1、1离散数学期末复习提要课程的主要内容1、 集合论部分（集合的基本概念和运算、二元关系和函数） ；2、 数理逻辑部分（命题逻辑、谓词逻辑） ；3、 图论部分（图的基本概念、特殊的图，树及其性质） 。一、 各章复习要求与重点第一章 命题逻辑复习知识点、命题与联结词（否定、析取、合取、蕴涵、等价），复合命题、命题公式与解释，真值表，公式分类（永真、矛盾、可满足），公式的等价、析取范式、合取范式，极小（大）项，主析取范式、主合取范式 、公式类别的判别方法（真值表法、等值演算法、主析取/合取范式法）、全功能集、推理理论本章重点内容：命题与联结词、公式与解释、析取范式与合取范式、公式恒真性的判定、推理理论
2、复习要求、理解命题的概念；了解命题联结词的概念；理解用联结词产生复合命题的方法。、理解公式与解释的概念；掌握求给定公式真值表的方法，用基本等价式化简其他公式，公式在解释下的真值。、了解析取（合取）范式的概念；理解极大（小）项的概念和主析取（合取）范式的概念；掌握用基本等价式或真值表将公式化为主析取（合取）范式的方法。、掌握利用真值表、等值演算法和主析取/合取范式的唯一性判别公式类型和公式等价的方法。掌握 24个重要等值式。2、掌握推理理论，会写出推理的证明，掌握附加前提证明法和归谬发。本章重点习题习题 P31-36: 1.1,1.7-1.9,1.12,1.18,1.19，1.15疑难解析1、公
3、式恒真性的判定判定公式的恒真性，包括判定公式是恒真的或是恒假的。具体方法有两种，一是真值表法，对于任给一个公式，主要列出该公式的真值表，观察真值表的最后一列是否全为 1（或全为 0），就可以判定该公式是否恒真（或恒假），若不全为 0，则为可满足的。二是推导法，即利用基本等价式推导出结果为1，或者利用恒真（恒假）判定定理：公式 G 是恒真的（恒假的）当且仅当等价于它的合取范式（析取范式）中，每个子句（短语）均至少包含一个原子及其否定。这里要求的析取范式中所含有的每个短语不是极小项，一定要与求主析取范式相区别，对于合取范式也同样。2、范式求范式，包括求析取范式、合取范式、主析取范式和主合取范式。关
4、键有两点：一是准确理解掌握定义；另一是巧妙使用基本等价式中的分配律、同一律和互补律，结果的前一步适当使用等幂律，使相同的短语（或子句）只保留一个。3、推理理论掌握构造证明法，一是要理解并掌握 8 个推理定理，二是会使用常用的推理规则，附加前提证明法和归谬法，需要进行一定的练习。例题分析例 1 求 的主析取范式与主合取范式。PRQPG解 （1）求主析取范式，方法 1：利用真值表求解3RQPPRQG0 0 00 0 10 1 00 1 11 0 01 0 11 1 01 1 1000000111010101101011111因此RQP RQPRQPRG 方法 2：推导法RQPRRQPRRPPP （
5、2）求主合取范式方法 1：利用上面的真值表为 0 的有两行，它们对应的极大项分别为PRQP RQP,因此， RQP方法 2：利用已求出的主析取范式求主合取范式已用去 6 个极小项，尚有 2 个极小项，即4与 于是RQPPRQRPG例 2 试证明公式 为恒真公式。P证法一 ：G=（ PQ）（QR ）（PR）=（PQ） （QR）PR=（P Q）（PR） （QQ ） （Q R）P）R=（P QP）（P RP）（QRP）R=（1（QRP）R=QRPR=1故 G 为恒真公式。例 3 构造下面的推理证明前提：p(qr) , sr , ps结论：q 证明：p s 前提引入p 化简p (qr) 前提引入q r
6、 假言推理s 化简sr 前提引入r 假言推理5q 析取三段论推理正确。第二章 一阶逻辑复习知识点 1、谓词、量词、个体词、个体域、变元（约束变元与自由变元）2、一阶逻辑公式与解释，谓词公式的类型（永真、矛盾、可满足）3、一阶逻辑公式等值式4、前束范式本章重点内容：谓词与量词、公式与解释、前束范式复习要求1、理解谓词、量词、个体词、个体域、变元的概念；理解用谓词、量词、逻辑联结词描述一个简单命题；了解命题符号化。2、理解公式与解释的概念；掌握在有限个体域下消去公式量词，求公式在给定解释下真值的方法；了解谓词公式的类型。3、证明等值式。4、掌握求公式前束范式的方法。本章重点习题习题 P52-55：
7、2.3，2.12 , 2.13,2.14, 2.15疑难解析1、谓词与量词反复理解谓词与量词引入的意义，概念的含义及在谓词与量词作用下变量的自由性、约束性与换名规则。62、公式与解释能将一阶逻辑公式表达式中的量词消除，写成与之等价的公式，然后将解释 I 中的数值代入公式，求出真值。3、前束范式在充分理解掌握前束范式概念的基础上，利用改名规则、基本等价式与蕴涵式（一阶逻辑中） ，将给定公式中量词提到母式之前称为首标。典型例题例 1 设 I 是如下一个解释： 3,2DF(2) F(3) P(2) P(3) Q(2,2) Q(2,3) Q(3,2) Q(3,3)3 2 0 1 1 1 0 1求 的真
8、值。y,xFQPyx解 10113,FQP2,3FP2Q,x,xxy,FxPy例 2 试将一阶逻辑公式化成前束范式。解xRzQyxPzG,第三章 集合的基本概念和运算复习知识点1、集合、元素、集合的表示方法、子集、空集、全 集、集合的包含、相等、幂集72、集合的交、并、差、补等运算及其运算律（交换律、结合律、分配律、吸收律、 对偶律等），文氏图3、集合的计数本章重点内容：集合的概念、集合的运算性质、集合恒等式的证明，集合的计数复习要求1、理解集合、元素、子集、空集、全集、集合的包含、相等、幂集等基本概念。2、掌握集合的表示法和集合的交、并、差、补等基本运算。3、掌握集合运算基本规律，证明集合等
9、式的方法。4、 掌握集合的计数。 疑难解析1、集合的概念重点对幂集加以掌握，一是掌握幂集的构成，一是掌握幂集元数为 2n。2、集合恒等式的证明重视吸收律和重要等价式在 证明中的特殊作用。BA习题 P71-75: 3.8， 3.9，3.16 ， 3.17， 3.18例题分析例 1 设 A，B 是两个集合，A=1，2 ，3，B=1 ，2，则 。)(BA解 3,21,213,)(,于是 3,21,3)(BA例 2 设 ，试求：,ba(1) ； (2) ； (3),； A8(4) ； (5) ； (6) 。Aba,A解 (1) (2) (3), ba,(4) (5) (6)ba,例 3 试证明 BAB
10、A证明BABBA第四章 二元关系和函数复习知识点1、笛卡尔积，关系、关系矩阵 2、复合关系与逆关系 3、关系的性质（自反性、对称性、反对称性、传递性） 4、关系的闭包（自反闭包、对称闭包、传递闭包）5、等价关系与等价类6、偏序关系与哈斯图（Hasse）、极大/小元、最大/ 小元、上/下界、最小上界、最大下界7、函数及其性质（单射、满射、双射）8、复合函数与反函数本章重点内容：二元关系的概念、关系的性质、关系的闭包、等价关系、映射的概念复习要求1、理解关系的概念：二元关系、空关系、全关系、恒等关系；掌握关系的集合表示、关系矩阵和关系图、关系的运算。92、掌握求复合关系与逆关系的方法。3、理解关系
11、的性质（自反性、反自反性，对称性、反对称性、传递性），掌握其判别方法（定义、矩阵、图）。4、掌握求关系的闭包 （自反闭包、对称闭包、传递闭包）的方法。5、理解等价关系和偏序关系的概念，掌握等价类的求法和偏序关系做哈斯图的方法，极大/小元、最大/小元、上/下界、最小上界、最大下界的求法。6、理解函数概念：函数、函数相等、复合函数和反函数。7、理解单射、满射、双射等概念，掌握其判别方法。疑难解析1、关系的概念理解并熟练掌握二元关系的概念及关系矩阵、关系图表示。2、关系的性质及其判定关系的性质既是对关系概念的加深理解与掌握，又是关系的闭包、等价关系、偏序关系的基础。 要会判断关系的性质。、关系的闭包
12、在理解掌握关系闭包概念的基础上，主要掌握闭包的求法。关键是熟记三个定理的结论： ；定理 3， ；定理 4，推论 。AIRr1RsniRt1、半序关系及半序集中特殊元素的确定理解与掌握半序关系与半序集概念的关键是哈斯图。哈斯图画法掌握了，对于确定任一子集的最大（小）元，极大（小）元也就容易了。这里要注意，最大（小）元与极大（小）元只能在子集内确定，而上界与下界可在子集之外的全集中确定，最小上界为所有上界中最小者，最小上界再小也不小于子集中的任一元素，可以与某一元素相等，最大下界也同样。、映射的概念与映射种类的判定10映射的种类主要指单射、满射、双射与非单非满射。判定的方法除定义外，可借助于关系图
13、，而实数集的子集上的映射也可以利用直角坐标系表示进行，尤其是对各种初等函数。习题 P112-116: 4.4， 4.25例题分析例 1 设集合 ，判定下列关系，哪些是自反的，对称的，反对称的和传递的：dcbaA,R cbaRdcadcbR, ,5 4321 解：均不是自反的；R 4是对称的；R 1 ,R2 ,R3 , R4 ,R5是反对称的； R1 ,R2 ,R3 , R4 ,R5是传递的。例 2、设集合 上的关系 ，求出它的自反闭包，A,321 ,对称闭包和传递闭包。解： 4,3,24,)(Rr312s,1,1,)(t第五-七章 图论复习知识点1、无向图、有向图，通路，回路，连通分支 2、关
14、联矩阵、邻接矩阵，可达矩阵3、二部图，欧拉图，哈密顿图，平面图4、树 本章重点内容： 图的基本概念，特殊图的判定复习要求1、理解图的有关概念：图、完全图、子图、图的同构。2、掌握图的矩阵表示（关联矩阵、邻接矩阵）。113、学会判断特殊的图。4、理解无向树与有向树的概念。疑难解析本章的概念较多，学习时需要认真比较各概念的含义，如：图、子图、有向图；路、简单路、回路；连通分支；二部图，欧拉图，哈密顿图，平面图；树等。典型例题例 1 在具有 n 个顶点的完全图 Kn中删去多少条边才能得到树？解：n 个顶点的完全图 Kn中共有 n（n-1）/2 条边，n 个顶点的树应有 n-1 条边，于是，删去的边有
15、：n （n-1 ）/2-（n-1）= （n-1） （n-2）/2二、考核说明本课程的考核按平时成绩 30%期末考试 70%的分配进行考核。 期末考试实行统一闭卷考核，试卷满分为 100。 （考试时间为 110 分钟）。1、试题类型试题类型有选择题（分数占 5%）、填空题（分数占 15%）、计算题（分数占 21%），证明题（分数占 28%）和解答题（分数占 21%）。2、考核试卷题量分配试卷题量在各部分的分配是：集合论约占 40%，数理逻辑约占 50%，图论约占 10%。综合练习及解答（一）填空题1、请把“ 大于 3 而小于或等于 7 的整数集合”用任一种集合的表示方法表示出来 A= 。2、 A
16、，B 是两个集合，A=1 ，2，3，4 ，12B=2，3，5，则 B-A= ， （B） （A）= ， （B ）的元素个数为 。3、 设 2,1,BbaA，则从 A 到 B 的所有映射 。4、 设命题公式 ，则使公式 G 为假的解释是 、)(RQPG和 。5、全集 E=1，2，3 ，4，5，A=1，5，B=1，2，3 ，4，C=2，5， 求 AB= ， （A） （C）= ，C= 。6、表达式 xyL（x，y）中谓词的定义域是a，b ，c，将其中的量词消除，写成与之等价的命题公式为 。（二）单项选择题（选择一个正确答案的代号，填入括号中）1. 设命题公式 ，则 G 是（ ）。)()(PRQPGA.
17、永真的 B.永假的 C.可满足的 D.析取范式2、设集合 ，A 上的关系 ，则 =（ ）。,cba),(),(cba2R).,(),();,(),(;DCB3、一个公式在等价意义下，下面哪个写法是唯一的（ ）。A析取范式 B合取范式 C主析取范式 D 以上答案都不对4、设命题公式 G=（P Q），H=P （Q P），则 G 与 H 的关系是（ ）。AG H BH G CG=H D 以上都不是5、下列命题正确的是（ ）。A = B = Caa，b ，c D a，b，c136、设集合 A=a，b，c ，A 上的关系 R=（a，b ），（a，c），（b，a），（b，c），（c，a），（c，b ），（
18、c，c） ，则 R 具有关系的（ ）性质。A自反 B对称 C 传递 D反对称7、设 R 为实数集，映射 =RR， （x）= -x2+2x-1，则 是（ ）。A单射而非满射 B满射而非单射 C双射 D既不是单射，也不是满射8、下列语句中，（ ）是命题。A下午有会吗？ B这朵花多好看呀！ C2 是常数。 D 请把门关上。9、下面给出的一阶逻辑等价式中，（ ）是错的。A x（ A（x） B（x ）= xA（x） xB（x）B AxB（x ） =x （A B（x）C x（ A（x） B（x ）= xA（x） xB（x）D xA（x）= x（ A（x）（三）计算题1、设 R 和 S 是集合 上的关系，其
19、中 ，试求： （1）4,321 )4,(2),3(,1SR写出 R 和 S 的关系矩阵；（2）计算 。11, RSRS2、 设 A=a，b，c，d，R 1，R 2是 A 上的关系，其中 R1=（a，a），（a，b），（b，a），（b ，b），（c，c），（c，d），（d，c），（d，d ），R 2=（a ，b ），（b，a），（a，c ），（c ，a），14（b，c），（c，b），（a ，a），（ b，b），（c，c） 。（1） 画出 R1和 R2的关系图；（2） 判断它们是否为等价关系，是等价关系的求 A 中各元素的等价类。3、 用真值表判断下列公式是恒真？恒假？可满足？（1）（P P） Q
20、（3） （P Q） Q（3）（ PQ） （Q R） （P R）4. 设解释 I 为：（1） 定义域 D=-2，3，6；（2） F（x ）：x 3；G（x）： x5。 在解释 I 下求公式 x（F（x ） G（x）的真值。155、化简下式：（A BC） （A B） （A （B C） A）6、已知 A=1，2，3 ，4，5，B=1，2，3，R 是 A 到 B 的二元关系，并且 R=（x，y）|x A 且 yB且 2 x+y 4，画出 R 的关系图，并写出关系矩阵。7、求命题公式 （P Q） （P Q）的析取范式与合取范式。（四）证明题1、证明等价式 。 RPQRP)()()(2、 构造推理证明： , TRSTRPQ蕴涵 Q。3、 A，B，C 为任意的集合，证明：（A B） C=A（B C）164、 利用一阶逻辑的基本等价式，证明：xy（F（x） G（y）= xF（x） yG（y ） 5 有向图 如图所示。G（1）求 的邻接矩阵 ； A（2） 中 到 长度为 4的路径有几条？ 1v（3） 中 到自身长度为 3的回路有几条？ （4） 是哪类连通图？ G
