1、弹性棒的弯曲变形研究案例背景对于某一均匀圆柱形细长弹性棒， 在棒的两端施加方向相反大小相等 （等于F ） 的轴向压力. 实验表明， 当且仅当 F 大于某力 F1 时， 棒才会发生弯曲. 这 个 力 F1 称为临界力. 而当 F = F2 2F1 时，棒的平衡状态如示意图 1 那样：棒的两个端点重合 （假设棒仍处在弹性限度之内） . 试建立数学模型来验证实验的结果.并且完成以下任务：一、计算力学特征：1. 临界力 F1 的表达式；2 F2 / F1 的精确的理论比值.二、计算 F = F2 时棒的平衡状态曲线的几何特征：1宽度与棒长之比;2高度与棒长之比;3端点重合处的夹角(单位：度).示意图
2、1一问题的分析仔细思考问题的条件和要求，思考如下：1. 工作前奏概念理解F2 / F1 的精确的理论比值，通过对材料力学和数学的理解，并查阅了相关资料，认为它是指相对于给定的 ,这里的精确不是指误差为 0，而是指在允许的范围内较 2 更为精确的比值，比值越精确，模型越是合理。2. 中心任务建立在 作用下弹性棒的的曲线方程并求解2F（1） 问题转化。问题要求确定一个精确 比值，以及计算出 F = F2 时棒的平衡21/F状态曲线的几何特征；即使要求建立一个合理的曲线方程模型来表示弹性棒的变形，并通过解此方程球的相应的几何特征。（2） 具体方法。具体方法是否得当，不仅仅是该模型建立本身的合理性、逻
3、辑严密性，而且要求该模型具有可解性，即该模型能够通过现有的数学手段求解。从 F1 的求解入手，层层递进，使模型逐步优化。1） 按照纯弯曲理论，对细长杆小变形压杆失稳用梁挠曲线近似微分方程式按照材料力学公式求解即欧拉公式。2） 在 1）的基础上，对大变形理想弹性棒进行分析，据结构力学对称性分析，将 F2作用下的弹性棒简化为一端固定，一端自由的弹性棒，类比欧拉公式，得出其挠曲线微分方程。3） 对该方程进行进一步分析和简化，发现其是不可积方程，故对该方程利用进行优化，通过在固定端的近似求解，将弹性棒的变形曲线分解成两段。通过边界条件，近似解出该方程。3. 目标工作得到该方程后，代入相应条件，得出曲线
4、的几何特征。4. 模型反思在支座附近曲线求解上采取了近似处理，将整个棒上弯矩取为常数自由端弯矩，事实上，并非常数。截断点离固端越近，求解越是精确。二 模型假设1. 棒是均匀的，圆柱形的，细长弹性的。2. 棒的截面尺寸相对于其长度为无穷小。3. 在模型、中，弹性棒发生的是纯弯曲变形，轴力和剪力对弹性棒的变形不起作用。4. 在模型中，在 作用下，棒处于临界状态，可认为杆发生了极其微小的侧向位移 。1F 5. 在模型中,不同杆长所形成的曲线是相似的,即不同杆长所形成的曲线的相应几何特征之比应等于杆长之比.三 符号约定：弹性棒的截面抗弯刚度（其中 为弹性模量，I 为截面惯性矩） 。EI EM： 截面弯
5、矩,规定以逆时针为正。：曲率半径。F：压力。:曲线上任一点的斜率。u四 模型的设计和求解根据问题分析，问题先转化为平衡状态曲线方程的确立，再以此确定相应的 F 值和几何特征。1. 模型（1） 模型的建立和求解根据问题分析，可将该弹性细长棒等效为两端用球形铰支座支承的细长杆，在它的两端作用轴向压力 ，当 F 的的大小到达 时杆因水平方向的微小干扰而产生微小弯曲，并在1F此微弯状态下保持平衡。因属于小变形，可以梁挠曲线的近似微分方程式描述，即图一 临界状态条件下(1-1)2dyM(x)=-EI由图：在任意截面处杆的玩具 M(X)有代入(1-1)式得：1(x)=FyA，令 = ,则“1Fy=-EIA
6、2k1FI(1-2)“2+k0其通解为 ，代入边界条件ysinxBcosAX=0,Y=0X=L,Y=0解得 B=0, KL=N （N 为整数） ， 代入 = ,得2k1FEI（1-3）12nl取 N=1，即得临界荷载（1-4）21EIF=l即为欧拉公式，此公式由欧拉导出。2，模型模型只能解决小变形问题，在 作用下棒的弯曲属于大弯曲问题，须从梁在纯弯曲时绕2F曲线的曲率公式从头推起。(1)模型的建立根据结构力学对称性分析可将细长弹性棒简化为如图所示，取上半段进行研究。梁在纯弯曲时绕曲线的曲率公式为 （1-5）1M=EI图二 状态下2F在这里，M, 已不是常量，而是 X 的函数，可将上式改写为 （
7、1-6）1M(x)=EI而 （1-7）“321()()yx代入得 “32M(x)=EI1()y考虑到 M（X） 0, 422kD-(x+)0xD，有假设 5 取 L=1，理论上则可通过 MATLAB 编程得到 K,D 的解。具体算法如2843kD下：开 始将 k，D 代入方程中，得出曲线方程不成立，则返回结束判断等式（1-11）是否成立成立，则输出 K，D 的值给定 K，D 的值，代入方程组（1-11（3） 通过编程运行发现，得不出想要的结果。通过对方程组（1-11）进行分析发现，由于被积函数在 X=D 的奇异性，使得函数无论通过符号还是数值都无法求解。故模型失败。3 模型模型无法求解，是因为
8、被积函数存在奇异性，且在在理论上是不可积函数。故而须用近似的模型代替模型进行求解，但是近似模型必须具有足够的精度。故而有了模型.（1） 模型的建立 奇异点的处理图三 D-D段的近似计算 在 B 点附近（如 D 点） ，弯矩 M 已经足够大，从 D 到 B 点 M 增量相对于总量可忽略不计，即将 M 近似为常数。设 =L, （可通过模型求出） ，在 D-D段，由纯弯曲理论x1Dyt不难得（1-12）“c32=-EI1()y其中 ，同理可解得D2=Fl（1-13）2dykxu1-l则 D-D的长度 为 （1-14 ） ，可积11tc- 2tklx=d理论上，只要 D 点越靠近 B 点， 就越精确。
9、c在 A-D 区域，仍采用模型的函数。（2 ） 解模算法A-D 的曲线长度为 ，ll22 20021t=1+udxdxkD-(-)D 点纵坐标 = = ，1tDy22l02-dxk(x1+)弹性棒总长度为 L=2 + （1-15）2tc-方程（1-15）虽含有两个未知数 K、D，但还是可以通过计算机算法求解。因为这里在建模时就已经认为 A，B 点在同一水平面，这是隐含的一个条件。同模型，可用 MATLAB 编程进行循环搜索。算法流程图如下：开 始将 k，D 代入方程中，得出曲线方程不成立，则返回结束判断等式（1-15）是否成立成立，则输出 K，D 的值给定 K，D 的值，代入方程组（1-11初
10、步计算结果经过编制程序 1 计算，初步得出结果如下：组数K D 1tL1 19.47832748185191 0.40910328655180 0.11934150144689 1.00926702107444 2 19.57832748185191 0.40805716292769 0.11903633165701 1.006680437303463 19.67832748185191 0.40701902364968 0.11873349101939 1.004113668773094 19.77832748185191 0.40598876766673 0.11843295005597
11、1.001566463387615 19.87832748185191 0.40496629570928 0.11813467980833 0.999038573525556 19.97832748185191 0.40395151024906 0.11783865182603 0.996529755937957 20.07832748185191 0.40294431546001 0.11754483815519 0.994039771649438 20.17832748185191 0.40194461718028 0.1172532113274 0.99156838586200可以发现
12、K 值得精确解应该在 19.420.2 之间，D 的精确解应该在 0.40 左右， 的精1t确解应该在 0，11 0.12 之间.计算结果优化编制程序 2，在 K 在 9.420.2 之间和 D 在 0.4 附近对结果进行进一步优化。优化结果如下（部分数据）组数 K D 1tL1 19.223 0.397 0.00945530068819 0.999918929590632 19.224 0.397 0.009483004072000.999996555506123 19.225 0.397 0.009510709471311.000074200315724 19.226 0.397 0.00
13、9538416887071.000151864025965 19.227 0.397 0.009566126320241.00022954664339上面五组数据是所有数据最合理的解。选择最优解，故最后结果可取 K=19.224 D=0.397将其带入原函数解得将其带入原函数解得 =0.2315， = 0.12671853039940cxcy=A0“359 从而得到原问题的解1) 21EIFl2) F2 / F1= = 1.948,2k3) 宽度与棒长之比,即D，为0.397，4）高度与棒长之比即2 =0.253436，取0.253cy5)端点重合处的夹角(单位：度) 2 =A0“71598进
14、一步优化由假设可知，到 D 点越靠近 B 点时，计算结果越是精确，故在程序二的基础上将 D 点向 B 点靠近，取 L=0.385，得到程序三。部分优化结果如下：组数 K D 1tL1 20.981 0.396 0.0472652366350 1.000013431891132 20.852 0.397 0.04869271655493 1.000034481164833 20.471 0.400 0.05245206959146 0.999978968255554 20.597 0.399 0.05127628589806 1.000015610564725 20.851 0.397 0.04
15、865979134741 0.99994593507208上面五组数据是所有数据最精确的解，最后结果可取上面五组数据的平均值，即得K=20.7504， D=0.3978将其带入原函数解得将其带入原函数解得 =0.2487， = 0.12610908614516cxcy=A0“3954 从而得到原问题的解1) 21EIFl2) F2 / F1= = 2.1024,取 2.102k3) 宽度与棒长之比,即D，为0.3978，4）高度与棒长之比即2 =0.252218，取0.252cy5)端点重合处的夹角(单位：度) 2 = 即 79.86 度。A0“7951模型的最后优化上面得到 D=0.3978
16、，故可取 =0.390，同上，将程序三做微小改变，得程序四，得如Dx下数据：组数 K D 1tL1 20.7645 0.3975 0.03688617058714 0.999991761544762 20.7650 0.3975 0.03690276612549 1.000035879911953 20.7655 0.3975 0.03691936274320 1.000080002910764 20.8285 0.3970 0.03586599290608 0.999928923206895 20.8290 0.3970 0.0358825688697 0.99997298214455故得最
17、终结果 K=20.7645， D=0.3975将其带入原函数解得将其带入原函数解得 =0.2484， = 0.12629213699851cxcy=A039.826从而得到原问题的解1) 21EIFl2) F2 / F1= = 2.1039,取 2.102k3) 宽度与棒长之比,即D，为0.39754）高度与棒长之比即2 =0.252584，取0.2526cy5)端点重合处的夹角(单位：度) 2 =79.65 度。A此时精度已足够高，故可以此为最优解。五 .问题的进一步分析上述模型解决了在纯弯曲条件下弹性棒在 作用下的变形曲线。但是实际情况下，弹性棒2F变形时受多方面影响的，从以下几个方面说明
18、：1. 轴力和剪力对变形曲线的影响。弯矩能引起结构的弯曲变形，在轴力和剪力作用下，构件会发生相应的拉压和剪切变形，对曲线将会有一定的影响，但是如果考虑其影响，模型的建立无疑是非常复杂的，甚至可能没法求解。但是在理想细长弹性棒的条件下，模型是合理的。2. 构件截面的不均匀性实际的构件，由于加工、材料等各方面特性，各截面抗力会在一定范围内波动。如果假设弹性棒沿长度方向是非均匀的，求解将更加复杂。3. 任意 F 作用下弹性棒的变形在任意 F 作用下，弹性棒会发生相应的变形，同 的求解类似，通过建立合理的坐2F标系，选择正确的边界条件，总是可以求出相应的曲线方程的。4. 材料抗弯能力对曲线的影响。实际
19、构件中，材料都有一定的强度，当变形过大时，局部应力超过了材料抗力，材料可能会脆断或发生塑性变形，不在保持弹性状态。六 模型的评价1. 模型的优点（1 ） 原理简单。整个模型建立过程中都是用的最基本的材料力学和数学原理，简单易懂。（2 ） 分析较好。采取了逐层推进的方法。（3 ） 精度较高。模型可根据要求，将 D 点逐渐趋近于 B 点，提高精度。2. 模型缺点（1 ）由于解方程过程中，函数奇异性导致了无法积分，得出的是近似解，得不到理论解。（2 ）用于理想条件下，用于理论研究。与实际情况有一定差距。（3）模型的曲线虽然能满足连续性，但不光滑，即导数在 D 点不连续。参考文献1宋子康. 材料力学2吴建国. 数学建模案例精编.中国水利水电出版社3同济大学数学系.高等数学.高等教育出版社4王沫然.MATLAB 与科学计算.电子工业出版社
