1、高等数学教案 12 微分方程第 1 页 共 41 页第十二章：微分方程教学目的：1了解微分方程及其解、阶、通解，初始条件和特等概念。2熟练掌握变量可分离的微分方程及一阶线性微分方程的解法。3会解齐次微分方程、伯努利方程和全微分方程，会用简单的变量代换解某些微分方程。4.会用降阶法解下列微分方程： ， 和()nyfx(,)yfx(,)yf5.理解线性微分方程解的性质及解的结构定理。6掌握二阶常系数齐次线性微分方程的解法，并会解某些高于二阶的常系数齐次线性微分方程。7.求自由项为多项式、指数函数、余弦函数，以及它们的和与积的二阶常系数非齐次线性微分方程的特解和通解。8.会解欧拉方程，会解包含两个未
2、知函数的一阶常系数线性微分方程组。9会解微分方程组（或方程组）解决一些简单的应用问题。教学重点：1、可分离的微分方程及一阶线性微分方程的解法2、可降阶的高阶微分方程 ， 和()nyfx(,)yfx(,)yf3、二阶常系数齐次线性微分方程；4、自由项为多项式、指数函数、余弦函数，以及它们的和与积的二阶常系数非齐次线性微分方程；教学难点：1、齐次微分方程、伯努利方程和全微分方程；2、线性微分方程解的性质及解的结构定理；3、自由项为多项式、指数函数、余弦函数，以及它们的和与积的二阶常系数非齐次线性微分方程的特解。4、欧拉方程高等数学教案 12 微分方程第 2 页 共 41 页12 1 微分方程的基本
3、概念函数是客观事物的内部联系在数量方面的反映 利用函数关系又可以对客观事物的规律性进行研究 因此如何寻找出所需要的函数关系 在实践中具有重要意义 在许多问题中 往往不能直接找出所需要的函数关系 但是根据问题所提供的情况 有时可以列出含有要找的函数及其导数的关系式 这样的关系就是所谓微分方程 微分方程建立以后 对它进行研究 找出未知函数来 这就是解微分方程 几个概念 微分方程 表示未知函数、未知函数的导数与自变量之间的关系的方程 叫微分方程 常微分方程 未知函数是一元函数的微分方程 叫常微分方程 偏微分方程 未知函数是多元函数的微分方程 叫偏微分方程 微分方程的阶 微分方程中所出现的未知函数的最
4、高阶导数的阶数 叫微分方程的阶 x3 yx2 y4xy3x2 y(4) 4y10y12y5ysin2x y(n) 10 一般 n 阶微分方程 F(x y y y(n) )0 y(n)f(x y y y(n1) ) 微分方程的解 满足微分方程的函数(把函数代入微分方程能使该方程成为恒等式 )叫做该微分方程的解 确切地说 设函数 y(x)在区间 I 上有 n 阶连续导数 如果在区间 I 上 Fx (x) (x) (n) (x)0 那么函数 y(x)就叫做微分方程 F(x y y y(n) )0 在区间 I 上的解 通解 如果微分方程的解中含有任意常数 且任意常数的个数与微分方程的阶数相同 这样的解
5、叫做微分方程的通解 初始条件 用于确定通解中任意常数的条件 称为初始条件 如xx0 时 y y0 y y0 一般写成 0x0x特解 确定了通解中的任意常数以后 就得到微分方程的特解 即不含任意常数的解 高等数学教案 12 微分方程第 3 页 共 41 页初值问题 求微分方程满足初始条件的解的问题称为初值问题 如求微分方程 yf(x y)满足初始条件 的解的问题 记为0yx 0,x积分曲线 微分方程的解的图形是一条曲线 叫做微分方程的积分曲线 例 1 一曲线通过点(1 2) 且在该曲线上任一点 M(x y)处的切线的斜率为 2x 求这曲线的方程解 设所求曲线的方程为 yy(x) 根据导数的几何意
6、义 可知未知函数 yy(x)应满足关系式(称为微分方程) (1) xdy2此外 未知函数 yy(x)还应满足下列条件 x1 时 y 2 简记为 y|x12 (2)把(1)式两端积分 得(称为微分方程的通解 ) 即 yx2C (3) d其中 C 是任意常数 把条件“x1 时 y 2”代入(3)式 得212C 由此定出 C1 把 C1 代入(3)式 得所求曲线方程( 称为微分方程满足条件 y|x12 的解) yx21 例 2 列车在平直线路上以 20m/s(相当于 72km/h)的速度行驶 当制动时列车获得加速度04m/s2 问开始制动后多少时间列车才能停住 以及列车在这段时间里行驶了多少路程?解
7、 设列车在开始制动后 t 秒时行驶了 s 米 根据题意 反映制动阶段列车运动规律的函数ss(t)应满足关系式 (4)4.02d此外 未知函数 ss(t)还应满足下列条件 t0 时 s0 简记为 s|t0=0 s|t0=20 (5)2dv高等数学教案 12 微分方程第 4 页 共 41 页把(4)式两端积分一次 得 (6)14.0Ctdsv再积分一次 得s02t2 C1t C2 (7)这里 C1 C2 都是任意常数 把条件 v|t020 代入(6)得20C1 把条件 s|t00 代入(7) 得 0C2 把 C1 C2 的值代入(6) 及(7) 式得v04t 20 (8)s02t220t (9)在
8、(8)式中令 v0 得到列车从开始制动到完全停住所需的时间(s) 54.t再把 t50 代入(9) 得到列车在制动阶段行驶的路程s025022050500(m) 解 设列车在开始制动后 t 秒时行驶了 s 米s04 并且 s|t0=0 s|t0=20把等式 s04 两端积分一次 得s04tC1 即 v04tC1(C1 是任意常数) 再积分一次 得s02t2 C1t C2 (C1 C2 都 C1 是任意常数) 由 v|t020 得 20C1 于是 v04t 20 由 s|t00 得 0C2 于是 s02t220t 令 v0 得 t50(s) 于是列车在制动阶段行驶的路程s025022050500
9、(m) 例 3 验证 函数xC1cos ktC2 sin kt高等数学教案 12 微分方程第 5 页 共 41 页是微分方程 02xkdt的解 解 求所给函数的导数 ktCtkdtxcossin21 )sinco(in2122 ktCt将 及 x 的表达式代入所给方程 得2dtk2(C1cos ktC2sin kt) k2(C1cos ktC2sin kt)0 这表明函数 xC1cosktC2sinkt 满足方程 因此所给函数是所给方程的解 xkdt例 4 已知函数 xC1cosktC2sinkt(k0)是微分方程 的通解 求满足初始条件2tx| t0 A x| t0 0的特解 解 由条件 x
10、| t0 A 及 xC1 cos ktC2 sin kt 得C1A 再由条件 x| t0 0 及 x(t) kC1sin ktkC2cos kt 得C20 把 C1、C 2 的值代入 xC1cos ktC2sin kt 中 得xAcos kt 12 2 可分离变量的微分方程观察与分析 1 求微分方程 y2x 的通解 为此把方程两边积分 得yx2C 一般地 方程 yf(x)的通解为 (此处积分后不再加任意常数) Cdxfy(2 求微分方程 y2xy2 的通解 高等数学教案 12 微分方程第 6 页 共 41 页因为 y 是未知的 所以积分 无法进行 方程两边直dxy2接积分不能求出通解 为求通解
11、可将方程变为 两边积分 得y12 或 Cxy21x可以验证函数 是原方程的通解 一般地 如果一阶微分方程 y(x, y)能写成g(y)dyf(x)dx形式 则两边积分可得一个不含未知函数的导数的方程G(y)F(x)C 由方程 G(y)F(x)C 所确定的隐函数就是原方程的通解对称形式的一阶微分方程 一阶微分方程有时也写成如下对称形式 P(x y)dxQ(x y)dy0在这种方程中 变量 x 与 y 是对称的 若把 x 看作自变量、y 看作未知函数 则当 Q(x,y)0 时 有 ),(d若把 y 看作自变量、x 看作未知函数 则当 P(x,y)0 时 有 ),(yPQ可分离变量的微分方程 如果一
12、个一阶微分方程能写成g(y)dyf(x)dx (或写成 y(x)(y)的形式 就是说 能把微分方程写成一端只含 y 的函数和 dy 另一端只含 x 的函数和 dx 那么原方程就称为可分离变量的微分方程 讨论 下列方程中哪些是可分离变量的微分方程？(1) y2xy 是 y 1dy2xdx 高等数学教案 12 微分方程第 7 页 共 41 页(2)3x25xy0 是 dy(3x 25x)dx(3)(x2y2)dxxydy=0 不是(4)y1xy2xy2 是 y (1x)(1y2)(5)y10xy 是 10 ydy10xdx(6) 不是可分离变量的微分方程的解法 第一步 分离变量 将方程写成 g(y
13、)dy f(x)dx 的形式 第二步 两端积分 设积分后得 G(y)F(x)C df)(第三步 求出由 G(y)F(x)C 所确定的隐函数 y(x)或 x(y)G(y)F(x)C y (x)或 x(y)都是方程的通解 其中 G(y)F(x)C 称为隐式(通) 解 例 1 求微分方程 的通解 d2解 此方程为可分离变量方程 分离变量后得 xy两边积分得 dy21即 ln|y|x2C1 从而 21xee因为 仍是任意常数 把它记作 C 便得所给方程的通解1 2xy解 此方程为可分离变量方程 分离变量后得 dy1两边积分得 x2即 ln|y|x2lnC高等数学教案 12 微分方程第 8 页 共 41
14、 页从而 2xCey例 2 铀的衰变速度与当时未衰变的原子的含量 M 成正比 已知 t0 时铀的含量为 M0 求在衰变过程中铀含量 M(t)随时间 t 变化的规律 解 铀的衰变速度就是 M(t)对时间 t 的导数 dt由于铀的衰变速度与其含量成正比 故得微分方程 dt其中 (0)是常数 前的曲面号表示当 t 增加时 M 单调减少 即 0dt由题意 初始条件为M|t0M0 将方程分离变量得 dt两边积分 得 t)(即 lnMtlnC 也即 MCet 由初始条件 得 M0Ce0C 所以铀含量 M(t)随时间 t 变化的规律 MM0et 例 3 设降落伞从跳伞塔下落后 所受空气阻力与速度成正比 并设
15、降落伞离开跳伞塔时速度为零 求降落伞下落速度与时间的函数关系 解 设降落伞下落速度为 v(t) 降落伞所受外力为 Fmgkv( k 为比例系数) 根据牛顿第二运动定律 Fma 得函数 v(t)应满足的方程为 kmgdt初始条件为v|t00 方程分离变量 得高等数学教案 12 微分方程第 9 页 共 41 页 mdtkvg两边积分 得 1)ln(1Ctkv即 ( ) tmegvk将初始条件 v|t00 代入通解得 g于是降落伞下落速度与时间的函数关系为 )1(tmkev例 4 求微分方程 的通解 21xydxy解 方程可化为 )(2y分离变量得 dxy)1(2两边积分得 即 )(2 Cxy21a
16、rctn于是原方程的通解为 )1tn2xy例 5 有高为 1m 的半球形容器 水从它的底部小孔流出 小孔横截面面积为 1cm2 开始时容器内盛满了水 求水从小孔流出过程中容器里水面高度 h 随时间 t 变化的规律 解 由水力学知道 水从孔口流出的流量 Q 可用下列公式计算 ghSdtVQ26.0其中 0 62 为流量系数 S 为孔口横截面面积 g 为重力加速度 现在孔口横截面面积 S1cm2 故 或 t. dtghd26.0另一方面 设在微小时间间隔t t dt内 水面高度由 h 降至 hdh(dh0) 则又可得到高等数学教案 12 微分方程第 10 页 共 41 页dVr2dh 其中 r 是
17、时刻 t 的水面半径 右端置负号是由于 dh0 而 dV0 的缘故 又因 2220)1(0hh所以 dV(200hh2)dh 通过比较得到 dhdtg)0(6.02这就是未知函数 hh(t)应满足的微分方程此外 开始时容器内的水是满的 所以未知函数 hh(t)还应满足下列初始条件 h|t0100 将方程 分离变量后得dhdtg)20(62. t.031两端积分 得 dhgt )2(6.0231即 Ct )534(. 2其中 C 是任意常数 由初始条件得Cgt )1052340(26. 510426.)(. gC因此 )3107(26.0525hgt 高等数学教案 12 微分方程第 11 页 共
18、 41 页上式表达了水从小孔流出的过程中容器内水面高度 h 与时间 t 之间的函数关系 12 3 齐次方程齐次方程 如果一阶微分方程 中的函数 f(x, y)可写成),(yxfd的函数 即 则称这方程为齐次方程 xy),(yxf下列方程哪些是齐次方程？(1) 是齐次方程 02xy 1)(22xydxyd(2) 不是齐次方程 221 21(3)(x2y2)dxxydy0 是齐次方程 xydxyd(4)(2xy4)dx(xy1)dy0 不是齐次方程 142(5) 是齐次方程 ch3)sh2( dyxxxydxt2c齐次方程的解法 在齐次方程 中 令 即 yux 有)(xydxu u分离变量 得 x
19、du)(高等数学教案 12 微分方程第 12 页 共 41 页两端积分 得 xdu)(求出积分后 再用 代替 u 便得所给齐次方程的通解 y例 1 解方程 dxy2解 原方程可写成 1)(2xydxy因此原方程是齐次方程 令 则uyux dx于是原方程变为 12ux即 d分离变量 得 xu)1(两边积分 得 uln|u|Cln|x| 或写成 ln|xu|uC 以 代上式中的 u 便得所给方程的通解xy xy|ln例 2 有旋转曲面形状的凹镜 假设由旋转轴上一点 O 发出的一切光线经此凹镜反射后都与旋转轴平行 求这旋转曲面的方程 解 设此凹镜是由xOy 面上曲线 L yy(x)(y0)绕x轴旋转
20、而成 光源在原点 在L上任取一点M(x, y) 作L的切线交 x轴于A 点O 发出的光线经点M反射后是一条平行于x轴射线 由光学及几高等数学教案 12 微分方程第 13 页 共 41 页何原理可以证明OAOM 因为 xyOPMAPOcot而 2yx于是得微分方程 整理得 这是齐次方程 1)(2yxd问题归结为解齐次方程 1)(2yxd令 即xyv 得 vyvv即 12d分离变量 得 ydv2两边积分 得 , , ,Cln)1ln(Cyv121)(2v 12Cyv以 yvx 代入上式 得 )2(2xy这是以 x 轴为轴、焦点在原点的抛物线 它绕 x 轴旋转所得旋转曲面的方程为)(2Cz这就是所求
21、的旋转曲面方程 例 3 设一条河的两岸为平行直线 水流速度为 a 有一鸭子从岸边点 A 游向正对岸点 O 设鸭子的游速为 b(ba) 且鸭子游动方向始终朝着点 O 已知 OAh 求鸭子游过的迹线的方程 解 取 O 为坐标原点 河岸朝顺水方向为 x 轴 y 轴指向对岸 设在时刻 t 鸭子位于点 P(x, y) 则鸭子运动速度高等数学教案 12 微分方程第 14 页 共 41 页 故有 ),(),dtyxvyxyxv另一方面 ) ,()0 , 22xba ) ,(22yxba因此 即 yxvdyx1)(2 yxbd1)(问题归结为解齐次方程 a)(2令 即xyu 得uy 12bad分离变量 得 d
22、yu两边积分 得 )ln(arshC将 代入上式并整理 得 yxu )(211babayx以x| yh0代入上式 得 故鸭子游过的轨迹方程为h 0yh )(21bay将 代入 后的整理过程 xulnarsCu)l(nrshybaCx)l( )(21abyx 2byy)()(11ababC高等数学教案 12 微分方程第 15 页 共 41 页12.4 线性微分方程一、 线性方程线性方程 方程 叫做一阶线性微分方程 )(xQyPdx如果 Q(x)0 则方程称为齐次线性方程 否则方程称为非齐次线性方程 方程 叫做对应于非齐次线性方程 的齐次线性方程 )( )(xQyPdx下列方程各是什么类型方程？(
23、1) 是齐次线性方程ydx)2( 021yx(2) 3x25x5y0y3x25x 是非齐次线性方程 (3) yy cos xesin x 是非齐次线性方程(4) 不是线性方程d1(5) 或 不是线性方程0)(32xy0)1(23yxd32)1(xyd齐次线性方程的解法 齐次线性方程 是变量可分离方程 分离变量后得)(xPy d两边积分 得 1)(|lnCxPy或 ) 1)(dee这就是齐次线性方程的通解（积分中不再加任意常数） 例 1 求方程 的通解 ydx)2(解 这是齐次线性方程 分离变量得高等数学教案 12 微分方程第 16 页 共 41 页 2xdy两边积分得ln|y|ln|x2|ln
24、C 方程的通解为yC(x2) 非齐次线性方程的解法 将齐次线性方程通解中的常数换成 x 的未知函数 u(x) 把dxPeuy)(设想成非齐次线性方程的通解 代入非齐次线性方程求得 )()()()()( )()( xQexuPxx dPdxd 化简得 PeQu Cdxx)()(于是非齐次线性方程的通解为 )()(eeydxPdxP或 xQCd)()非齐次线性方程的通解等于对应的齐次线性方程通解与非齐次线性方程的一个特解之和 例 2 求方程 的通解 25)1(xyd解 这是一个非齐次线性方程 先求对应的齐次线性方程 的通解 0xy分离变量得 12xdy两边积分得 ln y2ln (x1)ln C
25、高等数学教案 12 微分方程第 17 页 共 41 页齐次线性方程的通解为yC(x1)2 用常数变易法 把 C 换成 u 即令 yu(x1)2 代入所给非齐次线性方程 得52 )11)()1(u x两边积分 得 Cu23)1(再把上式代入 yu(x1)2 中 即得所求方程的通解为 )3)解 这里 1(xP25)(xQ因为 1ln)2)d)1ln()(xedxP232125)( )()()( xdxQ所以通解为 )1(3)()( 2)( CCdxeeyPdxP例 3 有一个电路如图所示 其中电源电动势为 EEmsint(Em、 都是常数) 电阻 R 和电感L 都是常量 求电流 i(t) 解 由电
26、学知道 当电流变化时 L 上有感应电动势 由回路电压定律得出dtiL 0iRdtE即 Li把 EEmsin t 代入上式 得高等数学教案 12 微分方程第 18 页 共 41 页 tLEiRdtmsn初始条件为i|t00 方程 为非齐次线性方程 其中tLdmsin RtP)(tEQi)(由通解公式 得)()()( CdtetetiPdt ) sin(CdteLEeLRmdtR)sinLEtLRtm tLRettR cos (2其中 C 为任意常数 将初始条件 i|t00 代入通解 得 2 ECm因此 所求函数 i(t)为 )cos sin( 22 tLtRLeLREtRm二、伯努利方程伯努利方
27、程 方程(n0 1)yxQPdxy)(叫做伯努利方程 下列方程是什么类型方程？(1) 是伯努利方程4)21(3yxdxy(2) 是伯努利方程55d(3) 是伯努利方程xy 1xy高等数学教案 12 微分方程第 19 页 共 41 页(4) 是线性方程 不是伯努利方程xyd42伯努利方程的解法 以 yn 除方程的两边 得)()(1xQPxn令 z y1n 得线性方程 )()(nzd例 4 求方程 的通解 2lyxay解 以 y2 除方程的两端 得 xdln1即 xay)(令 zy1 则上述方程成为 zxdln这是一个线性方程 它的通解为 )(l2aCz以 y1 代 z 得所求方程的通解为 1)(
28、lnx经过变量代换 某些方程可以化为变量可分离的方程 或化为已知其求解方法的方程 例 5 解方程 yxd解 若把所给方程变形为 y即为一阶线性方程 则按一阶线性方程的解法可求得通解 但这里用变量代换来解所给方程 令 xyu 则原方程化为 即 d1udx1高等数学教案 12 微分方程第 20 页 共 41 页分离变量 得 dxu1两端积分得uln|u1|xln|C| 以 uxy 代入上式 得yln|xy1|ln|C| 或 xCeyy1 12 5 全微分方程全微分方程 一个一阶微分方程写成P(x, y)dxQ(x, y)dy0 形式后 如果它的左端恰好是某一个函数 uu(x, y)的全微分 du(
29、x, y)P(x, y)dxQ(x, y)dy 那么方程 P(x, y)dxQ(x, y)dy0 就叫做全微分方程 这里 u,而方程可写为du(x, y)0 全微分方程的判定若 P(x, y)、Q( x, y)在单连通域 G 内具有一阶连续偏导数 且 则方程 P(x, y)dxQ(x, y)dy0 是全微分方程 全微分方程的通解 若方程 P(x, y)dxQ(x, y)dy0 是全微分方程 且du(x, y)P(x, y)dxQ(x, y)dy则 u(x, y)C 即 ),(),(000 GyCddy高等数学教案 12 微分方程第 21 页 共 41 页是方程 P(x, y)dxQ(x, y)
30、dy0 的通解 例 1 求解(5x 43xy2y3)dx(3x2y3xy2y2 )dy0 解 这里 y26所以这是全微分方程 取(x 0, y0)(0, 0) 有ydxu023245),( 1yx于是 方程的通解为 Cx3253积分因子 若方程 P(x, y)dxQ(x, y)dy0 不是全微分方程 但存在一函数(x, y) (x, y)0) 使方程(x, y)P(x, y)dx(x, y)Q(x, y)dy0是全微分方程 则函数 (x, y)叫做方程 P(x, y)dxQ(x, y)dy0 的积分因子 例 2 通过观察求方程的积分因子并求其通解:(1)ydxxdy0 (2)(1xy)ydx(
31、1xy)xdy0 解 (1)方程 ydxxdy0 不是全微分方程 因为 2)(yxdd所以 是方程 ydxxdy0 的积分因子 于是21y是全微分方程 所给方程的通解为 xd Cyx(2)方程(1 xy)ydx(1xy)xdy0 不是全微分方程 将方程的各项重新合并 得高等数学教案 12 微分方程第 22 页 共 41 页(ydxxdy)xy(ydxxdy)0 再把它改写成 )()(2ydxyd这时容易看出 为积分因子 乘以该积分因子后 方程就变为1 0)(2ydx积分得通解 即 Cyxln|1xye1我们也可用积分因子的方法来解一阶线性方程 yP(x)yQ(x) 可以验证 是一阶线性方程 y
32、P(x)yQ(x)的一个积分因子 在一阶线性方程的两边dxPe)(乘以 得x)( dxPdxPdxPeeye)()()(即 Q)()()(亦即 dxPdxPeye)()(两边积分 便得通解 Cxddx)()(或 )()(eQeyPP例 3 用积分因子求 的通解 xyd42解 方程的积分因子为 2)(xex高等数学教案 12 微分方程第 23 页 共 41 页方程两边乘以 得2xe 即 2224xeyy 224)(xxey于是 Cdex222因此原方程的通解为 22xxeey12 6 可降阶的高阶微分方程一 、y (n)f (x)型的微分方程解法 积分 n 次 1)1(Cdxf 2)2( )(y
33、n 例 1 求微分方程 ye2xcos x 的通解 解 对所给方程接连积分三次 得 12sinCx 2co41ey 312sin8xx这就是所给方程的通解 或 12sin1Cxey 2co4 312sin81xxey这就是所给方程的通解 例 2 质量为 m 的质点受力 F 的作用沿 Ox 轴作直线运动 设力 F 仅是时间 t 的函数F F(t) 在开始时刻 t0 时 F(0)F0 随着时间 t 的增大 此力 F 均匀地减小 直到 tT 时 F(T)0 如果开始时质点位于原点 且初速度为零 求这质点的运动规律 高等数学教案 12 微分方程第 24 页 共 41 页解 设 xx(t)表示在时刻 t
34、 时质点的位置 根据牛顿第二定律 质点运动的微分方程为 )(2Fdm由题设 力 F(t)随 t 增大而均匀地减小 且 t0 时 F(0)F 0 所以 F(t)F0kt 又当 tT 时 F(T) 0 从而 )10Tt于是质点运动的微分方程又写为 )(2tmFdtx其初始条件为 0|t|tx把微分方程两边积分 得 120)(CTtFdtx再积分一次 得 21320)6(ttm由初始条件 x|t00 |td得 C1C20 于是所求质点的运动规律为 0tT )6(32tmFx解 设 xx(t)表示在时刻 t 时质点的位置 根据牛顿第二定律 质点运动的微分方程为mxF(t) 由题设 F(t)是线性函数
35、且过点(0 F 0)和( T 0) 故 即 10T1(tt于是质点运动的微分方程又写为 )(tmx其初始条件为 x|t00 x|t00 把微分方程两边积分 得高等数学教案 12 微分方程第 25 页 共 41 页120)(CTtmFx再积分一次 得 2320)6(t由初始条件 x|t00 x|t00 得 C1C20 于是所求质点的运动规律为 0tT)6(32tmFx二、y f(x y)型的微分方程 解法 设 yp 则方程化为pf(x p) 设 pf(x p)的通解为 p(xC1) 则 ,d原方程的通解为 21),(xy例 3 求微分方程 满足初始条件 y|x01 y|x03 的特解 y解 所给
36、方程是 yf(x y)型的 设 yp 代入方程并分离变量后 有 dp21两边积分 得ln|p|ln(1x2)C 即 pyC1(1x2) (C1eC) 由条件 y|x03 得 C13 所以 y3(1x2) 两边再积分 得 yx33xC2 又由条件 y|x01 得 C21 于是所求的特解为yx33x1 例 4 设有一均匀、柔软的绳索 两端固定 绳索仅受重力的作用而下垂 试问该绳索在平衡状态时是怎样的曲线?高等数学教案 12 微分方程第 26 页 共 41 页三、yf(y y )型的微分方程解法 设 yp有 dypxd原方程化为 ),(fyp设方程 的通解为 yp(y C1) 则原方程的通解为,d
37、21),(xCy例 5 求微分 yyy20 的通解 解 设 yp 则 d代入方程 得 02y在 y0、p 0 时 约去 p 并分离变量 得 d两边积分得ln|p|ln|y|lnc 即 pCy 或 yCy(Cc) 再分离变量并两边积分 便得原方程的通解为ln|y|Cxlnc1 或 yC1eCx (C1c1)例 6 一个离地面很高的物体受地球引力的作用由静止开始落向地面 求它落到地面时的速度和所需的时间（不计空气阻力） 12 7 高阶线性微分方程一、二阶线性微分方程举例例 1 设有一个弹簧 上端固定 下端挂一个质量为 m 的物体 取 x 轴铅直向下 并取物体的平衡位置为坐标原点 给物体一个初始速度
38、 v00 后 物体在平衡位置附近作上下振动 在振动过程中 物体的位置x 是 t 的函数 xx(t) 高等数学教案 12 微分方程第 27 页 共 41 页设弹簧的弹性系数为 c 则恢复力 fcx 又设物体在运动过程中受到的阻力的大小与速度成正比 比例系数为 则dtxR由牛顿第二定律得 tcxtm2移项 并记 nk2则上式化为 02xdttx这就是在有阻尼的情况下 物体自由振动的微分方程 如果振动物体还受到铅直扰力 FHsin pt的作用 则有 pthxkdtntxsin2其中 这就是强迫振动的微分方程 mh例 2 设有一个由电阻 R、自感 L、电容 C 和电源 E 串联组成的电路 其中 R、L
39、、及 C 为常数 电源电动势是时间 t 的函数 EEmsint 这里 Em 及 也是常数 设电路中的电流为 i(t) 电容器极板上的电量为 q(t) 两极板间的电压为 uc 自感电动势为 EL 由电学知道 dtqiCucdtiL根据回路电压定律 得 0RitiLE即 tEudtumccsin2或写成 tLCtdtccsi202高等数学教案 12 微分方程第 28 页 共 41 页其中 这就是串联电路的振荡方程 LR2C10如果电容器经充电后撤去外电源(E0) 则上述成为 022ccudttu二阶线性微分方程 二阶线性微分方程的一般形式为yP(x)yQ(x)yf(x) 若方程右端 f(x)0 时 方程称为齐次的 否则称为非齐次的 二、线性微分方程的解的结构先讨论二阶齐次线性方程
