1、- 1 -陕西省西安市西北工业大学附中 2015 届高三（上）第一次适应性训练数学试卷（理科）一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的（本大题共 10 小题，每小题 5 分，共 50 分）1 （5 分）设全集为实数集 R，M=x|x 24，N=x|1x3，则图中阴影部分表示的集合是（ ） A x|12x1 B x|2x2 C x|1x2 D x|x2【考点】： Venn 图表达集合的关系及运算【专题】： 集合【分析】： 根据阴影部分可知，元素是由属于 N，但不属于 M 的元素构成【解析】： 解：由图象可知，阴影部分的元素由属于 N，但不属于 M 的元素构成，结合集合的运算
2、可知阴影部分的集合为（ UM）NM=x|x 24=x|x2 或 x2， UM=x|2x2，N=x|1x3，（ UM）N=x|1x2故选：C【点评】： 本题主要考查利用 Venn 图表示集合的方法，比较基础2 （5 分）设 aR，i 是虚数单位，则“a=1”是“ 为纯虚数”的（ ）A 充分不必要条件 B 必要不充分条件C 充要条件 D 既不充分又不必要条件【考点】： 必要条件、充分条件与充要条件的判断【专题】： 简易逻辑【分析】： 根据纯虚数实数为 0，虚部不为 0，结合充要条件的定义，判断“a=1”与“为纯虚数”的充要关系，可得答案【解析】： 解： = ，“ 为纯虚数”“a=1” ，故“a=1
3、”是“ 为纯虚数”的充分不必要条件，- 2 -故选：A【点评】： 本题考查的知识点是充要条件，熟练掌握充要条件的定义是解答的关键3 （5 分）已知函数 f（x）=2sin（x+） （0，）图象的一部分（如图所示） ，则 与 的值分别为（ ）A ， B 1， C ， D ，【考点】： 由 y=Asin（x+）的部分图象确定其解析式【专题】： 三角函数的图像与性质【分析】： 由 f（0）=1，可求得 = 或 = ；利用 T= ，且 T ，可求得 （ ， ） ；分 = 与 = 讨论，即可求得答案【解析】： 解：f（0）=2sin=1，sin= ，又，= 或 = ；由图知，T= ，且 T= ， ；又
4、+=，当 = 时， +=，解得 = （ ， ） ，舍去；当 = 时，由 =，得 = （ ， ） 与 的值分别为： ， 故选：A【点评】： 本题考查由 y=Asin（x+）的部分图象确定其解析式，考查识图与运算求解、等价转化思想与分类讨论思想的综合应用，属于中档题4 （5 分）直线（a+1）x+（a1）y+2a=0（aR）与圆 x2+y22x+2y7=0 的位置关系是（ ）A 相切 B 相交 C 相离 D 不确定- 3 -【考点】： 直线与圆的位置关系【专题】： 直线与圆【分析】： 把圆的方程化为标准形式，求出圆心和半径 r，求出圆心到直线的距离 d，再根据 r2d 20，可得 dr，可得直线和
5、圆相交【解析】： 解：圆 x2+y22x+2y7=0，即 （x1） 2+（y+1） 2=9，表示以（1，1）为圆心、半径等于 3 的圆圆心到直线的距离 d= = 再根据 9d 2=9 = ，而 7a24a+7 的判别式=16196=1800，故有 9d 2，即 d3，故直线和圆相交，故选：B【点评】： 本题主要考查直线和圆的位置关系，点到直线的距离公式，体现了转化的数学思想，属于基础题5 （5 分）如果执行如图的算法语句输出结果是 2，则输入的 x 值是（ ）A 0 B 0 或 2 C 2 D 1 或 2【考点】： 伪代码；分段函数的解析式求法及其图象的作法【专题】： 函数的性质及应用【分析】
6、： 由题意，算法语句是求函数 y= 的值，由算法语句输出结果是2，可得结论【解析】： 解：由题意，算法语句是求函数 y= 的值，算法语句输出结果是2，则 2x+1=2（x1）或 x2x=2（x1） ，解得 x=0 或 x=2故选 B【点评】： 本题考查伪代码，考查学生的计算能力，确定算法语句是求函数 y=的值是关键- 4 -6 （5 分）若ABC 的内角 A、B、C 满足 sinA：sinB：sinC=2：3：4，则 cosB=（ ）A B C D 【考点】： 余弦定理；正弦定理【专题】： 计算题；不等式的解法及应用【分析】： 由题意利用正弦定理，推出 a，b，c 的关系，然后利用余弦定理求出
7、 cosB 的值【解析】： 解：ABC 的内角 A，B，C 满足 sinA：sinB：sinC=2：3：4，由正弦定理可得 a：b：c=2：3：4，则令 a=2x，则 b=3x，c=4x，由余弦定理：b 2=a2+c22accosB，可得 cosB= = = ，故选：D【点评】： 本题考查正弦定理，余弦定理的应用，考查计算能力，常考题型7 （5 分）已知向量 ， 满足| |=3，| |=2 ，且 （ + ） ，则 在 方向上的投影为（ ）A 3 B C D 3【考点】： 平面向量数量积的运算【专题】： 平面向量及应用【分析】： 由于 （ + ） ，可得 （ + ）=0，解得 = 利用 在 方向
8、上的投影= =即可得出【解析】： 解： （ + ） ， （ + ）= =0， = =9 在 方向上的投影= = =3故选：D【点评】： 本题考查了向量垂直与数量积的关系、向量的投影，属于基础题8 （5 分） （2014南海区模拟）某几何体的主视图与俯视图如图所示，左视图与主视图相同，且图中的四边形都是边长为 2 的正方形，两条虚线互相垂直，则该几何体的体积是（ ）- 5 -A B C 6 D 4【考点】： 由三视图求面积、体积【专题】： 计算题【分析】： 根据三视图，还原成几何体，再根据长度关系，即可求得几何体的体积【解析】： 解：由三视图知，原几何体为一个正方体挖掉一个正四棱锥其中正方体的棱
9、为 2，正四棱柱的底面边长为正方体的上底面，高为 1原几何体的体积为故选 A【点评】： 本题考查三视图，要求能把三视图还原成原几何体，有比较好的空间想象力，能根据三视图找到原几何体中的垂直平行关系和长度关系属简单题9 （5 分） （2012海淀区二模）为了得到函数 y=log2 的图象，可将函数 y=log2x 的图象上所有的点的（ ）A 纵坐标缩短到原来的 倍，横坐标不变，再向右平移 1 个单位长度B 纵坐标缩短到原来的 倍，横坐标不变，再向左平移 1 个单位长度C 横坐标伸长到原来的 2 倍，纵坐标不变，再向左平移 1 个单位长度D 横坐标伸长到原来的 2 倍，纵坐标不变，再向右平移 1
10、个单位长度【考点】： 函数的图象与图象变化【专题】： 压轴题；函数的性质及应用【分析】： 把给出的函数 y=log2 变形为 y= ，从而看到函数自变量和函数值的变化【解析】： 解：函数 y=log2 = ，所以要得到函数 y=log2 的图象，可将函数 y=log2x 的图象上所有的点的纵坐标缩短到原来的 倍，横坐标不变，再向右平移 1 个单位长度故选 A- 6 -【点评】： 本题考查了函数的图象与图象变化，解答此类问题的关键是看自变量 x 发生了什么变化，然后再根据“左加右减”的原则，是易错题10 （5 分）已知函数 f（x）= ， （a0，且 a1） ，若数列a n满足 an=f（n）
11、， （nN +） ，且a n是递增数列，则实数 a 的取值范围是（ ）A （0，1） B ，3） C （1，3） D （2，3）【考点】： 数列的函数特性【专题】： 点列、递归数列与数学归纳法【分析】： 已知函数 f（x）= ， （a0，且 a1） ，若数列a n满足 an=f（n） ， （nN +） ，且a n是递增数列，可得函数 f（x）= ， （a0，且 a1）为增函数，而且根据分段函数的性质，可得函数在各段上均为增函数，根据一次函数和指数函数单调性，我们易得 a1，且 3a0，且 f（2）f（3） ，由此构造一个关于参数 a 的不等式组，解不等式组即可得到结论【解析】： 解：因为函数
12、f（x）= ， （a0，且 a1） ，数列a n满足 an=f（n） ， （nN +） ，且a n是递增数列，所以 1a3 且 f（2）f（3） ，因此 2（3a）+2a 2，解得 a4 或 a2，所以实数 a 的取值范围是（2，3） 故选：D【点评】： 本题主要考查了分段函数，属于中档题，解答此题的关键是分析出函数 f（x）=， （a0，且 a1）为增函数，而且结合分段函数的性质，可得函数在各段上均为增函数二填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 25 分将答案填写在题中的横线上11 （5 分）某商场在销售过程中投入的销售成本 x 与销售额 y 的统计数据如表：销售成本 x（万元）
13、3 4 6 7销售额 y（万元） 25 34 49 56根据上表可得，该数据符合线性回归方程：y=bx9由此预测销售额为 100 万元时，投入的销售成本大约为 10.9 万元 【考点】： 线性回归方程- 7 -【专题】： 计算题；概率与统计【分析】： 由题意， = =5； = =41；代入 y=bx9 可得 b=5；再令y=100 求 x 即可【解析】： 解：由题意， = =5；= =41；故 41=5b9；故 b=10；故当 y=100 时，100=10x9；解得 x=10.9；故答案为：10.9 万元【点评】： 本题考查了线性回归方程的求法与应用，属于基础题12 （5 分）若函数 f（x）
14、在 R 上可导，f（x）=x 3+x2f（1） ，则 = 4 【考点】： 定积分【专题】： 导数的概念及应用【分析】： 先根据导数的运算法则求导，再求出 f（1）=3，再根据定积分的计算法计算即可【解析】： 解：f（x）=x 3+x2f（1） ，f（x）=3x 2+2xf（1） ，f（1）=3+2f（1） ，f（1）=3，f（x）=x 33x 2， =（ ）| =48=4，故答案为：4【点评】： 本题主要考查了导数的运算法则和定积分的计算，属于基础题13 （5 分）如果长方体 ABCDA 1B1C1D1的顶点都在半径为 3 的球的球面上，那么该长方体表面积的最大值等于 72 【考点】： 棱柱、
15、棱锥、棱台的体积【专题】： 计算题；空间位置关系与距离【分析】： 设出长方体的三度，求出长方体的对角线的长就是确定直径，推出长方体的表面积的表达式，然后求出最大值【解析】： 解：设长方体的三度为：a，b，c，球的直径就是长方体的对角线的长，由题意可知 a2+b2+c2=62=36，长方体的表面积为：2ab+2ac+2bc2a 2+2b2+2c2=72；当 a=b=c时取得最大值，也就是长方体为正方体时表面积最大故答案为：72- 8 -【点评】： 本题考查长方体的外接球的知识，长方体的表面积的最大值的求法，基本不等式的应用，考查计算能力；注意利用基本不等式求最值时，正、定、等的条件的应用14 （
16、5 分）观察下列各式：a+b=1，a 2+b2=3，a 3+b3=4，a 4+b4=7，a 5+b5=11，则 a10+b10= 123 【考点】： 类比推理；等差数列的通项公式【专题】： 规律型【分析】： 观察可得各式的值构成数列 1，3，4，7，11，所求值为数列中的第十项根据数列的递推规律求解【解析】： 解：观察可得各式的值构成数列 1，3，4，7，11，其规律为从第三项起，每项等于其前相邻两项的和，所求值为数列中的第十项继续写出此数列为 1，3，4，7，11，18，29，47，76，123，第十项为 123，即 a10+b10=123， 故答案为：123【点评】： 本题考查归纳推理，实
17、际上主要为数列的应用题要充分寻找数值、数字的变化特征，构造出数列，从特殊到一般，进行归纳推理三、 【选修 4-5 不等式选讲】 （考生注意：请在下列三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题评阅记分）15 （5 分）若 x，y 为正整数，满足 =1，则 x+y 的最小值为 36 【考点】： 基本不等式【专题】： 计算题【分析】： 利用基本不等式即可求得答案【解析】： 解：x，y 为正整数，满足 =1，x+y=（x+y）（ + ）=4+16+ + 36（当且仅当 x=12，y=24 时取“=” ）故答案为：36【点评】： 本题考查基本不等式，考查整体代换思想，属于中档题四、 【几何证明选做题
18、】 （共 1 小题，每小题 0 分，满分 0 分）16 （2014郴州二模）如图，AB 是半圆 O 的直径，点 C 在半圆上，CDAB，垂足为 D，且AD=5DB，设COD=，则 tan 的值为 - 9 -【考点】： 直角三角形的射影定理【专题】： 计算题【分析】： 求 tan 的值，可转化为解三角形 OCD，根据相交弦定理，不难求出 CD 与半径的关系，根据已知也很容易出出 OD 与半径的关系【解析】： 解：令圆 O 的半径为 R，即 OA=OB=OC=RAD=5DBOD= R，AD= R，BD= R由相交弦定理可得：CD 2=ADBD=CD=tan= =故答案为：【点评】： 如果题目中出现
19、有一条弦（特别是直径） ，被分成成比例的两条线段时，可考虑使用相交弦定理如果该弦为直径，则还可以结合垂径定理进行解答五、 【坐标系与参数方程选做题】 （共 1 小题，每小题 0 分，满分 0 分）17圆 O1和圆 O2的极坐标方程分别为 =4cos，=4sin，则经过两圆圆心的直线的直角坐标方程为 xy+2=0 【考点】： 简单曲线的极坐标方程【专题】： 坐标系和参数方程【分析】： 把极坐标方程化为直角坐标方程，求出它们的圆心坐标，再用截距式式求的经过两圆圆心的直线方程【解析】： 解：圆 O1和圆 O2的极坐标方程分别为 =4cos，=4sin，它们的直角坐标方程分别为 （x2） 2+y2=4
20、，x 2+（y+2） 2=4故这两个圆的圆心分别为（2，0） 、 （0，2） ，再用截距式式求的经过两圆圆心的直线的直角坐标方程为 + =1，即 xy+2=0，故答案为：xy+2=0【点评】： 本题主要考查把极坐标方程化为直角坐标方程的方法，用截距式求直线的方程，属于基础题三、解答题：本大题共 6 小题，共 75 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤18 （12 分）已知数列a n的各项都是正数，前 n 项和是 Sn，且点（a n，2S n）在函数 y=x2+x的图象上（）求数列a n的通项公式；（）设 bn= ，T n=b1+b2+bn，求 Tn- 10 -【考点】： 数列的求和；数列递
21、推式【专题】： 综合题；等差数列与等比数列【分析】： （）由点（a n，2S n）在函数 y=x2+x 的图象上，可得 2Sn=an2+an，递推得2Sn1 =an1 2+an1 （n2） ，两式相减整理可得（a n+an1 ） （a na n1 1）=0，由an+an1 0，可知 ana n1 =1，符合等差数列的定义，即可求数列a n的通项公式；（）求出 bn= = ，即可求 Tn【解析】： 解：（）点（a n，2S n）在函数 y=x2+x 的图象上，2S n=an2+an，2S n1 =an1 2+an1 （n2） 两式相减得 2an=an2a n1 2+ana n1 整理得（a n+
22、an1 ） （a na n1 1）=0，a n+an1 0，a na n1 =1（常数） a n是以 1 为公差的等差数列又 2S1=a12+a1，即 a12a 1=0，解得 a1=1，a n=1+（n1）1=n；（）2S n=n2+n，b n= = ，T n=b1+b2+bn=（1 ）+（ ）+（ ）=1 =【点评】： 本题主要考查数列与函数，涉及了等差数列通项及前 n 项和，正确运用裂项法是关键19 （12 分）已知锐角ABC 中的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，定义向量，且 （）求角 B 的值；（）如果 b=4，求ABC 的面积的最大值【考点】： 平面向量数量积的运算；两角和
23、与差的正弦函数【专题】： 三角函数的图像与性质；平面向量及应用【分析】： （）由 ，得 =0，即（2sinB， ）（cosB，cos2B）=0，利用正弦倍角公式、和差角公式可求得 B 值；（）利用余弦定理可得 16=a2+c2ac，利用基本不等式可得 ac 的最大值，从而可得ABC的面积的最大值；【解析】： 解：（） ，因为 ，所以 =0，即（2sinB， ）（cosB，cos2B）=0，所以 2sinBcosB+ cos2B=sin2B+ cos2B=2sin（2B+60）=0，又ABC 为锐角三角形，所以 2B+60=180，解得 B=60；（）由余弦定理得，b 2=a2+c22accos60，即 16=a2+c2ac，则 16=a2+c2ac2acac=ac，当且仅当 a=c 时取等号，
