1、第四章 矩阵的特征值第一节 向量的内积在第三章中，我们研究了向量的线性运算，并利用它讨论向量之间的线性关系，但尚未涉及到向量的度量性质.在空间解析几何中，向量 和 的长度与夹角等度量性质可以,321x,321y通过两个向量的数量积),cos(|y来表示，且在直角坐标系中，有,321xx.|本节中，我们要将数量积的概念推广到 维向量空间中，引入内积的概念 n分布图示 引言 内积的定义与性质 例 1 例 2 例 3 向量的长度与性质 单位向量及 n 维向量间的夹角 例 4 例 5 正交向量组 向量空间的正交基 求规范正交基的方法 例 6 例 7 例 8 正交矩阵与正交变换 例 9 内容小结 课堂练
2、习 习题 4-1内容要点一、内积及其性质定义 1 设有 维向量n ,2121nnyx令 ,21xy称 为向量 与 的内积.,yxxy内积是两个向量之间的一种运算, 其结果是一个实数, 按矩阵的记法可表示为 .),(, 2121nTyxyx内积的运算性质 (其中 , 为 维向量,yxzn:)R(1) ;,yx(2) (3) ;,zz(4) ; 当且仅当 时, .00xx二、向量的长度与性质定义 2 令 ,| 221nxxx称 为 维向量 的长度(或范数 ).|xnx向量的长度具有下述性质:(1) 非负性 ;当且仅当 时, ;0|0x|(2) 齐次性 ;|x(3) 三角不等式 ;| yxy(4)
3、对任意 维向量 , 有 .n|,注: 若令 则性质(4)可表示为),(),(2121 nTnT yyxx iiiix121上述不等式称为柯西布涅可夫斯基不等式，它说明 中任意两个向量的内积与它们长度nR之间的关系.当 时, 称 为单位向量.1|xx对 中的任一非零向量 , 向量 是一个单位向量,因为nR|.1| 注: 用非零向量 的长度去除向量 ,得到一个单位向量,这一过程通常称为把向量 单 位化.当 定义,0|,|.)0(|,arcos称 为 维向量 与 的夹角.n三、正交向量组定义 3 若两向量 与 的内积等于零，即，0,则称向量 与 相互正交. 记作 .注: 显然,若 , 则 与任何向量
4、都正交 .0定义 4 若 维向量 是一个非零向量组，且 中的向量两两正交，nr,21 r,21则称该向量组为正交向量组.定理 1 若 维向量 是一组正交向量组，则 线性无关.r,21 r,1四、规范正交基及其求法定义 5 设 是一个向量空间，nRV 若 是向量空间 的一个基，且是两两正交的向量组，则称r,21 V是向量空间 的正交基.r,21 若 是向量空间 的一个基, 两两正交, 且都是单位向量, 则称re,21 re1是向量空间 的一个规范正交基.re,1 V若 是 的一个规范正交基, 则 中任一向量 能由 线性表示, 设表示r, Vre1式为,ree21为求其中的系数 可用 左乘上式,
5、有),2,1(riTi,iiie即 ,iTi这就是向量在规范正交基中的坐标的计算公式.利用这个公式能方便地求得向量 在规范正交基 下的坐标为： 因此, 我们在给出向量空间的基时常常取规范正re,1 ).,(21r交基.规范正交基的求法:设 是向量空间 的一个基,要求 的一个规范正交基, 也就是要找一组两两正r,1 VV交的单位向量 ,使 与 等价. 这样一个问题,称为把 这个基规范re r,1 ra,1 r,1正交化，可按如下两个步骤进行： (1) 正交化 .,;,; 11211221 rrrrr 容易验证 两两正交,且 与 等价.r1 ,1 r注: 上述过程称为施密特(Schimidt)正交
6、化过程. 它不仅满足 与 等价,r,1 r,1还满足:对任何 , 向量组 与 等价 .)1(rkk,1 k,1(2) 单位化: 取 ,|,|,|21 reee则 是 的一个规范正交基.r,21 V注： 施密特(Schimidt)正交化过程可将 中的任一组线性无关的向量组 化为nRr,1与之等价的正交组 ；再经过单位化，得到一组与 等价的规范正交组k,1 r,1re,21五、正交矩阵与正交变换定义 6 若 阶方阵 满足nA(即 ),ETTA1则称 为正交矩阵, 简称正交阵.A定理 2 为正交矩阵的充分必要条件是 的列向量都是单位正交向量组.注：由 与 等价,定理的结论对行向量也成立.即 为正交矩
7、阵的充分必ETT A要条件是 的行向量都是单位正交向量组.定义 7 若 为正交矩阵,则线性变换 称为正交变换.PPxy正交变换的性质：正交变换保持向量的长度不变.例题选讲例 1 设有 中的基 试求 与 的内3R,)10(,)10(,)1(32TTT i)3,21,(j积.解 ,0,21 ,0,32.013 同理可得 )32(,，ii例 2 求 .,1,解 ,3,3, ，.,2,3例 3 是 n 维实向量 下列算式无意义:, ),1(（1） ;,（2） .2,解 在(1)中, 表示一个数，因此 是一个向量，而 及 都是 , ,数，故 也是数.于是(1)式变为一个向量减去一个数，显然没有意义 .在
8、(2)中， 是数， 表示 与 的数乘， 表示 与,的内积，事实上,因此(2)式中第一项是一个数，而 是一个向量，两者相加无意义 .2例 4 求 中向量 之间的夹角 .3RTT)2,3(,)304(解 由,5|22 ,4)(| 22,34630)(4, 所以.1032arcos,1032456|,cos 例 5 求 中的向量 , 的夹角 .RTT)42,(),0,1(解 因为,010)1(, 而所以,0|,cos.9例 6 (E01) 设 试用施密特正交化方法, 将向量组正交014,3,12规范化.解 不难证明 321,是线性无关的.取 ，1;35164|,122 .10220|,|,23123
9、3 再把它们单位化，取 .102|,13|,126| 321 eee即为所求.32,例 7 用施密特正交化方法，将向量组正交规范化.)1,53(),401,(),1(2解 显然， 是线性无关的.先正交化，取321,),(1),312,0(),1(4),01(,122 ),021,(),(4),(8),53(,223133 再单位化，得规范正交向量如下,21,),(|1 e,143,0)3,0(4|2 .0,62,),21(6|3 e例 8 (E02) 已知三维向量空间中两个向量 正交，试求 使 ，,1231,2构成三维空间的一个正交基.3解 设 且分别与 正交.则,0),(3213Tx21, 0,3231即 ,32132解之得 .01x令 3x132x由上可知 ， 构成三维空间的一个正交基.1,2例 9 (E03) 判别下列矩形是否为正交阵 . .9/74/198/)2(;12/3/13/)( 解 (1) 考察矩阵的第一列和第二列，它不是正交矩阵；,021321(2) 由正交矩阵的定义， ,1097491879418 T课堂练习1. 试将线性无关的向量组正交化.,)1,(T,)1,3(2TT)8,602(32. 已知 求一组非零向量 , 使 两两正交.,132321,
