1、1.1 直角坐标系中的平移变换与伸缩变换目标：平移变换与伸缩变换的应用与理解一.直角坐标系1.直线上，取定一个点为原点，规定一个长度为单位长度，规定直线的一个方向为正方向。这样我们就建立了直线上的坐标系 (即数轴)。它使直线上任意一点 P 都可以由惟一的实数 来确定。x2.平面上，取定两条互相垂直的直线作为 、 轴，它们的交点作为y坐标原点，并规定好长度单位和这两条直线的正方向。这样我们就建立了平面直角坐标系。它使平面上任意一点 P 都可以由惟一的二元有序实数对来确定。),(yx3.在空间中，选择三条两两垂直且交于一点的直线，以这三条直线分别作为 、 、 轴，它们的交点作为坐标原点，并规定好长
2、度单位和这z三条直线的正方向。这样我们就建立了空间直角坐标系。它使空间中任意一点 P 都可以由惟一的三元有序实数对 来确定。),(zyx事实上，直线上所有点的集合与全体实数的集合一一对应；平面上所有点的集合与全体二元有序数对 的集合一一对应；空间中所有点的),集合与全体三元有序数对 的集合一一对应.(zyx二.平面直角坐标系中图形的平移变换1.平移变换在平面内，将图形 F 上所有点按照同一个方向，移动同样长度，称为图形 F 的平移。若以向量 表示移动的方向和长度，我们也称图形 F 按向a量 平移a在平面直角坐标系中，设图形 F 上任意一点 P 的坐标为 ，向量),(yx，平移后的对应点为 .)
3、,(kh),(yxP则有： ),(,khyx即有： .因此，我们也可以说，在平面直角坐标系中，由 所确定的变换ykxh是一个平移变换。因为平移变换仅改变图形的位置，不改变它的形状和大小所以，在平移变换作用下，曲线上任意两点间的距离保持不变。例 1.已知点 按向量 平移至点 Q，求点 Q 的坐标；)3,4(P)5,1(a.求直线 按向量 平移后的方程。02:yxl )3,2一般地我们有如下关于平移变换的结论：.将点 按向量 平移，),(yxP),(0yxa所得点 的坐标为： . 0.将曲线 按向量 平移，,:fC),(所得曲线 的方程为 .:0f注：点 按向量 平移，)3,4(P)5,1(a得点
4、 ，即： ； )8,3P直线 按向量 平移，02:yxl 2(得直线 ，即： .)()( 023:yxl2.有关曲线平移的一般性结论.直线 ，按向量 平移后得0:byaxl ),(0yxa直线 . 过点 .)()(0 ),(0yx.曲线 ，按向量 平移后得22:rC),(0曲线 中心为 .200)()(ryx ),(0.曲线 ，按向量 平移后得1:2ba),(0yxa曲线 中心为 .)()(200yx ),(0yx.曲线 ，按向量 平移后得1:2baC),(0yxa曲线 中心为 .1)()(:2020byaxC ),(0yx.曲线 ，按向量 平移后得py),(0xa曲线 顶点为 .)(:00
5、,0例 2.说明方程 表示什么曲线，求这个曲线186942yxyx的顶点、中心、焦点、渐近线和离心率.三.平面直角坐标系中的伸缩变换1. 伸缩变换例 3.我们已经知道，方程 所表示的曲线可以看作由方程xy2sin所表示的曲线上所有点的纵坐标不变，横坐标变为原来的 得xysin 21到的曲线；同理，将方程 所表示的曲线上所有点的纵坐标保i持不变，而横坐标变为原来的 2 倍，也可以得到方程 所表示的xysin曲线. 这也就是说，方程 所表示的曲线可以通过伸缩变换得xysn到方程 所表示的曲线xysin实际上，设 ，则 可以化为 .yx,2x2sinxysin由 ，所确定的变换，是曲线上所有点的纵坐
6、标不变，横坐标变yx为原来的 2 倍，也可以称为曲线按伸缩系数为 2 向着 轴的伸缩变换(这里y是变换前的点， 是变换后的点),(yxP,(yxP一般地，由 ，所确定的伸缩变换，是按伸缩系数为 向着 轴的伸缩变换(当 1 时，表示伸长；当 1 时，表示伸长；当 1 时，表示压缩)，即曲线上所有点的横坐标不变，纵坐标变为原来的 倍(这里 是变换前的点，),(yxP是变换后的点).),yxP由 ，所确定的伸缩变换，是按伸缩系数 向着 轴和按伸缩系数 向着 轴的伸缩变换(当 时，表示伸长， 时，表示压缩；y11当 时，表示伸长，当 1 时，表示压缩 )，即曲线上所有点的横坐标1和纵坐标分别变为原来的
7、 倍和 倍(这里 是变换前的点，,(yxP是变换后的点).),(xP在伸缩变换中，曲线上任意两点间距离的不变性已不存在那么缩变换有什么特征呢?我们来考察直线与圆在伸缩变换作用下的变化例 4.对下列曲线向着 轴进行伸缩变换，伸缩系数是 .x41k. ；0632yx. .1(设 是变换前的点， 是变换后的点).),P),(yP注： .直线 经过伸缩变换后的方程为 ，0632yx 036yx它仍然表示一条直线；.圆 经过伸缩变换后的方程为 ，它变为椭圆.1122.有关曲线伸缩变换的一般性结论.直线经过伸缩变换后，仍是直线因此，在伸缩变换作用下，点的共线性质保持不变。.曲线 在伸缩变换 （或 或 ）作
8、0),(:yxfCyxyx用下（ 时表示拉伸， 时表示压缩） ，所得曲线 的方程11,C为：（或 或 ）.:),(yxf 0),(xf0),(xf.曲线 上各点的横坐标（或纵坐标、或横坐标和纵坐标）0,:fC压缩为原来的 ，可得曲线1:C),(yxf（或 或 ， 时表示压缩， 时表示拉伸）),(yxf),(xf11.例 5.设曲线 ， ， ，2log:log:21xyxy22log3:.9:3xyC由曲线 经过何种变换可以得到曲线 、 、 .1C23例 6.设 是 与 的中点，经过伸缩变换 后，它1M),(1yxA),(2Bykx21们分别为 ，求证： 是 的中点22M2A(设 是变换前的点，
9、 是变换后的点).,P,yxP四.典型例题1.两个定点的距离为 4，点 M 到这两个定点的距离的平方和为 16，则点 M 的轨迹是 （ ）A.圆 B.椭圆 C.双曲线 D.抛物线2.将函数 图象上所有点的横坐标扩大为原来的 2 倍，纵坐标拉伸xysin为原来的 2 倍，得到的函数图象的解析式为 （ ）A. B. C. D.i1xy21sinxysinxy21sin3.将点 变换为点 所用的伸缩变换公式是 （ )2,(P),6(P）A. B. C. D.yx31yx321yx213yx234.已知点 按向量 平移至点 Q，求点 Q 的坐标;),(P)4,1(a已知点 按向量 平移至点 ，求平移向
10、量 .230,2a5.将对数函数 曲线的横坐标拉伸为原来的 2 倍，xy3log求所得曲线的方程.6.在同一直角坐标系中，已知伸缩变换 .yx23:.求点 经过 变换所得到的点 的坐标；)2,31(AA.点 经过 变换得到点 ，求点 的坐标B)1,3(B.求直线 经过 变换后所得到的直线 的方程；xyl6:l.求双曲线 经过 变换后所得到的曲线 的焦点坐标.42CC7.在平面直角坐标系中求将曲线 变为曲线 1:2yxC149:2yxC的伸缩变换.8.方程 表示何种曲线，求它的中心坐标、0716843:2yxyxC焦点坐标、准线方程、离心率五.课外练习六.补充练习1.将点 的横坐标伸长到原来的
11、2 倍，纵坐标压缩为原来的 ，得到),(yxP 31点 的坐标为 （ ）A. B. C. D.)3,2()3,(yx),3(yx)2,(yx2.曲线 经过伸缩变换 后得到曲线 的方程为 ,Cy1C )(log2则曲线 的方程为 （ ）A. B. )2(log31xy )(l32xyC. D.2 og3.已知点 按向量 平移至点 Q，求点 Q 的坐标;)2,3(P)4,1(a已知点 按向量 平移至点 ，求向量 .13a4.写出曲线按向量 平移后的方程.)3,4(. ；053yx. 825.求下列方程所表示的曲线的顶点、焦点、中心及准线方程. ； 842yx. .05y6.对下列曲线向着 轴进行伸缩变换，伸缩系数 .y21k. ; x3sin2. 1487.对 曲线向着 轴进行伸缩变换，伸缩系数 .01242yxx2k8.在平面直角坐标系中求将曲线 变为曲线0142:2yxC的伸缩变换.014:2 yxyC
