1、第 9 章 微分方程内容提要一.基本概念1.微分方程:表示未知函数及其导数与自变量之间的关系的方程,称为微分方程.2.微分方程的阶:微分方程中未知函数的最高阶导数的阶数,称为微分方程的阶.3.微分方程的解:代入微分方程能使其两端成为恒等式的函数,称为微分方程的解(这个函数的图形,称为该微分方程的积分曲线).4.微分方程的通解:如果微分方程的解中含有独立的任意常数,且任意常数的个数与微分方程的阶数相同,那么这样的解称为微分方程的通解.5.微分方程的初始条件:确定通解中任意常数的条件,称为微分方程的初始条件.6.微分方程的特解:不含有任意常数的微分方程的解,称为微分方程的特解.二.微分方程的类型及
2、其解法1.一阶微分方程方程类型 标准形式 求解方法变量可分离 )(ygxfdyCdxfyg)()(齐次型方程 xf令 xu,代入得xfd)(,再分离变量一阶线性微分方程 )()(xQyP方法一:常数变易法方法二:公式法 CdxeQeyPdxP)()(贝努利方程 )1,0()(nyxQPdxyn令 nyz1化为一阶线性方程 )()(xQnzxPd后再求解2.高阶微分方程(1)可降阶的高阶微分方程.典型形式 求解方法)()(xfyn两边经过 n次积分即可,(不显含未知函数 y)令 dxpy,得 ),(pfx为一阶微分方程，再求解),(yf(不显含自变量 x)令 dypxydy,得),(pfy为一阶
3、微分方程，再求解(2)二阶线性微分方程的解结构记二阶线性微分方程 )()()(xfyQxPy(1)对应的齐次方程为 0)(yQP (2)若 *y为(1)的一个特解, 21,y为(2)的两个线性无关的特解,则21c为(2)的通解21*ycy为(1)的通解.注:对于 n阶线性微分方程的解结构也有类似结论.(3)二阶常系数线性齐次微分方程的解法),(0为 常 数qpyp (3)首先写出对应于该方程的特征方程2解此方程，求出两特征值 21,根据 21,的不同情形按下表写出通解.21,通解两个不相同的实根 21,xxecy21两个相的实根 1)(21一对共轭复根 i )sinco2xeyx(4) n阶常
4、系数线性齐次微分方程的解法以上结论可推广至 n阶常系数线性齐次微分方程 01)2()1()( ypypy nnnn(4)其中 ,3,i为常数.根据特征方程 0121 nnnn pp的根的四种情况,分别写出对应的解：a) 为特征方程的单重实根,(4)有相应的一个解 xeb) 为特征方程的 k重实根 , (4)有相应的 k个解 xke1,c) bia为特征方程的单重复根,(4)有相应的两个解 beaxaxsin,cod) 为特征方程的 k重共轭复根,(4)有相应的 2k个解bxebxexbxebxe akakaaaax sin,cos,sin,co,sin,co 11若记以上求出的 个解为 )(,
5、)(21yy ,则（4）的通解就是)()(21 xcxycn(5)二阶常系数线性非齐次微分方程的解法 )0()xffqyp(5)其中 ,为常数 . 方程(5)的解法:首先求出(5)对应的齐次方程(3)的通解21c,再求出(5)的一个特解 *y,则(5)的通解为 21*ycy而 *y的求法如下:当 )(xf为某些特殊类型函数时,用待定系数法求 *y.a) )(xPem,其中 为常数, )(xPm为 的 次多项式则可设(5)的特解为 keQy* (6)其中 ;)3(,21;,0的 特 征 方 程 的 二 重 根是 的 特 征 方 程 的 单 根是 的 特 征 方 程 的 根不 是k)(xQm为与
6、Pm同次的多项式.将(6)代入(5)比较系数可求出 )(xQm,从而求出 *y.b) xPxef nlx si)(cos)(其中 ,均为常数, ,l分别为 l次, n次多项式.则(5)的特解可设为 xRxQexymmk si)(cos)(*(7)其中 的 特 征 方 程 的 单 重 根是 的 特 征 方 程 的 根不 是 )3(,10i)(,xRm为 次多项式, nl,ax将(7)代入(5)比较同类项系数可求出 )(,xRQm,从而求出 *y.复习指导：第 9 章 微分方程学习指导一解微分方程的方法解微分方程的问题一般分求通解和求特解两类，需要求特解时，先求其通解，然后将已知的初始条件代入通解
7、，确定任意常数，得到特解。求通解时首先要判断微分方程的类型，然后对不同类型的方程用不同的方法去解。所学的微分方程分类如下变量可分离: )(ygxfdy齐次型方程: f一阶线性微分方程: )()(xQyP一阶微分方程贝努利方程: )1,0nxdy)()(xfn,y(不显含未知函数 y)可降阶的高阶微分方程 )f(不显含自变量 x)二阶常系数线性齐次微分方程 0qyp常系数线性齐次微分方程 n阶常系数线性齐次微分方程 01)2()1()( ypnnnnxPefm的情况, 其中 为常数, )(xPm为x的 次多项式高阶微分方程常系数线性微分方程 ),(为qpxfy常系数线性非齐次微分方程(二阶) xf nlx si)(cos)()(的情况, 其中,均为常数, ,l分别为 l次, 次多项式.注: 另外还有一种全微分方程，将在下册讲授 .二 微分方程的应用题解微分方程的应用题分两步：a) 根据具体问题建立微分方程：对于几何问题一般利用导数的几何意义列方程,对于物理问题一般根据微元法和物理定理列方程。注: 在应用问题中常常包含有一些初试条件，在列方程时不要遗漏。b) 解微分方程。
