1、1(周老师用 1） 第 2 单元 动能 势能 动能定理一、动能1动能：物体由于运动而具有的能，叫动能。其表达式为： 。21mvEk2对动能的理解（1）动能是一个状态量，它与物体的运动状态对应动能是标量它只有大小，没有方向，而且物体的动能总是大于等于零，不会出现负值（2）动能是相对的，它与参照物的选取密切相关如行驶中的汽车上的物品，对汽车上的乘客，物品动能是零；但对路边的行人，物品的动能就不为零。3动能与动量的比较（1）动能和动量都是由质量和速度共同决定的物理量， 或 2mvEkpkmEp2（2）动能是标量，动量是矢量。物体的动能变化，则其动量一定变化；物体的动量变化，则其动量不一定变化。（4）
2、动能决定了物体克服一定的阻力能运动多么远；动量则决定着物体克服一定的阻力能运动多长时间。动能的变化决定于合外力对物体做多少功，动量的变化决定于合外力对物体施加的冲量。二、势能（位能）1、重力势能（E p） 举高 。 物体由于受到重力的作用，而具有的与其相对位置有关的能量叫做重力势能。 Epm g h （h 是重心相对于零势能面的高度）（1） 、相对性 “零高度”或“零势能面” ， （大地或最低点）势能的正负和大小是相对于零势能面的势能的正负和大小于零势能面的选取有关（2）重力势能变化量的绝对性跟物体的初位置的高度和末位置的高度有 关，跟物体运动的路径无关。重力势能改变量与零势能面的选取无关重力
3、势能的改变量与路径无关（3）重力势能的改变重力做正功，重力势能减 小，重力做负功，重力势能增大（等值变化）2、弹性势能（E p） 弹性形变发生形变的物体，在恢复原状时能够对外做功，因而具有能量，叫弹性势能，跟物体形变和材料有关。三、动能定理1 动能定理的推导物体只在一个恒力作用下，做直线运动wFSm a 即 wV21212mv推广： 物体在多个力的作用下、物体在做曲线运动、物体在变力的作用下结论： 合力所做的功等于动能的增量 合力做正功动能增212加，合力做负功动能减小注：动能定理表达式是一个标量式，不能在某一个方向上应用动能定理。【例 1】 一个质量为 m 的物体静止放在光滑水平面上，在互成
4、 60角的大小相等的两个水平恒力作用下，经过一段时间，物体获得的速度为 v，在力的方向上获得的速度分别为 v1、v 2，那么在这段时间内，其中一个力做的功为2A B C D 261mv24v231mv21v2对外力做功与动能变化关系的理解：外力对物体做正功，物体的动能增加，这一外力有助于物体的运动，是动力；外力对物体做负功，物体的动能减少，这一外力是阻碍物体的运动，是阻力，外力对物体做负功往往又称物体克服阻力做功 功是能量转化的量度，外力对物体做了多少功；就有多少动能与其它形式的能发生了转化所以外力对物体所做的功就等于物体动能的变化量即3应用动能定理解题的步骤（1）确定研究对象和研究过程。和动
5、量定理不同，动能定理的研究对象只能是单个物体，如果是系统，那么系统内的物体间不能有相对运动。 （原因是：系统内所有内力的总冲量一定是零，而系统内所有内力做的总功不一定是零） 。（ 2） 对 研 究 对 象 受 力 分 析 。（ 研 究 对 象 以 外 的 物 体 施 于 研 究 对 象 的 力 都 要 分 析 ， 含 重 力 ）。（3）写出该过程中合外力做的功，或分别写出各个力做的功（注意功的正负）（4）写出物体的初、末动能。按照动能定理列式求解。 【例 2】 将小球以初速度 v0 竖直上抛，在不计空气阻力的理想状况下，小球将上升到某一最大高度。由于有空气阻力，小球实际上升的最大高度只有该理想
6、高度的 80%。设空气阻力大小恒定，求小球落回抛出点时的速度大小 v。【例 3】如图所示，质量为 m 的钢珠从高出地面 h 处由静止自由下落，落到地面进入沙坑h/10 停止，则（1）钢珠在沙坑中受到的平均阻力是重力的多少倍？（2）若让钢珠进入沙坑 h/8，则钢珠在 h 处的动能应为多少？设钢珠在沙坑中所受平均阻力大小不随深度改变。【例 4】 质量为 M 的木块放在水平台面上，台面比水平地面高出 h=0.20m，木块离台的右端 L=1.7m。质量为 m=0.10M 的子弹以 v0=180m/s 的速度水平射向木块，并以 v=90m/s 的速度水平射出，木块落到水平地面时的落地点到台面右端的水平距
7、离为s=1.6m，求木块与台面间的动摩擦因数为 。3四、动能定理的综合应用1应用动能定理巧求变力的功如果我们所研究的问题中有多个力做功，其中只有一个力是变力，其余的都是恒力，而且这些恒力所做的功比较容易计算，研究对象本身的动能增量也比较容易计算时，用动能定理就可以求出这个变力所做的功。【例 5】一辆车通过一根跨过定滑轮的绳 PQ 提升井中质量为 m 的物体，如图所示绳的 P 端拴在车后的挂钩上， Q 端拴在物体上设绳的总长不变，绳的质量、定滑轮的质量和尺寸、滑轮上的摩擦都忽略不计开始时，车在 A 点，左右两侧绳都已绷紧并且是竖直的，左侧绳长为 H提升时，车加速向左运动，沿水平方向从 A 经过
8、B 驶向 C设 A 到 B 的距离也为H，车过 B 点时的速度为 vB求在车由 A 移到 B 的过程中，绳Q 端的拉力对物体做的功2应用动能定理简解多过程问题。物体在某个运动过程中包含有几个运动性质不同的过程（如加速、减速的过程），此时可以分段考虑，也可以对全过程考虑。【例 7】 如图所示，斜面足够长，其倾角为 ，质量为 m 的滑块，距挡板 P 为 s0，以初速度 v0 沿斜面上滑，滑块与斜面间的动摩擦因数为 ，滑块所受摩擦力小于滑块沿斜面方向的重力分力，若滑块每次与挡板相碰均无机械能损失，求滑块在斜面上经过的总路程为多少？ 解析：滑块在滑动过程中，要克服摩擦力做功，其机械能不断减少；又因为滑
9、块所受摩擦力小于滑块沿斜面方向的重力分力，所以最终会停在斜面底端。 3利用动能定理巧求动摩擦因数【例 8】 如图所示，小滑块从斜面顶点 A 由静止滑至水平部分 C 点而停止。已知斜面高为 h，滑块运动的整个水平距离为 s，设转角 B 处无动能损失，斜面和水平部分与小滑块的动摩擦因数相同，求此动摩擦因数。 44利用动能定理巧求机车脱钩问题【例 9】总质量为 M 的列车，沿水平直线轨道匀速前进，其末节车厢质量为 m，中途脱节，司机发觉时，机车已行驶 L 的距离，于是立即关闭油门，除去牵引力。设运动的阻力与质量成正比，机车的牵引力是恒定的。当列车的两部分都停止时，它们的距离是多少？五、针对训练1质量
10、为 m 的物体，在距地面 h 高处以 g/3 的加速度由静止竖直下落到地面.下列说法中正确的是 BA.物体的重力势能减少 mgh B.物体的动能增加 mgh3131C.物体的机械能减少 mgh D.重力做功 mgh2质量为 m 的小球用长度为 L 的轻绳系住，在竖直平面内做圆周运动，运动过程中小球受空气阻力作用.已知小球经过最低点时轻绳受的拉力为 7mg，经过半周小球恰好能通过最高点，则此过程中小球克服空气阻力做的功为 CA.mgL/4 B.mgL/3 C.mgL/2 D.mgL3如图所示，木板长为 l，板的 A 端放一质量为 m 的小物 块，物块与板间的动摩擦因数为 。开始时板水平，在绕 O
11、 点缓 慢转过一个小角度 的过程中，若物块始终保持与板相对静 止。对于这个过程中各力做功的情况，下列说法正确的是 ( C )A、摩擦力对物块所做的功为 mglsin (1-cos )B、弹力对物块所做的功为 mglsin cosC、木板对物块所做的功为 mglsinD、合力对物块所做的功为 mgl cos4质量为 m 的飞机以水平速度 v0 飞离跑道后逐渐上升，若飞机在此过程中水平速度保持不变，同时受到重力和竖直向上的恒定升力(该升力由其他力的合力提供，不含重力) ，今测得当飞机在水平方向的位移为 l 时，它的上升高度为 h，求：(1)飞机受到的升力大小; (2)从起飞到上升至 h 高度的过程
12、中升力所做的功及在高度 h 处飞机的动能.解析：（1）飞机水平速度不变l=v0t y 方向加速度恒定 h= at2 即得 a=12l由牛顿第二定律 F=mg+ma=mg(1+ v02)gl(2)升力做功 W=Fh=mgh(1+ v02)l在 h 处 vt=at= ha2Ek= m(v02+vt2) = mv02(1+ )14l55如图所示，质量 m=0.5kg 的小球从距地面高 H=5m 处自由下落，到达地面恰能沿凹陷于地面的半圆形槽壁运动，半圆槽半径 R=0.4m。小球到达槽最低点时速率为 10m/s，并继续沿槽壁运动直到从槽右端边缘飞出，如此反复几次，设摩 擦力恒定不变，求：（设小球与槽壁
13、相碰时不损失能量）（1）小球第一次离槽上升的高度 h；（2）小球最多能飞出槽外的次数（取 g=10m/s2） 。解析：（1）小球落至槽底部的整个过程中，由动能定理得 21)(mvWRHmgf得 J 21)(mvRHgWf由对称性知小球从槽底到槽左端口摩擦力的功也为 J，则小球第一次离槽上升的高2fW度 h，由 得 4.2m21)(vgf mgRvhf（2）设小球飞出槽外 n 次，则由动能定理得0fWmH25.64fgH即小球最多能飞出槽外 6 次。 第 3 单元 机械能守恒定律一、机械能守恒定律1、 条件在只有重力做功的情形下，物体的动能和重力势能发生相互转化，但机械能的总量保持不变。 （和只
14、受到重力不同）只有系统内的弹力做功，动能和弹性势能相互转化，机械能的总量保持不变。(3) 其它力的总功为零,机械能守恒（举例：木块压缩弹簧）2、对机械能守恒定律的理解： “守恒”是时时刻刻都相等。 “守恒”是“进出相等” 要分清“谁” 、 “什么时候”守恒 、是否守恒与系统的选择有关 、机械能守恒定律的研究对象一定是系统，至少包括地球在内。通常我们说“小球的机械能守恒”其实一定也就包括地球在内，因为重力势能就是小球和地球所共有的。另外小球的动能中所用的 v，也是相对于地面的速度。3、机械能守恒定律的各种表达形式初状态 = 末状态 增加量 = 减少量用时，需要规定重力势能的参考平面。用时则不必规
15、定重力势能的参考平面，因为重力势能的改变量与参考平面的选取没有关系。尤其是用 E 增 =E 减 ，只要把增加的机械能和减少的机械能都写出来，方程自然就列出来了。4、解题步骤确定研究对象和研究过程。判断机械能是否守恒。选定一种表达式，列式求解。5、动能定理与机械能守恒的联系1、 动能定理适用于任何物体（质点） ，机械能守恒定律适用于系统2、 动能定理没有条件，机械能守恒定理有条件限制3、 动能定理有时可改写成守恒定律二、机械能守恒定律的综合应用例 1、如图所示，质量分别为 2 m 和 3m 的两个小球固定在一根直角尺的两端 A、 B，直角尺的顶点 O 处有光滑的固定转动轴。 AO、 BO 的长分
16、别为 2L 和 L。开始时直角尺的 AO 部分处于水平位置而 B 在 O 的正下方。让该系统由静止开始自由转动，求：当 A 到达最低点时， A 小球的速度大小 v； B 球能上升的最大高度 h；开始转动后B 球可能达到的最大速度 vm。解析：以直角尺和两小球组成的系统为对象，由于转动过程不受摩擦和介质阻力，所以该系统的机械能守恒。 BO6过程中 A 的重力势能减少， A、 B 的动能和 B 的重力势能增加， A 的即时速度总是 B 的 2 倍。，解得 223132 vmvLmg 18gL B 球不可能到达 O 的正上方，它到达最大高度时速度一定为零，设该位置比 OA 竖直位置向左偏了 角。2
17、mg2Lcos =3mgL（1+sin ） ，此式可化简为 4cos -3sin =3，解得 sin（53- ）=sin37， =16 B 球速度最大时就是系统动能最大时，而系统动能增大等于系统重力做的功 WG。设 OA 从开始转过 角时 B 球速度最大，=2mg2Lsin -3mgL（1-cos ）2311vv=mgL（4sin +3cos -3）2 mgL，解得 14gvm例 2、如图所示，半径为 的光滑半圆上有两个小球 ，质量分别为 ，由细线挂着，今由RBA、 Mm和静止开始无初速度自由释放，求小球 升至最高点 时 两球的速度？C、解析： 球沿半圆弧运动，绳长不变， 两球通过的路程相等，
18、A、上升的高度为 ； 球下降的高度为 ；对于hB24RH系统，由机械能守恒定律得： ；KPE2)(12vmMgREPvc例 3、如图所示，均匀铁链长为 ，平放在距离地面高为 的光滑水LL2平面上，其长度的 悬垂于桌面下，从静止开始释放铁链，求铁链下端51刚要着地时的速度？解：选取地面为零势能面： 得：21)10(524mvgmg gL7451例 4、如图所示，粗细均匀的 U 形管内装有总长为 4L 的水。开始时阀门 K 闭合，左右支管内水面高度差为 L。打开阀门 K 后，左右水面刚好相平时左管液面的速度是多大？（管的内部横截面很小，摩擦忽略不计）解析：由于不考虑摩擦阻力，故整个水柱的机械能守恒
19、。从初始状态到左右支管水面相平为止，相当于有长 L/2 的水柱由左管移到右管。系统的重力势能减少，动能增加。该过程中，整个水柱势能的减少量等效于高 L/2 的水柱降低 L/2 重力势能的减少。不妨设水柱总质量为 8m，Kv1/2 ABOv1O AB BO A 7则 ，得 。281vmLg 8gL点评：需要注意的是研究对象仍然是整个水柱，到两个支管水面相平时，整个水柱中的每一小部分的速率都是相同的。例 5、如图所示，游乐列车由许多节车厢组成。列车全长为 L，圆形轨道半径为 R， （ R 远大于一节车厢的高度 h 和长度 l，但 L2 R）.已知列车的车轮是卡在导轨上的光滑槽中只能使列车沿着圆周运
20、动，在轨道的任何地方都不能脱轨。试问：在没有任何动力的情况下，列车在水平轨道上应具有多大初速度 v0，才能使列车通过圆形轨道而运动到右边的水平轨道上？解析：当游乐车灌满整个圆形轨道时，游乐车的速度最小，设此时速度为 v，游乐车的质量为 m，则据机械能守恒定律得： 22011vgLm要游乐车能通过圆形轨道，则必有 v0，所以有 LgR0例 6、小球在外力作用下，由静止开始从 A 点出发做匀加速直线运动，到 B 点时消除外力。然后，小球冲上竖直平面内半径为 R 的光滑半圆环，恰能维持在圆环上做圆周运动，到达最高点 C 后抛出，最后落回到原来的出发点 A 处，如图所示，试求小球在 AB 段运动的加速
21、度为多大？ 解析：要题的物理过程可分三段：从 A 到孤匀加速直线运动过程；从 B 沿圆环运动到 C 的圆周运动，且注意恰能维持在圆环上做圆周运动，在最高点满足重力全部用来提供向心力；从 C 回到 A 的平抛运动。根据题意，在 C 点时，满足 Rvmg2从 B 到 C 过程，由机械能守恒定律得221Bmv由、式得 gvB5 从 C 回到 A 过程，满足gtR 水平位移 s=vt， R 由、式可得 s=2R从 A 到 B 过程，满足2Bvas ga45例 7、如图所示，半径分别为 R 和 r 的甲、乙两个光滑的圆形轨道安置在同一竖直平面上，轨道之间有一条水平轨道 CD 相通，一小球以一定的速度先滑
22、上甲轨道，通过动摩擦因数为 的 CD 段，又滑上乙轨道，最后离开两圆轨道。若小球在两圆轨道的最高点对轨道压力都恰好为零，试求水平 CD 段的长度。解析：（1）小球在光滑圆轨道上滑行时，机械能守恒，设小球滑过 C 点时的速度为 ，通过甲环最高点速度为 v，根据小球对最高点压力为零，由圆周运动公式有 Rmg2取轨道最低点为零势能点，由机械守恒定律2211vmgC由、两式消去 v，可得 C5同理可得小球滑过 D 点时的速度 grD，设 CD 段的长度为 l，对小球滑过 CD 段过程应用动能定理221mgl，8将 Cv、 D代入，可得 2)(5rRl三、针对训练1将一球竖直上抛，若该球所受的空气阻力大
23、小不变，则其力大小不变，则其上升和下降两过程的时间及损失的机械能的关系是（ ）A ， B m 时，相对静止是的共同速度必向左，不会再次与墙相碰，可求得摩擦生热是；当 M=m 时，显然最终共同速度为零，当 Mm 时，相对静止时的共同速度vQ2a b cABCDMm v10必向右，再次与墙相碰，直到小车停在墙边，后两种情况的摩擦生热都等于系统的初动能 21vmMQ【例 6】 用轻弹簧相连的质量均为 2 kg 的 A、B 两物块都以 v 6 ms 的速度在光滑的水平地面上运动，弹簧处于原长，质量 4 kg 的物块 C 静止在前方，如图所示.B 与C 碰撞后二者粘在一起运动.求：在以后的运动中：（1）
24、当弹簧的弹性势能最大时，物体 A 的速度多大?（2）弹性势能的最大值是多大?（3）A 的速度有可能向左吗?为什么?解析：（1）当 A、 B、 C 三者的速度相等时弹簧的弹性势能最大.由于 A、 B、 C 三者组成的系统动量守恒， （m A+mB）v（ mA+mB+mC）v A解得 vA= m/s=3 m/s426)(（2）B 、 C 碰撞时 B、 C 系统动量守恒，设碰后瞬间 B、 C 两者速度为 v，则mBv=（m B+mC）v v= =2 m/s设物 A 速度为 vA时弹簧的弹性势能最大为 Ep，根据能量守恒 Ep= （m B+mC） + mAv2- （m A+mB+mC）21212Av=
25、 （2+4）2 2+ 262- （2+2+4）3 2=12 J1（3）A 不可能向左运动系统动量守恒，m Av+mBv=mAvA+（m B+mC）v B设 A 向左，v A0，v B4 m/s 则作用后 A、B、C 动能之和E= mAvA2+ （m B+mC）v B2 （m B+mC）v B2=48 J11实际上系统的机械能 E=Ep+ （m A+mB+mC） =12+36=48 JA根据能量守恒定律， E 是不可能的【例 7】 如图所示，滑块 A 的质量 m0.01 kg，与水平地面间的动摩擦因数 =0.2，用细线悬挂的小球质量均为 m=0.01 kg，沿 x 轴排列，A 与第 1 只小球及
26、相邻两小球间距离均为 s=2 m，线长分别为L1、L 2、L 3（图中只画出三只小球，且小球可视为质点） ，开始时，滑块以速度 v010 m/s 沿 x 轴正方向运动，设滑块与小球碰撞时不损失机械能，碰撞后小球均恰能在竖直平面内完成完整的圆周运动并再次与滑块正碰（1）滑块能与几个小球碰撞?（2）求出碰撞中第 n 个小球悬线长 Ln 的表达式.解析：（1）因滑块与小球质量相等且碰撞中机械能守恒，滑块与小球相碰撞会互换速度，小球在竖直平面内转动，机械能守恒，设滑块滑行总距离为 s0，有得 s025 m 2001vmgs （ 个 ）120s（2）滑块与第 n 个球碰撞，设小球运动到最高点时速度为 v
27、n11对小球,有: nnnmgLv212 nLvmg2对滑块，有： 201vs解 三式: 54520gsvLn【例 8】 如图所示，两个小球 A 和 B 质量分别是 mA=2.0 kg，m B=1.6 kg.球 A 静止在光滑水平面上的 M 点，球 B 在水平面上从远处沿两球的中心连线向着球 A 运动.假设两球相距 L18 m 时存在着恒定的斥力 F，L18 m 时无相互作用力.当两球相距最近时，它们间的距离为 d2 m，此时球 B 的速度是 4 ms.求：（1）球 B 的初速度；（2）两球之间的斥力大小；（3）两球从开始相互作用到相距最近时所经历的时间.解析：（1）设两球之间的斥力大小是 F
28、，两球从开始相互作用到两球相距最近时的时间是 t0 当两球相距最近时球 B 的速度是 vB=4 m/s，此时球 A 的速度与球 B 的速度大小相等，vA vB 4 m/s. 由动量守恒定律可得：m BvB0m AvA+mBvB 代人数据解得 vB09 m/s（1 分）（2）两球从开始相互作用到它们之间距离最近时它们之间的相对位移 sL-d由功能关系可得：Fs= mBvB02-（ mAvA2+ mBvB2） 代人数据解得 F=2.25 N11（3）根据动量定理，对 A 球有：Ft= mAvA-0 t= A代入数值解得 t= s=3.56 s 93三、针对训练1物体在恒定的合力作用下做直线运动，在
29、时间 t 1 内动能由 0 增大到 E1，在时间t 2 内动能由 E1 增大到 E2.设合力在 t 1 内做的功是 W1、冲量是 I1；在 t 2 内做的功是W2、冲量是 I2.那么 AA.I1I 2，W 1 W2 B.I1I 2，W 1 W2 C.I1I 2，W 1W 2 D.I1I 2，W 1W 22如图所示，分别用两个恒力 F1 和 F2 先后两次将质量为 m 的物体从静止开始，沿着同一个粗糙的固定斜面由底端推到顶端，第一次力 F1 的方向沿斜面向上，第二次力 F2 的方向沿水平向右，两次所用时间相同.在这两个过程中 BDA.F1 和 F2 所做功相同 B.物体的机械能变化相同C.F1
30、和 F2 对物体的冲量大小相同 D.物体的加速度相同3一轻质弹簧，上端悬挂于天花板，下端系一质量为 M 的平板，处在平衡状态.一质量为 m 的均匀环套在弹簧外，与平板的距离为 h，如图所示，让环自由下落，撞击平板.已知碰后环与板以相同的速度向下运12动，使弹簧伸长 ACA.若碰撞时间极短，则碰撞过程中环与板的总动量守恒B.若碰撞时间极短，则碰撞过程中环与板的总机械能守恒C.环撞击板后，板的新的平衡位置与 h 的大小无关D.在碰后板和环一起下落的过程中，它们减少的动能等于克服弹簧力所做的功4如图所示，质量均为 的木块 并排放在光滑水平MBA、面上， 上固定一根轻质细杆，轻杆上端的小钉（质量不计）
31、AO 上系一长度为 L 的细线，细线的另一端系一质量为 的m小球 ，现将 球的细线拉至水平，由静止释放，求：C（1）两木块刚分离时， 速度各为多大？C、（2）两木块分离后，悬挂小球的细线与竖直方向的最大夹角多少？解：（1） 三者组成的系统满足动量守恒和机械能守恒，选取最低点BA、， 球到达最低点时 共同速度为 ， 速度 为，规定向左为正方向：0PE、 Avcv)1(2 cMvm )2(12 AMmgL解得： MvgLAC ；（2） 、从 球在最低点开始， 与 组成一个系统满足动量守恒和机械能守恒，设摆C到最高处为 ，此时， 共同速度为 ：xh、 x)1( xAcvmv )2()(2122 xxAc mghvvm解得： ； LhgLMxx )(2 ； )(cos1M
