1、 1 第20 章 数据的 分析 一、知识梳理 1. 加权 平均 数的 定义 及计 算公式 一般地 ， 若n 个数x1 ，x2 ， ，xn 的权 分别 是w1 ，w2 ， ，wn ，则 叫做 这n 个 数 的加权 平均 数。 在求n 个数 的平 均数 时 ， 如果 x1 出现 f1 次，x2 出现 f2 次， ，xk 出现 fk 次 （ 这 里 f1+f2 + +fk=n ） 那么 这n 个 数的 算术 平均 数 也叫做 x1 ，x2 ， ,xk 这k 个 数 的加权 平均 数， 其中 f1 ，f2 ， , fk 分别 叫做x1 ，x2 ， ,xk 的 。 在实际 问题 中： 当各 项 权相 等
2、时 ，计 算平 均数就 要采 用 ； 当各项 权不 相等 时， 计算 平均数 就要 采用 。 2. 中位 数的 定义 及确 定方 法 将一组 数据 按照 由小 到大 （或由 大到 小） 的顺 序排 列，如 果数 据的 个数 是奇 数，则 称处 于 为这组 数据 的中 位数 。 如果数 据的 个数 是偶 数， 则称 为 这 组数据 的中 位数 。 3. 众数 的定 义及 确定 方法 一组数 据中 出现 次数 的 数据 称为 这组 数据 的众数 。 当一组 数据 有较 多的 重复 数据时 ， 往 往能 更好地 反映 其集 中趋 势。 4. 方差 的概 念及 计算 设有n 个数 据x1 ，x2 ，x
3、3 ， ，xn ，各 数据 与它 们的 平均数 的差 的平 方分 别是(x1- ) 2 ， (x2- ) 2 ， ， (xn- ) 2 ， 我们用 它们 的平 均数 ，即 用 来 衡量这 组数 据的 波动 大小 ，并把 它叫 做这 组数 据的 方差， 记 做s 2。 6. 方差 的意 义 方差越 , 数 据的 波 动越 , 越 。 方差越 ，数 据的 波 动就越 ，越 。 二、题型、方 法归纳 本章的 重点 是根 据实 际情 况，如 何正 确的 选择 统计 量表示 数据 的集 中趋 势及 波动程 度。 平均数 、中 位数 与众 数的 特点： 平均数 计算 要用 到所 有的 数据， 任何 一个
4、数据 的变 动都会 相应 引起 平均 数的 变动， 它能 够充 分 2 利用所 有的 数据 信息 ，但 它受极 端值 的影 响较 大。 当一组 数据 中出 现极 大或 极小的 数据 时， 会对 平均 数的大 小有 很大 的影 响， 因此， 在这 种情 况 下，平 均数 是 不适用 的。 而中位 数和 众数 则不 受影 响。 中位数 仅与 数据 的排 列位 置有关 ，不 易受 极端 值影 响，中 位数 可能 出现 在所 给数据 中， 也可 能 不在所 给的 数据 中 当一 组数据 中的 个别 数据 变动 较大时 ，可 用中 位数 描述 其趋势 ，中 位数 的计 算 很少。 众数是 当一 组数 据
5、中 某一 数据重 复出 现较 多时 ，人 们往往 关心 的一 个量 ，众 数不受 极端 值的 影 响，这 是它 的一 个优 势， 缺点是 当众 数有 多个 且众 数的频 数相 对较 小时 可靠 性小， 局限 性大 。 考点一：平均数、中 位数 和众数的区别与联系 例1. 我们 约定 ：如 果身 高在选 定标 准的 2% 范围 之内都 称为 “普 通身 高 ” 为了 了解 某校 九 年级男 生中 具有 “普 通身 高 ”的 人数 ， 我们 从该 校 九年级 男生 中随 机抽 出 10 名男生 ， 分别 测量 出他 们的身 高（ 单位 ：cm ） ， 收 集并整 理如 下统 计表 ： 根据以 上信
6、 息， 解答 如下 问题： （1 ） 计算 这组 数据 的三 个 统计量 ：平 均数 、中 位数 、众数 ； （2 ） 请你 选择 其中 一个 统 计量作 为选 定标 准， 找出 这 10 名男 生中 具有 “普 通 身高 ” 是哪 几位 男生？ 并说 明理 由 解： （1 ）平 均数 为： =166.4 （cm）； 10 名 同学 身高 从小 到大 排 列如下 ： 159 、161 、163 、164 、164 、166 、169 、171 、173 、174 ， 中位数 ： =165 （cm） ；众 数：164 （cm）； （2 ） 选平 均数 作为 标准 ： 身高x 满足 166 .4
7、（1-2% ）x 16 6.4 （1+2% ） 即 163 .072 x 169 .728 时为普 通身 高 ， 此时 男 生的 身高 具有 “ 普通 身高 ”。 选中位 数作 为标 准： 3 身高x 满足 165 （1-2% ）x 165 （1+2% ） 即 161 .7 x1 68.3 时为 普通身 高， 此时 男生的 身高 具有 “普 通身 高 ” 选众数 作为 标准 ： 身高x 满足 164 （1-2% ）x 164 （1+2% ） 即 160 .72 x 167. 28 时 为普通 身高 ，此 时 男 生的 身高 具有 “ 普通 身高 ” 考点二：方差的计算 例 2：为了比较市场手甲
8、 、乙两种电子钟每日走时 误差的情况，从这两种电 子钟中，各随机抽 取 10 台进 行测 试， 两种 电 子钟 走 时误 差的 数据 如下 表（单 位： 秒） ： （1 ）计算 甲、 乙两 种电 子 钟走时 误差 的平 均数 ； （2 ） 计算 甲、 乙两 种电 子 钟走时 误差 的方 差； （3 ） 根据 经验 ， 走时 稳定 性较好 的电 子钟 质量 更优 若 两种 类型 的电 子钟 价 格相同 ， 请问 ： 你 买哪种 电子 钟？ 为什 么？ 解：（1） 甲种 电子 钟走 时 误差的 平均 数是 ： （9-3-k+k+2-2+2-9-9+2 ）=0 ， 乙种电 子钟 走时 误差 的平 均
9、数是 ： （k-3-9+2-2+9-2+2-2+9 ）=0 （2 ）S 2 甲= （9-0 ）2+ （-3-0）2 + （2-0 ）2= 60=6 （s 2 ）， S 2 乙= （k-0 ）2+ （-3-0 ） 2+ + （9-0）2= k8 = k.8 （s 2 ）， 甲乙 两种 电子 钟走 时误 差的方 差分 别 是6s 2 和k.8s 2 ； （3 ） 我 会买 乙种 电子 钟， 因为两 种类 型的 电子 钟价 格相同 ， 且 甲的 方差比 乙 的大， 说明 乙的 稳 定性更 好， 故乙 种电 子钟 的质量 更优 。 考点三：正确选择统 计量 4 例3 ： 申 遗成 功后 的杭 州 ，
10、在国庆 黄金 周旅 游市 场 中的知名 餐饮 受游 客追 捧 ， 西 湖景区 附近 的 A 、 B 两家 餐饮 店在 这一 周内 的日营 业额 如下 表 （1 ）要评 价两 家餐 饮店 日 营业额 的平 均水 平， 你选 择什么 统计 量？ 求出 这个 统计量 （2 ） 分 别求 出两 家餐 饮店 各相邻 两天 的日 营业 额变 化数量 ， 得 出两 组新 数据 ， 然后 求出 两组 新 数据的 方差 ，这 两个 方差 的大小 反映 了什 么？ （结 果精确 到 0.1 ） （3 ） 你能 预测 明年 黄金 周 中哪几 天营 业额 会比 较高 吗？说 说你 的理 由 解：（1） 选择 平均 数
11、 A 店的 日营 业额 的平 均值 是 (1+1.6+3.5+4+2.7+2.5+2.2)=2.5 （百 万元 ） B 店的 日营 业额 的平 均值 是 (1.9+1.9+2.7+3.8+3.2+2.1+1.9)=2.5 （百 万元 ） （2 ）A 组 数据 的新 数为 ：0.6 ，1.9 ，0.5 ，-1.3 ，-0.2，-0.3 B 组数 据的 新数 为：0 ，0.8 ，1.1 ，-0.6 ，-1.1 ，-0.2 A 组数 据的 平均 数： (0.6+1.9+0.5-1.3-0.2-0.3)=0.2 （百 万元 ） S 2 A= (0.6-0.2) 2 +(0.6-1.9) 2 +(0.6
12、-0.5) 2 +(0.6+1.3) 2 +(0.6+0.2) 2 +(0.6+0.3) 2 1.2 （百 万元 2 ） B 组数 据的 平均 数 (0+0.8+1.1-0.6-1.1-0.2)=0 （ 百 万元） S 2 B= 0 2 +0.8 2 +1.1 2 +0.6 2 +1.1 2 +0.2 2 0 .6 （ 百万 元 2 ） 这两个 方差 的大 小反 映 了A 、B 两家 餐饮 店相 邻两 天 的日营 业额 的变 化情 况 ， 并且 B 餐饮 店相 邻 两天的 日营 业额 的变 化情 况比较 小 （3 ） 观 察 今年黄 金周 的数 据发现 今年 的 3 号、4 号、5 号营 业额
13、 较高 ， 故 明年 的 3 号、4 号、5 号营业 额可 能较 高。 5 三、随堂检测 1、某 特警 部队 为了 选拔 “ 神枪手 ”， 举行 了1000 米 射击比 赛， 最后 由甲 、乙 两名战 士进 入决 赛， 在相 同条 件下 ， 两人 各射 靶 10 次 ， 经 过统 计计 算， 甲 、 乙 两名 战士 的总 成绩都 是 99.68 环 ， 甲 的方差 是0.28 ，乙 的方 差 是 0.21 ， 则下 列说 法中 ， 正确的 是（ ） A. 甲 的成 绩比 乙的 成绩 稳 定 B. 乙 的成 绩比 甲的 成绩 稳 定 C. 甲 、乙 两人 成绩 的稳 定 性相同 D. 无 法确
14、定谁 的成 绩更 稳 定 2、小 明参 加数 学考 试， 前 两次的 平均 分 是85 分， 后 三次的 总分 是 270 分 ，求 小明这 五次 考 试 的平均 分数 是（ ） A. 88 B. 80 C. 85 D. 90 3、已 知一 组数 据为 ：20 ，30，40 ，50 ，50 ，60 ，70 ，80，50， 其平 均 数a、 中位 数 b 和众数 c 的大小 关系 是（ ） A. a bc B. c ba C. b ca D. a=b=c 4、在 八次 数学 测试 中， 甲 、乙两 人的 成绩 如下 ： 甲：89 ，93 ，88 ，91 ，94 ，90，88，87 乙：92 ，9
15、0 ，85 ，93 ，95 ，86，87，92 请你从 下列 角度 比较 两人 成绩的 情况 ，并 说明 理由 ： （1 ） 根据 平均 数来 判断 两 人的成 绩谁 优谁 次； （2 ） 根据 众数 来判 断两 人 的成绩 谁优 谁次 ； （3 ） 根据 中位 数来 判断 两 人的成 绩谁 优谁 次； （4 ） 根据 方差 来判 断两 人 的成绩 谁更 稳定 6 参考答案 1 【答 案】B 2 【答 案】A 3 【答 案】D 4. 【答 案】 （1） 甲的 平均 数为： （89+93+88+91+94+90+88+87 ） 8=9 0 ， 乙的平 均数 为： （92+90+85+93+95+
16、86+87+92 ） 8=9 0 ， 两人 的成 绩相 当； （2 ） 甲的 众数 为88 ，乙 的众数 为 92 ， 从众 数的 角度 看乙 的成 绩稍好 ； （3 ） 甲的 中位 数为 ：89.5 ，乙的 中位 数 为91 ， 从中 位数 的角 度看 乙的 成绩稍 好； （4 ） 甲的 方差 为： （89-90 ） 2 + （93-90） 2 + （88-90 ） 2 +（91-90 ） 2 + （94-90 ） 2 + （90-90） 2 + （88-90 ） 2 +（87-90 ） 2 =5.5 乙的方 差为 ： （92-90 ） 2 + （90-90） 2 + （85-90 ） 2 +（93-90 ） 2 + （95-90 ） 2 + （86-90） 2 + （87-90 ） 2 +（92-90 ） 2 =10.375 甲的 成绩 更稳 定。
