1、第 1 页（共 5 页）二次函数在闭区间上的最值一、知识要点：二次函数的区间最值问题，核心是函数对称轴与给定区间的相对位置关系的讨论。一般分为：对称轴在区间的左边，中间，右边三种情况.设 ，求 在 上的最大值与最小值。fxabxc()()20fx()mn，分析：将 配方，得顶点为 、对称轴为bac242， xba2当 时，它的图象是开口向上的抛物线，数形结合可得在m，n上 的最值：0 f()（1）当 时， 的最小值是 的最大值是bamn2， fx()fbacx242，中的较大者。ff()、（2）当 时，若 ，由 在 上是增函数则 的最小值是 ，最大值是bafx()n， fx()fm()fn()
2、若 ，由 在 上是减函数则 的最大值是 ，最小值是n2m，当 时，可类比得结论。0二、例题分析归类：（一）、正向型是指已知二次函数和定义域区间，求其最值。对称轴与定义域区间的相互位置关系的讨论往往成为解决这类问题的关键。此类问题包括以下四种情形：（1）轴定，区间定；（2）轴定，区间变；（3）轴变，区间定；（4）轴变，区间变。1. 轴定区间定二次函数是给定的，给出的定义域区间也是固定的，我们称这种情况是“定二次函数在定区间上的最值” 。例 1. 函数 在区间0，3 上的最大值是_ ，最小值是_。yx24。图 1练习. 已知 ，求函数 的最值。23xfx()21第 2 页（共 5 页）图 22、轴
3、定区间变二次函数是确定的，但它的定义域区间是随参数而变化的，我们称这种情况是“定函数在动区间上的最值” 。例 2. 如果函数 定义在区间 上，求 的最小值。fx()12t， 1fx()图 1 图 2 图 8例 3. 已知 ，当 时，求 的最大值2()3fx1()xttR，()fx。二次函数的区间最值结合函数图象总结如下：当 时a0)(21)()( 21max 如 图如 图， ， nmabnff )(2)()(2)( 543min如 图 如 图如 图， ， abfnabfxf第 3 页（共 5 页）当 时a0)(2)()()()( 876max如 图 如 图如 图， ， abfnnff fxfm
4、bann()()()i， 如 图如 图219103、轴变区间定二次函数随着参数的变化而变化，即其图象是运动的，但定义域区间是固定的，我们称这种情况是“动二次函数在定区间上的最值” 。例 4. 已知 ，且 ，求函数 的最值。x21a0fxa()23解 。图 3例 5. (1) 求 在区间-1,2上的最大值 。2f(x)ax1(2) 求函数 在 上的最大值。)(y,4. 轴变区间变二次函数是含参数的函数，而定义域区间也是变化的，我们称这种情况是“动二次函数在动区间上的最值” 。例 6. 已知24()0,yax，求2(3)uxy的最小值。第 4 页（共 5 页）二）、逆向型是指已知二次函数在某区间上
5、的最值，求函数或区间中参数的取值。例 7. 已知函数 在区间 上的最大值为 4，求实数 a 的值。2()1fxax3,2例 8.已知函数 在区间 上的最小值是 3 最大值是 3 ，求 ， 的值。2()xf,mnmnm例 9. 已知二次函数 在区间 上的最大值为 3，求实2f(x)a(1)x3,2数 a 的值。 三、巩固训练1函数 在 上的最小值和最大值分别是 （ ） y12x,1 ,3 ,3 （C） ,3 （D） , 3 )(A)(B4321412函数 在区间 上的最小值是 （ ）24,2)(7)()()(3函数 的最值为 （ ）5482xy最大值为 8，最小值为 0 不存在最小值，最大值为
6、8 )(A)(B（C）最小值为 0, 不存在最大值 不存在最小值，也不存在最大值D4若函数 的取值范围是_4,22xy5已知函数 上的最大值是 1，则实数 afxaa()()()13032 在 区 间 ，的值为 6如果实数 满足 ，那么 有 （ ）y,2)1(xy(A)最大值为 1 , 最小值为 (B)无最大值，最小值为 43（C）)最大值为 1, 无最小值 (D)最大值为 1，最小值为7已知函数 在闭区间 上有最大值 3，最小值 2，则 的取值范围是 32xy,0mm第 5 页（共 5 页）（ ） (A) (B) (C) (D) ),12,02,12,(8若 ，那么 的最小值为_1,0yxx3yx9设 是方程 的两个实根，则 的最小值_21Rm0m21x10设 求函数 的最小值 的解析式。),(,4)( Rtf )(xf)(tg11已知 ，在区间 上的最大值为 ，求 的最小值。)(xf22a1,0)(a)(12.（2009 江苏卷）设 a为实数，函数 2()()|fxax. (1)若 (0)1f，求 的取值范围； (2)求 x的最小值； (3)设函数 ,()hf，直接写出( 不需给出演算步骤) 不等式 ()1h的解集.
