1、雅可比迭代法与高斯塞德尔迭代法的比较赵连云(03211085)包头师范学院数学科学学院摘要：在求解线性代数方程组的许多实际问题中，尤其在偏微分方程的差分方法与有限方法的求解问题之中，用迭代法去解线形方程组有明显的优点.其中最主要的是雅可比（Jacobi）迭代法和高斯-塞得尔（Gauss-Seidel）迭代法，本文就这两种方法及它们的收敛判别条件作了较系统的归纳总结，并给出典型例子加以分析.对具体的求解中，选用那一种方法使解题更快速，更有效有着重要意义.关键词：Jacobi 迭代法； Gauss-Seidel 迭代法； 收敛； 比较.一 预备知识定义 1 设 nijaA为 n 阶矩阵. 如果 n
2、,.i,nijji 21(13)即 A 的每一行对角元素的绝对值都严格大于同行其他元素绝对值之和，则称 A为严格对角优势矩阵. 如果 n,.i,anijji 21且至少有一个不等式严格成立,则称 A 为弱对角优势矩阵.例如 3102是严格对角优势矩阵， 3102是弱对角优势矩阵.定义 2 设 nijaA是 n 阶矩阵，如果经过行的互换及相应列的互换可化为210, 即存在 n 阶排列矩阵 P,使210APT其中 21A,为方阵，则称 A 是可约的,否则称 A 为不可约的.二 具体内容（一） 雅可比迭代法设线性方程组 bAx(1)的系数矩阵 A 可逆且主对角元素 na,.21均不为零,令diagD
3、并将 A 分解成 (2)从而(1)可写成bxA 令1fBx其中 bDf,IB11. (3)以 为迭代矩阵的迭代法(公式) 11fxkk(4)称为雅可比(Jacobi)迭代法(公式),用向量的分量来表示,(4)为,.k,n.iabaxnij)k(jiii)k(i 210211(5)其中 Tnx,.x0201为初始向量.由此看出,雅可比迭代法公式简单,每迭代一次只需计算一次矩阵和向量的乘法.在电算时需要两组存储单元,以存放 kx及 1.例 1 用雅可比迭代法求解下列方程组2453810722.xx.解 将方程组按雅可比方法写成 8402031732 32.xx.取初始值 TT,30210按迭代公式
4、 840203721113 322.xx.kkk kkk进行迭代，其计算结果如表 1 所示 表 1k 0 1 2 3 4 5 6 7x10 0.72 0.971 1.057 1.0853 1.0951 1.0983 k20 0.83 1.070 1.1571 1.1853 1.1951 1.1983 30 0.84 1.150 1.2482 1.2828 1.2941 1.2980 （二） 高斯塞德尔迭代法由雅可比迭代公式可知,在迭代的每一步计算过程中是用 kx的全部分量来计算 1kx的所有分量,显然在计算第 i 个分量1kix时,已经计算出的最新分量11i.没有被利用，从直观上看,最新计算出
5、的分量可能比旧的分量要好些.因此，对这些最新计算出来的第 k次近似 1k的分量1kjx加以利用,就得到所谓解方程组的高斯塞德（Gauss-Seidel）迭代法.把矩阵 A 分解成 ULDA(6) 其中 na,.diagD21, 分别为 的主对角元除外的下三角和上三角部分,于是,方程组(1)便可以写成bx即 2fB其中 bLDf,ULD1212 (7)以 2B为迭代矩阵构成的迭代法(公式) 221fxBkk(8)称为高斯塞德尔迭代法(公式),用 量表示的形式为 ,.k,ni xabaxij nij)k(j)k(ji)k(i 2102111(9)由此看出,高斯塞德尔迭代法的一个明显的优点是,在电算
6、时,只需一组存储单元(计算出1kix后ki不再使用,所以用1kix冲掉ki,以便存放近似解.例 2 用高斯塞德尔迭代法求解例 1.解 取初始值 TT,x003201，按迭代公式 840032712113 32 2.xx.kkk kkk进行迭代，其计算结果如下表 2表 2k 0 1 2 3 4 5 6 7x10 0.72 1.04308 1.09313 1.09913 1.09989 1.09999 1.1k20 0.902 1.16719 1.19572 1.19947 1.19993 1.19999 1.2kx30 1.1644 1.28205 1.29777 1.29972 1.29996
7、 1.3 1.3从此例看出,高斯塞德尔迭代法比雅可比迭代法收敛快(达到同样的精度所需迭代次数少),但这个结论,在一定条件下才是对的,甚至有这样的方程组,雅可比方法收敛，而高斯塞德尔迭代法却是发散的.（三）迭代收敛的充分条件定理 1 在下列任一条件下,雅可比迭代法(5)收敛. 11nijijiamxB; 11nijij; 111njiijjTamxADI定理 2 设 21B,分别为雅可比迭代矩阵与高斯塞德尔迭代矩阵,则 12B(10)从而，当 11nijijiamx时，高斯塞德尔迭代法(8)收敛.证明 由 21B,的定义,它们可表示成ULDB1 UDLI112 用 e表示 n维向量T,.e,则有
8、不等式 eB11L这里,记号表示其中矩阵的元素都取绝对值,而不等式是对相应元素来考虑的,于是 IeBLDIeU111容易验证 011nn所以, LDI1及 I可逆，且1111 LDI.LInLI1从而有 eIBLDIIeUeB1112eB11因此必有 12因为已知 1B所以 .即高斯塞德尔迭代法收敛.若矩阵 A为对称，我们有定理 3 若矩阵 正定,则高斯 塞德尔迭代法收敛.证明 把实正定对称矩阵 A 分解为TLDTLU,则 为正定的,迭代矩阵 TB12设 是 2的任一特征值, x为相应的特征向量,则 xLDT1以 LD左乘上式两端,并由 A有T用向量 x的共轭转置左乘上式两端 ,得 xLxTT
9、1(11)求上式左右两端的共轭转置,得 ATT以 1和 分别乘以上二式然后相加,得xxLTT 21由 TLDA,得AxxATT 即 LTT2211(12)因为 A 和 D 都是正定的,且 x 不是零向量,所以由(11)式得 1,而由(12)式得 02, 即 ,从而 2B,因而高斯 塞德尔迭代法收敛.定理 4 如果 A 为严格对角优势矩阵或为不可约弱对角优势矩阵,则对任意0x,雅可比迭代法 (4)与高斯塞德尔迭代法(8)均为收敛的.证明 下面我们以 A 为不可约弱对角优势矩阵为例，证明雅可比迭代法收敛.要证明雅可比迭代法收敛，只要证 1B, 是迭代矩阵.用反证法,设矩阵 1B有某个特征值 ,使得
10、 ,则 01BIdet,由于 A 不可约,且具有弱对角优势，所以 1D存在，且DAII 11从而 0Adet另一方面，矩阵 与矩阵 A 的非零元素的位置是完全相同的，所以DA也是不可约的,又由于 1,且 A 弱对角优势，所以 n,.ianijjii 2并且至少有一个 i 使不等号严格成立.因此,矩阵 D弱对角优势，故DA为不可约弱对角优势矩阵.从而0det矛盾，故 1B的特征值不能大于等于 1，定理得证.（四）典型例题例 设 Ax=b 其系数矩阵A = 1431证明：它的 Jacobi 迭代公式发散，而 Gauss-Seidel 迭代公式收敛.证：矩阵 A 的 Jacobi 迭代公式B = -
11、 （L+U）D1 043 只能用 （）.1（ ） BI433423即 0271623443232)(max31iBi所以 其 Jacobi 迭代公式发散.A 的高斯-塞得尔迭代矩阵 G = - ULD1 645901304314361ULDG=-64590131U1 1G1只能用 )(f 06459013GI1 i.3.2i146.03.)(G所以 高斯-塞得尔迭代法收敛.三 总结以上给出了雅可比迭代法和高斯塞得尔迭代法及判断它们收敛的各种方法，通过例题可以看出雅可比迭代法的收敛性和高斯塞得尔迭代法的收敛性之间没有必然的联系.这些知识让我们对迭代法有了更广泛更深入的了解.特别是在解线性方程组时，怎样选择合适的方法去解题有实际意义.四 参考文献1 数植分析原理 M 吴勃英编 科学出版社 2003 年 8月2 数值计算方法和算法 M 张韵华等编 科学出版社 2000 年 1月3 计算方法 M 姚敬之等编 河海大学出版社 2002 年4 计算机数值方法 M 施吉林等编 高等教育出版社 1999 年 5 算法语言与计算方法基础 M 刘水强编 科学出版社 2005 年 4月
