1、第 一 节 直 线 的 倾 斜 角 与 斜 率 、直 线 的 方 程备考方向要明了考 什 么 怎 么 考1.理解直线的倾斜角和斜率的概念，掌握过两点的直线斜率的计算公式2.能根据两条直线的斜率判断这两条直线平行或垂直3.掌握确定直线位置的几何要素；掌握直线方程的几种形式(点斜式、两点式及一般式等)，了解斜截式与一次函数的关系.1.对直线的倾斜角和斜率概念的考查，很少单独命题，但作为解析几何的基础，复习时要加深理解2.对两条直线平行或垂直的考查，多与其他知识结合考查，如 2012 年浙江 T3 等3.直线方程一直是高考考查的重点，且具有以下特点：(1)一般不单独命题，考查形式多与其他知识结合，以
2、选择题为主(2)主要是涉及直线方程和斜率.归纳知识整合1直线的倾斜角与斜率(1)直线的倾斜角一个前提：直线 l 与 x 轴相交；一个基准：取 x 轴作为基准；两个方向：x 轴正方向与直线 l 向上方向当直线 l 与 x 轴平行或重合时，规定：它的倾斜角为 0.倾斜角的取值范围为0，)(2)直线的斜率定义：若直线的倾斜角 不是 90，则斜率 ktan_.计算公式：若由 A(x1，y 1)，B( x2，y 2)确定的直线不垂直于 x 轴，则 k .y2 y1x2 x1探究 1.直线的倾角 越大，斜率 k 就越大，这种说法正确吗？提示：这种说法不正确由 ktan 知，当 时， 越大，斜率越大且 为(
3、 2) (0，2)正；当 时， 越大，斜率也越大且为负但综合起来说是错误的(2，)2两条直线的斜率与它们平行、垂直的关系探究 2.两条直线 l1，l 2 垂直的充要条件是斜率之积为1，这句话正确吗？提示：不正确，当一条直线与 x 轴平行，另一条与 y 轴平行时，两直 线垂直，但一条直线斜率不存在3直线方程的几种形式名称 条件 方程 适用范围点斜式 斜率 k 与点 (x0，y 0)yy 0k(xx 0)不含直线 xx 0斜截式 斜率 k 与截距 b ykxb 不含垂直于 x 轴的直线两点式两点(x1，y 1)，(x2，y 2)y y1y2 y1x x1x2 x1 不含直线 xx 1(x1x 2)
4、和直线 yy 1(y1 y2)截距式 截距 a 与 b 1xa yb 不含垂直于坐标轴和过原点的直线一般式 Ax ByC 0(A2B 20)平面直角坐标系内的直线都适用探究 3.过两点 P1(x1，y 1)，P 2(x2，y 2)的直线是否一定可用两点式方程表示？提示：当 x1x 2，或 y1y 2时，由两点式方程知分母此时为零，所以不能用两点式方程表示自测牛刀小试1(教材习题改编)若直线 x 2 的倾斜角为 ，则 ( )A等于 0 B等于4C等于 D不存在2解析：选 C 因为直线 x2 垂直于 x 轴，故其 倾斜角为 .22(教材习题改编)过点 M(2，m )，N(m,4)的直线的斜率等于
5、1，则 m 的值为( )A1 B4C1 或 3 D1 或 4解析：选 A 由题意知， 1，解得 m1.4 mm 23过两点(0,3)，(2,1) 的直线方程为( )Axy30 Bx y30Cx y30 Dxy30解析：选 B 直线斜率为 1，3 10 2其方程为 yx 3，即 xy30.4直线 l 的倾斜角为 30，若直线 l1l ，则直线 l1 的斜率 k1_；若直线l2l ，则直线 l2 的斜率 k2_.解析：l 1l2，kl1tan 30 .33l2l，kl2 .1kl 3答案： 33 35已知 A(3,5)，B(4,7) ，C(1，x)三点共线，则 x 等于_ 解析：因为 kAB 2，
6、k AC .7 54 3 x 5 1 3 x 54A，B，C 三点共线，所以 kABk AC，即 2，x 54解得 x3.答案：3直线的倾斜角和斜率例 1 (1)直线 xsin y20 的倾斜角的取值范围是( )A0，) B. 0，4 34，)C. D. 0，4 0，4 2，)(2)已知两点 A(m，n)，B( n， m)(mn)，则直线 AB 的倾斜角为_；(3)直线 l 过点 P(1,0)，且与以 A(2,1)，B(0， )为端点的线段有公共点，则直线 l 的斜3率的取值范围为_自主解答 (1)设直线的倾斜角为 ，则有 tan sin ，其中 sin 1,1又0，)，所以 0 或 0，b0
7、)xa yb则有 1，且 ab12.3a 2b 12解得 a6，b4.所以所求直线 l 的方程为 1，x6 y4即 2x3y120.法二：设直线 l 的方程为 y2k(x3)(k0；令 y0，得 x3 0.2k所以 SOAB (23k ) 12，解得 k ，12 (3 2k) 23故所求直线方程为 y2 (x3)，即 2x3y 120.23答案 (1)D (2)2x 3y 120 求直线方程的常用方法(1)直接法：根据已知条件，选择恰当形式的直线方程，直接求出方程中系数，写出直线方程(2)待定系数法：先根据已知条件设出直线方程再根据已知条件构造关于待定系数的方程( 组 )求系数，最后代入求出直
8、线方程5ABC 的三个顶点为 A(3,0)，B(2,1)，C(2,3) ，求：(1)BC 所在直线的方程；(2)BC 边上中线 AD 所在直线的方程；(3)BC 边的垂直平分线 DE 的方程解：(1)因为直线 BC 经过 B(2,1)和 C(2,3)两点，由两点式得 BC 的方程为 y 13 1，即 x 2y40.x 2 2 2(2)设 BC 中点 D 的坐标(x ，y)，则x 0，y 2.2 22 1 32BC 边的中线 AD 过点 A(3,0) ，D(0,2)两点，由截距式得 AD 所在直线方程为 1，即 2x3y60.x 3 y2(3)BC 的斜率 k1 ，则 BC 的垂直平分线 DE
9、的斜率 k22，由点斜式得直线 DE 的方12程为 y22( x0)，即 2xy20. 1 个关系直线的倾斜角和斜率的关系(1)任何的直线都存在倾斜角，但并不是任意的直线都存在斜率(2)直线的倾斜角 和斜率 k 之间的对应关系： 0 00 不存在 k1 或 k 或 k 或 k 或 k0，b0)，则直线 l 的方程为 1，xa ybl 过点 P(3,2)， 1，b .3a 2b 2aa 3从而 SABO ab a .12 12 2aa 3 a2a 3故有 SABOa 32 6a 3 9a 3(a3) 69a 32 612，a 3 9a 3当且仅当 a3 ，9a 3即 a6 时，(S ABO)mi
10、n12，此时 b 4.266 3故所求直线 l 的方程为 1，x6 y4即 2x3y120.法二：设直线方程为 1(a0 ，b0)，xa yb代入 P(3,2)，得 12 ，3a 2b 6ab得 ab24，从而 SAOB ab 12，12当且仅当 时，等号成立，此时 k ，3a 2b ba 23故所求直线 l 的方程为 2x3y120.法三：依题意知，直线 l 的斜率存在设直线 l 的方程为 y2k(x3)(k0)，则有 A ，B(0,23k) ，(3 2k，0)则 SAOB (23k )12 (3 2k)1212 9k 4 k (1212)12，1212 2 9k 4 k 12当且仅当9k ，即 k 时，等号成立4 k 23故所求直线 l 的方程为 2x3y120.法四：如右图所示，过 P 分别作 x 轴，y 轴的垂线 PM，PN，垂足分别为 M，N.设 PAM BPN，则 SAOBS PBNS 四边形 NPMOS PMA 33tan 6 2212 12 1tan 6 tan 92 2tan 62 12，92tan 2tan 当且仅当 tan ，92 2tan 即 tan 时，S AOB12，此时直线 l 的斜率为 ，其方程为 2x3y120.23 23
