1、118. 设 及 连续,试证方程 为线性方程的充要条件是它有仅依赖于 的),(yxff0),(dxyf x积分因子.证:必要性 若该方程为线性方程,则有 ,)(xQPdx此方程有积分因子 , 只与 有关 .dxPe)()(充分性 若该方程有只与 有关的积分因子 .)(则 为恰当方程 ,0),()(dxyfdyx从而 , ,()(xyf.)()()()( QyPxQdyxf 其中 .于是方程可化为)(P 0)(dxxd即方程为一阶线性方程.20.设函数 f(u)，g(u)连续、可微且 f(u) g(u),，试证方程 yf(xy)dx+xg(xy)dy=0有积分因子 u=(xyf(xy)-g(xy
2、) 1证：在方程 yf(xy)dx+xg(xy)dy=0 两边同乘以 u 得：uyf(xy)dx+uxg(xy)dy=0则 =uf+uy +yf = + -yfyufyfu)(gfxy)(fxy22)()(gfyxyxf= =2)(gfxy2)(fxf= 2)(f而 =ug+ux +xg = + - xgxugxu)(gfy)(fxy22)()(gfyxxyf2= =2)(gfxyxyff2)(gfxyf故 = ，所以 u 是方程得一个积分因子u21假设方程（2.43）中得函数 M（x,y）N(x,y)满足关系 =xNyMNf(x)-Mg(y),其中 f(x),g(y)分别为 x 和 y 得连
3、续函数，试证方程（2.43）有积分因子 u=exp( + )dxf)(g(证明：M(x,y)dx+N(x,y)dy=0即证 u +M =u +NxNyu)()(yxNuu( - )=N - M u( - )=Ne f(x) dygxf)()(-M e g(y) u( - )=e (Nf(x)-Mg(y)dygxf)()( yxNdygxf)()(由已知条件上式恒成立，故原命题得证。22、求出伯努利方程的积分因子.解：已知伯努利方程为： ;,oyxQyPdxn两边同乘以 ，令 ，nynz线性方程有积分因子：,11Pdxz，故原方程的积分因子为：dxPndxnee，证毕！P1123、设 是方程 的
4、积分因子，从而求得可微函数 ，yx, 0,dyxNyxMyxU,使得 试证 也是方程 的积分因子的充要条件是.ddU0,dyxNyxM其中 是 的可微函数。,yxt证明：若 ，则uNuy yuy 3又yMuNyMuNxx即 为 的一个积分因子。0,dyxx24、设 是方程 的两个积分因子，且 常数，求证y,21 0,dyxN21（任意常数）是方程 的通解。c2 ,yM证明：因为 是方程 的积分因子21,xdx所以 为恰当方程oNydxii 21i即 ，xiii ,i下面只需证 的全微分沿方程恒为零21事实上： 02121 122211222112 2211121 xNyMxNyNdx dxyxdxyx yyd即当 时， 是方程的解。证毕！c21c21
