0.2;-25 0.5 5 0;-25 0.8 6 0; %三组不同初始条件 plot(0,0, *r) %画出 O 点 for i=1:3 %分别以不同初始条件解 3 次方程 t,y=ode45(yxlcfun,0:0.1:300,y0(i,:), ,p); hold on axis(-25 25 -20 2
15、0); %指定坐标范围 comet(y(:,1),y(:,3) %绘出质点运动轨迹(x,y) end %结束循环 解出的结果如图 1-7 所示：3图 1-7 万有引力场中质点运动轨迹 由上面例子，我们初步了解了 Matlab 解常微分方程的一般过程，首先是建立微分方程函数文件，文件的格式如下： fuction ydot=filename(t,y,p1,p2) %t,y 是积分区间和解矩阵 p1,p2 是参数ydot=关于 t,y 的表达式; %ydot 表示 dy/dt下面介绍 ode45 命令的用法， ode45 的一般调用格式为：T,Y=ode45(fun,tspan,y0,options
16、,p1,p2,) 其中含义如下表： 表 1-6 ode45 命令含义Fun 求解的微分方程函数名Tspan 单调递增（减）的积分区间t0:tstep:tfinaly0 初始条件矢量Options 用 odeset 建立的优化选项，一般用默认值，为空矢量“ ”p1,p2 传递给 fun 函数的参数T,Y T 是输出的时间列矢量，矩阵 Y 的每一个列矢量是解的一个分量各个项在命令中的位置和顺序不能颠倒，否则程序就会出错。41.4 本章小结本章首先对 Matlab 进行了简单介绍，介绍了 Matlab 的发展及应用前景， 然后详细介绍了基本运算功能，基本绘图功能，数值分析功能，并且简单介绍了 M文件
17、的编写及 Matlab 的程序调试。由于 Matlab 是集数值运算、符号运算、数据可视化、数据图文字统一处理、系统动态仿真等功能于一体的数学软件，所以为了加深对 Matlab 的基本功能的理解，在本章第三节我们列举了几个简单的应用。 例 1 等量异号点电荷的电势分布，应用了 Matlab 三维网格作图命令mesh(x,y,z)和基本函数数值运算功能。例 2 光栅衍射，应用了 Matlab 的基本运算功能，基本绘图功能，数值分析功能。例 3 质点在万有引力作用下的运动，应用了 Matlab 的基本运算功能，基本绘图功能，在一个窗口下绘制多条图形，并且利用 Matlab 的 ode45 命令求解
18、常微分方程，最后总结了 Matlab 的 ode45 命令解常微分方程的一般过程。第二章 混沌行为与特性2.1 混沌理论在现代物理的研究中，混沌理论的建立可能称得上是最重要的成就之一。混5沌的发现被誉为继相对论和量子力学后的第三次物理学革命，混沌的研究一直备受学术界的关注。经典物理的确定论和近代量子物理的随机论，虽然都非常成功地解决了许多自然现象，但是这两种理论之间似乎存在着对立的矛盾，只适宜于不同的领域。在宏观领域似乎只应用经典物理理论，而在微观领域中更多是使用量子力学、统计物理的随机性理论。按照确定性理论，物体运动以后在任何时间状态只是一个点，而按照随机性理论，物体的状态不是点，而是由点组
19、成的点云，点云的密度就表示物体出现这种状态的概率大小。随着物理理论的深人研究，人们发现在传统的确定性理论领域中，一定的条件下也可以出现一定的随机性现象。这种随机性又不同于传统的随机性理论研究的随机性问题，因为它又有一定的确定性。这种现象的发现和解决从而诞生了混沌理论。在经典物理中，物体的状态变化规律都是用非线性方程来描述的，只要给出一定初始条件，就可以解出这个非线性方程的解，事实上，如果对这些非线性方程进一步研究，就会发现，初始条件的变化，可以使这些本来是确定性的解出现随机性。2.1.1 简单的数学游戏(1)令 ，如果是利用二进制，按 Modell（去掉整数，只留小数的操12nnX作）进行迭代
20、 21，我们来看看其结果如何。取 = 0. 10001001001110010=0.0001001001110011=0.001001001110012X=0.01001001110013=016也就是说，其结果最终趋向于零，或者说是趋向于一个点，一般我们把这个点叫“汇” 。而如果取 =0.10001001001110011000100100111001100X001如此循环下去，我们就会发现，其结果应该有 16 种稳定的点，我们叫“稳定极限环” 。和 虽然在数学上可以说是非常接近，只存在微小的不同，但是其计算0X的结果却完全不同。这就说明，微小的初始条件的变化，可能引起不同的结果，这就是初始
21、条件的敏感性。6(2)令 。1()nnX0,1nX如果取 =2， =0.2，则 =0.32， =0.4352， =0.4912092， =0.490 23X4X999996， =0.5，也就是其结果最终趋向于点 =0. 50。n如果取 =3.3， =0.4，则 =0.792, =0.48016405， =0.8237010189565。如果继续迭代下去，其结果仍然是在 和 上循环，这就是说，其迭代的8X9结果可能是两个，我们就叫“分岔” ，像这样有两个结果的就叫“二周期” 。如果取 =3.53， =0.2，则 =0. 5648， =0.507521713， =0.80X11314X823028
22、6， = 0.366578214, =0.819661059。如果继续迭代下去，就是进行这156四数字的循环，像这样的结果就叫“四周期” 。如果取 =3. 9，那么我们就会发现其结果是无周期的，或者说是有无数的点，也就是进人完全随机状态，我们就叫“混沌” （chaos ） 。2.1.2 “蝴蝶效应”美国的著名气象学家 Edward Lorenz 从旋转的木桶实验 21，总结出包括 12个方程的方程组，建立了一个仿真的气象模型，他认为尽管气象变化万千，但总是遵循经典的物理定律，只要知道一定的初始条件，那么利用这些方程总是可以把结果算出来的。这就是说按照传统的确定性理论，他就可以确定将来的气象变化
23、的规律和任何时间的气象状态。这里需要说明的是，一般传统的科学家都认为，任何量的测量和获得都不可能是完全精确的，都有一定的近似，所以在进行计算的时候一般都采用一定的近似。因为他们认为，极小的影响和变化、差别是可以忽略不计的，事物运动之中都具有一定的收敛性，极小的差别不会引起大的影响。Lorenz 在利用计算机进行计算的时候，一次，为了省时，他就把上次计算打印结果当作初始值输人了，然而，当他一小时以后回来的时候突然发现其结果却偏差极大。开始他以为是计算机出了问题，后来经过仔细的研究，发现是由于初始值的微小差别导致其结果的极大偏差。因为那时候的计算机还很简单，存储只是 6 位，但是打印出来的只是 3 位，例如输入 0. 532001，只能打印出来 0.532，当时他认为这是极小差别，不会引起大的变化。但他的方程对这些微小的不同却是极其敏感的，他把这种现象叫作“蝴蝶效应” 。意思就是：巴西的蝴蝶抖动一下翅膀，就可能在德克萨斯引起一场风暴。蝴蝶效应说明了初始条件的重要性，也说明了科学的严谨。任何随意的忽略，
