1、3 概率 1 收敛与强大数定律一、以概率 1 收敛二、强大数定律本章补充与注记本章习题一、以概率 1 收敛大家知道, 随机变量是定义在概率空间上取值为实数的函数. 因此我们可以像数学分析讨论函数序列逐点收敛性那样去讨论随机变量序列在每个样本点处的值的收敛性. 然而, 由于随机变量取值的随机性, 我们常常不可能期望随机变量序列在所有点处都存在极限. 现在的问题是研究极限是否在一个概率为 1 的点集上存在. 定义 1 设 和 n是定义在概率空间 (, F, P)上的随机变量序列. 1. 如果存在 0F, P( 0)=0, 且对任意 0，有 n()，则称 n以概率1 收敛（converge with
2、 probability one）或几乎处处收敛(almost surely converge)于 ，记作n(a. s. ). 2. 如果存在 0F, P( 0)=0, 且对任意 0，数列 n()是柯西基本列，即n()- m()0，(n m ), 则称 n以概率 1 是柯西基本列. 注 n (a. s. ) 意味着最多除去一个零概率事件外, n逐点收敛于 . 根据柯西基本数列一定存在极限的原则, n以概率 1 收敛当且仅当 以概率 1 是柯西基本列. 下面给出以概率 1 收敛的判别准则. 定理 1 设 和 n是定义在概率空间 (, F, P)上的随机变量序列. (1) n (a. s. ) 当
3、且仅当对任意 0, 0)|sup(limknnP, 或者等价地 )|(liknn. (2) n以概率 1 是柯西基本列当且仅当对任意 0,0)|sup(lim0knknP, 或者等价地 )|(li0knkn. 证 (1) 对任意 0, 令 ,|nA1nkA. 那么n1/m. 由连续性定理（第一章3）, nknkAPPA)(li)()(1. 则下列关系式成立:0 = P( n)0)(1/m/AP, 对任意 m 1nkm0)(1, 对任意 m)|(mkP, 对任意 m 1nk0|, 对任意 0 . (2). 对任意 0, 令1, ,| mnkkkn BB, 那么 n不是柯西基本列=0. 以下类似于
4、(1)即可证明. 推论 如果对任意 0, 1)|(|nP, 则 n(a. s. ). 证 注意到nk)|(nkk0)|(|即可. 注 定理 1 表明 (a. s. )可推出 P. 反之, 存在例子表明 Pn并不能导出 n(a. s. )（见补充与注记 4）. 二、强大数定律与以概率 1 收敛密切相关的是强大数定律. 定义 2 设 n是定义在概率空间(, F, P)上的随机变量序列, 如果存在常数列 an和bn使得 nknba10(a. s. ) , 则称 n服从强大数定律(strong law of large numbers). 由于几乎处处收敛性强于依概率收敛性, 故强大数定律也比弱大数定
5、律更深入一步. 我们在第二节知道，贝努里通过对二项分布的精确估计得到贝努里弱大数定律，即贝努里随机试验中事件发生的频率依概率收敛于该事件的概率. 直到 1909 年波雷尔才证明了下面更强的结果. 定理 2（波雷尔强大数定律） 设 n是定义在概率空间(, F, P)上的独立同分布随机变量序列，P( n=1)= p, P( n=0)=1-p, 00, 0)|(max1nPini, 即 0 Pn. 另一方面, 对任意 ,(), n=1,2,中有无穷多个 1，也有无穷多个 0, 因此 () 不存在极限. 习 题1. 下列分布函数列是否弱收敛于分布函数？(1) x -1/ n 时, Fx()0; x 1
6、/n时, Fx()1;(2) Fxnn(),)/021.,nx2. 设 n的分布列为: P( n=0)=1-1/ n, P( =1)=1/ n, n=1,2,. 求证相应的分布函数列收敛于分布函数, 但 E 不收敛于相应分布的期望 . 3. 设 n为独立同分布随机变量序列, n的分布列为 015., nk/21. 求证n的分布收敛于0, 1上的均匀分布. 4. 某计算机系统有 120 个终端. (1) (1) 每个终端有 5 %时间在使用，若各终端使用与否是相互独立的, 求有 10个或更多终端在使用的概率;(2) (2) 若每个终端有 20%时间在使用, 求解上述问题. 5. 现有一大批种子，
7、其中良种占 1/ 6. 在其中任取 6000 粒，问在这些种子中良种所占的比例与 1/ 6 之差小于 1 %的概率是多少？6. 某车间有 200 台车床，工作时每台车床 60 %时间在开动，每台开动时耗电 1 千瓦. 问应供给这个车间多少电力才能有 0. 999 的把握保证正常生产？7. 一家保险公司里有 10000 个同类型人参加某种事故保险，每人每年付 12 元保险费，在一年中一个人发生此种事故的概率为 0. 006，发生事故时该人可向保险公司领得 1000 元. 问：(1) 对该项保险保险公司亏本的概率有多大？(2) 对该项保险保险公司一年的利润不少于 60000 元的概率有多大？8.
8、一家火灾保险公司承保 160 幢房屋，最高保险金额有所不同，数值如下表所示: 最大保险金额（万元） 投保房屋数10203050100803525155假设1) 每幢房屋每年一次理赔概率 0.04，大于一次理赔概率为 0；2) 各幢房屋是否发生火灾相互独立；3) 如果理赔发生，理赔量服从 0 到最高保险金额间的均匀分布. 记 N 为一年中理赔次数，S 为理赔总量, a. 计算 N 的期望值和方差；b. 计算 S 的期望值和方差；c. 确定相对保证附加系数 ，即 (每份保单保费收入-平均理赔量)/ 平均理赔量，以确保保险公司的保费收入大于理赔总量的概率等于 0. 99. 9. 某保险公司开办 5
9、种人寿险，每种险别（一旦受保人死亡）的赔偿额 kb及投保人数kn如下表所示. 类别 k 赔偿额（万元） kb投保人数 kn123451235108000350025001500500设死亡是相互独立的, 其概率皆为 0. 02. 保险公司为安全起见, 对每位受保人寻求再保险. 其机制如下：确定一个自留额，设为 2 万元；若某人的索赔在 2 万元以下，则都由该保险公司偿付；若赔偿金超过 2 万元，则超过部分由再保险公司偿付；再保险率为投保金额的 2. 5%. 该保险公司（相对于再保险公司而言，也称为分出公司）希望它的全部费用（即实际索赔总额 S+再保险费）不超过 825 万元，求实际费用突破此限
10、额的概率. 10. 设 n独立同分布，其分布分别为 (1) -a, a 上的均匀分布；(2) 泊松分布. 记 nkknEVar()/11. 计算 n的特征函数，并求 n时的极限, 从而验证林德贝格勒维定理在这种情况成立. 11. 用德莫佛拉普拉斯定理证明：在贝努里试验中，若 0 p 1，则不管 k 是多大的常数，总有P(| 0)|knp, ( n). 12. 求证：泊松分布的标准化变量当参数 时趋近标准正态分布. 13. 13. 求证：当 n时，ekn!012. 14. 14. 设 ,各自独立同分布, 也相互独立. E n=0, Var n=1， Pn12/. 求证：Snk1的分布函数弱收敛于
11、 N (0,1). 15. 15. 设 n为独立随机变量序列，都服从(0, )上的均匀分布. 记 nncosA，其中 0An且0)/(23113Anknk )(n. 证明 服从中心极限定理.16. 设 n服从柯西分布，其密度为 pn(x)= x()12. 求证： nP 0. 17. 设 n独立同分布，密度为 p(x)=ea),0. 令 nnmi,12 . 求证： Pa . 18. 18. 求证：(1) (1) 若 nP , nP , 则 nP ; (2) (2) 若 , , 则 ; (3) (3) 若 nP , nPc , c 为常数, n与 c 都不为 0，则/ ; (4) (4) 设 nd
12、 , nPc ,c 为常数, 则 ; d/ , (c0). 19. 19. 求证下列各独立的随机变量序列 k服从大数定律 . (1) P( kln)P( kln)12;(2) P( kkPP2012(,()( ;(3) P( k=12n), n=1, 2, ;(4) P( k=n)=cn2l,n=2, 3, ; c 为常数. 20. 设 服从同一分布，Var k+, k与 1相关, k=1,2, 但当|k-l|2 时, k与l独立. 求证这时大数定律成立. 21. （伯恩斯坦(Bernstein)定理）设 k的方差有界：Var kc, 且当|i-j|时, Cov( i,j)0，则 k服从大数定
13、律. 试证明之. 21. 在贝努里试验中，事件 A 出现的概率为 p，令k=10,若 在 第 次 和 第 次 试 验 中 出 现其 它kA1,求证 k服从大数定律. 23. 设 k独立同分布，都服从0, 1上的均匀分布，令nkn()/1, 求证：nPc (常数)，并求出 c. 24. 设 k独立同分布，E k=a, Var k. 求证：21nkP() a . 25. 设 k独立同分布，都服从 N (0, 1) 分布，nkn12/. 求证： n的分布函数 WN (0, 1). 26. 设 k为独立同分布随机变量序列，Var k. an1为绝对收敛级数，令nk1, 则 an服从大数定律. 27.
14、设 k为独立同分布随机变量序列， an为常数列， an. 求证：knnP 120/(). 28. k, 相互独立，均服从 N (0, 1)分布. an为常数列，求证：aknknP 110/的充要条件是akn210/. 29. 设 k独立同分布，都服从 N (0, 1) 分布. 求证：nn12 渐近正态分布N (0, 1). 30. 设 k独立同分布，都服从 -1, 1上的均匀分布. 求证：(1) n2服从大数定律；(2) Unkkn/211的分布函数收敛于 N (0, 1). 31. 设 k为相互独立的随机变量序列，成立中心极限定理，则它服从大数定律的充要条件是 Var(kno)(21. 32. 取 =(0,1), F 为其中波雷尔集全体所成的 域. 对任一事件 A=(a,b) ，定义 P(A)=b-a. 现定义)(0, .1/,/0,/1nrn求证： nP , 但 Lr .
