1、 Page 1 of 6 涉及知识点多、解题过程比较复杂的整数综合题，以及基本依靠数论手段求解的其他类型问题1如果把任意 n 个连续自然数相乘，其积的个位数字只有两种可能，那么 n 是多少?【分析与解】 我们知道如果有 5 个连续的自然数，因为其内必有 2 的倍数，也有 5 的倍数，则它们乘积的个位数字只能是 0。所以 n 小于 5:当 n 为 4 时，如果其内含有 5 的倍数(个位数字为 O 或 5)，显然其内含有 2 的倍数，那么它们乘积的个位数字为 0；如果不含有 5 的倍数，则这 4 个连续的个位数字只能是 1，2，3，4 或 6，7，8，9；它们的积的个位数字都是 4；所以，当 n
2、为 4 时，任意 4 个连续自然数相乘，其积的个位数字只有两科可能：当 n 为 3 时，有 123 的个位数字为 6，234 的个位数字为 4，345 的个位数字为 0，不满足：当 n 为 2 时，有 12，23，34，45 的个位数字分别为 2，6，4，0，显然不满足至于 n 取 1 显然不满足了所以满足条件的 n 是 42如果四个两位质数 a，b，c，d 两两不同，并且满足，等式 a+b=c+d那么，(1)a+b 的最小可能值是多少?(2)a+b 的最大可能值是多少? 【分析与解】两位的质数有 11，13，17，19，23，29，3l，37，41，43，47，53，59，6l，67，71，
3、73，79，83，89，97Page 2 of 6 可得出，最小为 11+19=13+17=30，最大为 97+71=89+79=168所以满足条件的 a+b 最小可能值为 30，最大可能值为 1683如果某整数同时具备如下 3 条性质：这个数与 1 的差是质数；这个数除以 2 所得的商也是质数；这个数除以 9 所得的余数是 5那么我们称这个整数为幸运数求出所有的两位幸运数【分析与解】 条件也就是这个数与 1 的差是 2 或奇数，这个数只能是 3 或者偶数，再根据条件，除以 9 余 5，在两位的偶数中只有 14，32，50，68，86 这 5 个数满足条件其中 86 与 50 不符合，32 与
4、 68 不符合，三个条件都符合的只有 14所以两位幸运数只有 144在 555555 的约数中，最大的三位数是多少?【分析与解】555555=51111001=357111337显然其最大的三位数约数为 7775从一张长 2002 毫米，宽 847 毫米的长方形纸片上，剪下一个边长尽可能大的正方形，如果剩下的部分不是正方形，那么在剩下的纸片上再剪下一个边长尽可能大的正方形按照上面的过程不断地重复，最后剪得正方形的边长是多少毫米?【分析与解】 从长 2002 毫米、宽 847 毫米的长方形纸板上首先可剪下边长为 847 毫米的正方形，这样的正方形的个数恰好是 2002 除以 847 所得的商而余
5、数恰好是剩下的长方形的宽，于是有：2002847=2308，847308=2231，308231=17723177=3 不难得知，最后剪去的正方形边长为 77 毫米6已知存在三个小于 20 的自然数，它们的最大公约数是 1，且两两均不互质请写出所有可能的答案【分析与解】 设这三个数为 a、b、c，且 abc，因为两两不互质，所以它们均是合数小于 20 的合数有 4，6，8，9，10，12，14，15，16，18其中只含 1 种因数的合数不满足，所以只剩下 6，10，12，14，15，18 这 6 个数，但是 14=27，其中质因数 7 只有 14 含有，无法找到两个不与 14 互质的数Page
6、 3 of 6 所以只剩下 6，10，12，15，18 这 5 个数存在可能的排列所以，所有可能的答案为(6，10，15)；(10，12，15)；(10，15，18)7把 26，33，34，35，63，85，91，143 分成若干组，要求每一组中任意两个数的最大公约数是1那么最少要分成多少组? 【分析与解】26=213，33=311，34=217，35=57，63= 7，85=517，91=713，143=1113 23由于质因数 13 出现在 26、91、143 三个数中，故至少要分成三组，可以分成如下 3 组： 将 26、33、35 分为一组，91、34、33 分为一组，而 143、63、
7、85 分为一组所以，至少要分成 3 组8图 10-1 中两个圆只有一个公共点 A，大圆直径 48 厘米，小圆直径 30 厘米两只甲虫同时从 A出发，按箭头所指的方向以相同的速度分别爬了几圈时，两只甲虫首次相距最远?【分析与解】 圆内的任意两点，以直径两端点得距离最远如果沿小圆爬行的甲虫爬到 A 点，沿大圆爬行的甲虫恰好爬到 B 点，两甲虫的距离便最远小圆周长为 30=307r，大圆周长为 48 ，一半便是 24 ，30 与 24 的最小公倍数时 12012030=412024=5所以小圆上甲虫爬了 4 圈时，大圆上甲虫爬了 5 个 圆周长，即爬到了过 A 的直径另一点 B这12时两只甲虫相距最
8、远9设 a 与 b 是两个不相等的非零自然数(1)如果它们的最小公倍数是 72，那么这两个自然数的和有多少种可能的数值?(2)如果它们的最小公倍数是 60，那么这两个自然数的差有多少种可能的数值?Page 4 of 6 【分析与解】 (1)a 与 b 的最小公倍数 72=22233，有 12 个约数：1，2，3，4，6，8，9，12，18，24，36，72不妨设 ab:当 a=72 时，b 可取小于 72 的 11 种约数，a+b72+1=73 ；:当 a=36 时，b 必须取 8 或 24，a+b 的值为 44 或 60，均不同第一种情况中的值；：当 a=24 时，b 必须取 9 或 18，
9、a+b 的值为 33 或 42，均不同第一、二种情况中的值；当 a=18 时，b 必须取 8，a+b=26，不同于第一、二、三种情况的值；：当 a=12 时，b 无解；:当 a=9 时，b 必须取 8，a+b=17，不同于第一、二、三、四情况中的值总之，a+b 可以有 ll+2+2+1+1=17 种不同的值(2)60=2235，有 12 个约数：1，2，3，4，5，6，10，12，15，20，30，60a、b 为 60 的约数，不妨设 ab：当 a=60 时，b 可取 60 外的任何一个数，即可取 11 个值，于是 ab 可取 11 种不同的值：59，58，57，56，55，54，50，48，
10、45，40，30；当 a=30 时，b 可取 4，12，20，于是 ab 可取 26，18，10；：当 a=20 时，b 可取 3，6，12，15，所以 ab 可取 17，14，8，5；当 a=15 时，b 可取 4，12，所以 ab 可取 11，3；: 当 a=12 时，b 可取 5，10，所以 ab 可取 7，2总之，ab 可以有 11+3+4+2+2=22 种不同的值10狐狸和黄鼠狼进行跳跃比赛，狐狸每次跳 米，黄鼠狼每次跳 米，它们每秒钟都只跳142324一次比赛途中，从起点开始每隔 米设有一个陷阱，当它们之中有一个掉进陷阱时，另一个跳了3128多少米? 【分析与解】 由于 = ， =
11、 4492所以狐狸跳 4 个 米的距离时将掉进陷阱，黄鼠狼跳 2 个 米的距离时，将掉进陷阱3128 318又由于它们都是一秒钟跳一次，因此当狐狸掉进陷阱时跳了 11 秒，黄鼠狼掉进陷阱时跳了 9 秒，因此黄鼠狼先掉进陷阱，此时狐狸跳了 9 秒.距离为 9 =40.5(米)211.在小于 1000 的自然数中，分别除以 18 及 33 所得余数相同的数有多少个?(余数可以为 0)Page 5 of 6 【分析与解】 我们知道 18，33 的最小公倍数为18，33=198，所以每 198 个数一次 1198 之间只有 1，2，3，17，198(余 O)这 18 个数除以 18 及 33 所得的余
12、数相同，而999198=59，所以共有 518+9=99 个这样的数12甲、乙、丙三数分别为 603，939，393某数 A 除甲数所得余数是 A 除乙数所得余数的 2 倍，A 除乙数所得余数是 A 除丙数所得余数的 2 倍求 A 等于多少?【分析与解】 由题意知 4 倍 393 除以 A 的余数，等于 2 倍 939 除以 A 的余数，等于甲 603 除以 A 的余数即 603A=ak；(2939)A=bk；(4393)A=ck于是有(1878603)A=ba；(18781572)A=bc；(1572603)A=ca所以 A 为 1275，306，969 的约数，(1275，306，969)
13、=173=51于是，A 可能是 51，17(不可能是 3，因为不满足余数是另一余数的 4 倍)当 A 为 51 时，有 60351=1142；93951=1821；39351=736不满足；当 A 为 17 时，有 60317=358；93917=554；39317=232；满足所以，除数 4 为 1713证明：形如 11，111，1111，11111，的数中没有完全平方数【分析与解】 我们知道奇数的完全平方数是奇数，偶数的完全平方数为偶数，而奇数的完全平方数除以 4 余 1，偶数的完全平方数能被 4 整除现在这些数都是奇数，它们除以 4 的余数都是 3，所以不可能为完全平方数评注：设奇数为
14、2n+1，则它的平方为 +4n+1，显然除以 4 余 12n14有 8 个盒子，各盒内分别装有奶糖 9，17，24，28，30，31，33，44 块甲先取走一盒，其余各盒被乙、丙、丁 3 人所取走已知乙、丙取到的糖的块数相同且为丁的 2 倍问：甲取走的一盒中有多少块奶糖?【分析与解】 我们知道乙、丙、丁三人取走的七盒中，糖的块数是丁所取糖块数的 5 倍八盒糖总块数为 9+17+24+28+30+31+33+44=216从 216 减去 5 的倍数，所得差的个位数字只能是 1 或 6观察各盒糖的块数发现，没有个位数字是 6 的，只有一个个位数字是 1 的数 31因此甲取走的一盒中有 3l 块奶糖
15、15在一根长木棍上，有三种刻度线第一种刻度线将木棍分成 10 等份；第二种将木棍分成 12 等Page 6 of 6 份；第三种将木棍分成 15 等份如果沿每条刻度线将木棍锯断，那么木棍总共被锯成多少段? 【分析与解】 10，12，15 的最小公倍数10，12，15=60，把这根木棍的 作为一个长度单位，这160样，木棍 10 等份的每一等份长 6 个单位；12 等份的每等份长 5 个单位；15 等份的每等份长 4 单位不计木棍的两个端点，木棍的内部等分点数分别是 9，11，14(相应于 10，12，15 等份)，共计 34个由于 5，6 的最小公倍数为 30，所以 10 与 12 等份的等分点在 30 单位处相重，必须从 34 中减 1又由于 4，5 的最小公倍数为 20，所以 12 与 15 等份的等分点在 20 单位和 40 单位两处相重，必须再减去 2同样，6，4 的最小公倍数为 12，所以 15 与 10 等份的等分点在 12，24，36，48 单位处相重，必须再减去 4由于这些相重点各不相同，所以从 34 个内分点中减去 1，再减去 2，再减去 4，得 27 个刻度点沿这些刻度点把木棍锯成 28 段
