1、1概率论与数理统计面授辅导讲义第 1章 随机事件与概率内容概要本章是概率论最基础的部分,所有内容围绕随机事件和概率两个概念展开,主要是对一些概念的理解和记忆以及对基本运算规律的简单应用。本章的重点内容是随机事件的关系与运算,概率的概念、性质,古典概型的概率的计算,条件概率,事件独立性的概念,乘法公式、全概率公式、贝叶斯公式;难点是古典概型的概率计算,全概率公式、贝叶斯公式,事件独立性的概念。考核知识点与考核要求1.1 随机事件(识记、简单应用)1.2 概率(领会、简单应用)1.3 条件概率(领会、简单应用)1.4 事件的独立性(领会、简单应用 ) 1.1 随机事件1. 随机事件的概念及表示)随
2、机试验: 试验的可重复性在相同条件下可重复进行;1一次试验结果的随机性在一次试验中可能出现各种不同的结果,预2先无法断定;全部试验结果的可知性所有可能的试验结果预先是可知的。3将具有上述三个特点的试验称为随机试验,简称试验。样本点:随机试验的每一个可能出现的结果称为一个样本点,用字母 表示。样本空间:把试验 E 的所有可能结果的集合称作 E 的样本空间。)随机事件:试验 E 所对应的样本空间 的子集为 E 的一个随机事件,简称事件。记作A、B、C 或 、 12A)基本事件:样本空间 的仅包含一个样本点 的单点子集 也是一种随机事件,这种事件称为基本事件。)必然事件( ):样本空间 包含所有的样
3、本点,它是 自身的子集,在每次试验中它总是发生,称为必然事件,必然事件仍记为 。)不可能事件( ):空集 不包含任何样本点,它也作为样本空间 的子集,在每次试验中都不发生,称为不可能事件。2. 随机事件的关系 )事件的包含与相等设 A,B 为两个事件,若 A 发生必然导致 B 发生,则称事件 B 包含事件 A,或称事件2A 包含在事件 B 中,记作 , 。AB显然有: 。若 且 ,则称 A 与 B 相等,记作 。)和事件称事件“A,B 中至少有一个发生”为事件 A 与事件 B 的和事件,也称 A 与 B 的并,记作 或 。 发生意味着:或事件 A 发生,或事件 B 发生,或事件A和事件 B 都
4、发生。显然有: , ; 若 ,则 。1B2)积事件称事件“A,B 同时发生”为事件 A 与事件 B 的积事件,也称 A 与 B 的交,记作,简记为 。事件 发生意味着事件 A 发生且事件 B 也发生,也就是说 A,B 都发生。显然有: , ; 若 ,则 。1B2)差事件称事件“A 发生而 B 不发生”为事件 A 与事件 B 的差事件,记作 。显然有: ; 若 ,则 。 )互不相容若事件 A 与事件 B 不能同时发生,即 ,则称事件 A 与事件 B 是互不相容的两个事件,简称 A 与 B 互不相容(或互斥) 。对于 n 个事件 , , , ,如果它们两12 n两之间互不相容,即 ,则称 , ,
5、, 互不相容。),21,(jiji )对立事件称事件“A 不发生”为事件 A 的对立事件(或余事件,或逆事件) ,记作 。A若事件 A 与事件 B 中至少有一个发生,且 A 与 B 互不相容,即 ,B,B则称 A 与 B 互为对立事件。显然有: ; , ; 。123A注意:若 A 与 B 为对立事件,则 A 与 B 互不相容,但反过来不一定成立。3. 事件的运算设 A,B,C 为事件,则有交换律: , 。结合律: , 。CBA)()( CBA)()(分配律: , 。)( )(A3对偶律: , 。BA1.2 概率1. 频率 )频率:在相同条件下进行了 n 次试验,在这 n 次试验中,事件 A 发
6、生的次数 称为An事件 A 发生的频数,比值 称为事件 A 发生的频率,记作 。A )(fn)频率的基本性质:;11)(0fn, ;2)(nf若 A 与 B 互不相容,则 。3 )()(BfAfBfnnn这个性质可以推广:当 , , , 互不相容时, ,其中12A mmkknknAff11)(是正整数,当 , , , , 互不相容时, 。m12 11)()(kknknff2. 概率)概率:设 是随机试验 E 的样本空间,对于 E 的每个事件 A 赋予一个实数,记为,称 为事件 A 的概率,如果它满足下列条件:)(AP)(;10;2)(设 , , , , 是一列互不相容的事件,则有 。31A2
7、m 11)()(kkkAP)概率的基本性质:, , ;11)(0P0)(1)(P对于任意事件 A,B 有 ;2 )()ABP特别地,当 A 与 B 互不相容时, 。()(B推广:对于任意事件 A,B,C 有。)()()()()()( CCPP 4当 , , , 互不相容时,1A2 n,其中 为正整数。)()()( 21nAPAPP;3()BB特别地,当 时, ,且 。)()(B。4)(1)(AP3. 古典概型)古典概型:具有下面两个特点的随机试验的概率模型,称为古典概型:基本事件的总数是有限的,换句话说样本空间仅含有有限个样本点;每个基本事件发生的可能性相同。2)古典概型事件概率的计算公式设
8、为随机试验 E 的样本空间,其中所含样本点总数为 ,A 为一随机事件,其中n所含样本点数为 ,则有 ,r中 样 本 点 总 数中 样 本 点 数AnrP)(也即基 本 事 件 总 数所 包 含 的 基 本 事 件 数AnrP)(1.3 条件概率1. 条件概率与乘法公式)条件概率:在已知事件 B 发生的条件下,事件 A 发生的概率,称为在事件 B 发生的条件下事件 A 的条件概率,记作 。)(BP设 A,B 是两个事件,且 ,称 为在事件 B 发0)(PA生条件下事件 A 发生的条件概率。) 概率的乘法公式当 时,有 ,0)(P)()(BP当 时,有 。B乘法公式还可以推广到 个事件的情况:n设
9、 ,则 ;10)(A)()()(ACC设 ,则2121 nP5)()()( 12112121 nnn APAPAP2. 全概率公式与贝叶斯公式)设事件 , , , 满足如下两个条件:1A2 n, , , 互不相容,且 , ; 0)(iAPni,21,即 , , , 至少有一个发生,则称 , n21 12 1A, , 为样本空间 的一个划分。2A n当 , , , 是 的一个划分时,每次试验有且只有其中的一个事件发生1)全概率公式设随机试验对应的样本空间为 ,设 , , , 为样本空间 的一个划分,1A2 nB 是任意一个事件,则 。ni iiBPBP1)()()贝叶斯公式设 , , , 为样本
10、空间 的一个划分,B 是任意一个事件,且 ,则1A2 n 0)(BPnkkkiiiii APBPA1)()()(1.4 事件的独立性1. 事件的独立性)事件的独立性:若 ,则称 A 与 B 相互独立,简称 A,B 独立。)()(PAB)事件独立性的性质:设 ,则 A 与 B 相互独立的充分必要条件是 ;10)(P )()P设 ,则 A 与 B 相互独立的充分必要条件是 。若 A 与 B 相互独立,则 A 与 , 与 B, 与 都相互独立。2 A)设 A,B,C 为 3 个事件,若满足, ,)()(P)()CP)()CPB则称 A,B,C 两两独立。设 A,B,C 为 3 个事件,若满足, ,
11、,)()( )()A)()6)()(CPBACP则称 A,B,C 相互独立,简称 A,B,C 独立。注意:A,B,C 独立必有 A,B,C 两两独立,但反之不然。) 个事件 , , , 的独立性n12 n设 , , , 为 个事件,若对于任意整数 和任意 个整数 )1(nkk,有 ,iik21 )()( 2121 kk iiiii APAPAP 则称 , , , 相互独立,简称 , , , 独立。1A2 n12 n1. 重贝努利试验 n) 重贝努利试验试验只有两个结果 ,而且已知 , ,将试验独立重复进行A和 pP)(10次,则称为 重贝努利试验。n)贝努利概型在 重贝努利试验中,设每次试验中
12、事件 的概率为 ( ) ,则事件 A 恰Ap好发生 次的概率 。k nkpCkPnknn ,210,)1()( 例题分析1.1节1、设 A 与 B 是任意两个互不相容事件,则下列结论中正确的是( )A P(A)=1-P(B) B P(A-B)=P(B)C P(AB)=P(A)P(B) D P(A-B)=P(A)答案: D【解析】本题考查了两个随机事件的关系。A 与 B 互不相容,即0)(1)(,)APAPB而 A 选项 ,则是 A、B 互为对立事件, ,(1)( )()(BPA则是 A、B 互相独立。故选 D.3.设 A, B 为两个随机事件,若 A 发生必然导致 B 发生,且 P (A)=0
13、.6,则 P (AB) =_答案:0.67【解析】由“若 A 发生必然导致 B 发生” ,则BA)(AP6.0)B提醒:要分清 A、B 之间的关系.4对于事件 A, B,下列命题正确的是( )A如果 A, B 互不相容,则 也互不相容,B如果 ,则C如果 ,则D如果 A,B 对立,则 也对立,答案: D【解析】本题考查了两个随机事件之间的关系。对于事件之间的关系判断可用类似于集合之间的关系来处理。对于答案,如果 A, B 互不相容,则 ,按集合来处理(画AB画图) ,不一定有 成立,因此 也不一定就是互不相容的;对于答,案,如果 ,则 (画图便知) ;答案实质上与答案相同;对于答案,如BA果
14、A,B 对立,则 ,显然 也是对立的。,【提醒】注意互不相容和对立的关系:互不相容不一定对立,对立一定是互不相容的。还要注意互不相容与独立的关系(从定义式中发掘) 。总之要紧紧抓住概念的本质。另外,请学员要牢记公式 。()()()PABPAB1.2节1. 将一枚均匀的硬币抛掷三次,恰有一次出现正面的概率为( ) 。A. B.81 41C. D.3 2答案:C【解析】: 832p2设 P(A)=0.4,P(B)=0.3,P(A B)=0.4,则 P( )=_。BA答案:0.1【解析】:重点考察概率计算公式: 1.034.ABPBAP)()()( )()()()(3. 己知 10 件产品中有 2
15、件次品,从该产品中任意取 3 件,则恰好取到一件次品的概率等于_。答案: 1578【解析】:由题知:样本空间为 个,恰好取到一件次品为 ;恰好取到一件次品的310C123C概率为 .1573028C【提醒】:先找出样本空间总数,再找出事件发生的次数,两者一比,即 。样 本 总 数发 生 次 数P4. 设 P(A)=0.7, P(A-B)=0.3,则 P( )=_.AB答案:0.6【解析】:本题考查了事件之间关系与运算中的概率公式 和)()(ABA。将已知条件代入公式 和 中)(1)( )(BP1P即得答案。【点评】: 是一个很重的公式,经常与独立性和互不相容等概念)(ABPAP结合起来考查学员
16、们。5. 袋中有 5 个黑球,3 个白球,从中任取的 4 个球中恰有 3 个白球的概率为_. 答案:1/14【解析】:本题考查古典概型中概率的求法。所求的概率为 。1485C【提醒】:要注意排列组合中的加法原理和乘法原理,分部和分类的思想。6袋中有 5 个红球,3 个白球,2 个黑球,现从中任取 3 个球,其恰为一红一白一黑的概率为( )A B411C. D243答案:A【解析】考查了古典概型中概率的计算。.4131025CP1.3节1. 设 A,B 为两事件,已知 P(A)= ,P(A|B)= , ,则 P(B)=( ) 。33253)A|(PA. B. 51 5C. D. 3 4答案:A9
17、解析:本题重点考察一个公式: 。)()()( ABPBAP这是一个相当相当关键的公式,一定要牢记。)( )()( PBA)( )()( )()()( )()( AP1AP解得: 51)(2. 飞机在雨天晚点的概率为 0.8,在晴天晚点的概率为 0.2,天气预报称明天有雨的概率为 0.4,试求明天飞机晚点的概率.解:设 A=明天有雨,B=飞机正点) ,则所求概率为 )|()|()( ABpPAB=0.40.8+0.60.2=0.44即明天飞机晚点的概率为 0.44.4设 A、B 为两件事件,已知 ,则有( ) 。3.0)(A B1|()|(APp 1)|()|(ABPC D)| 7.0答案:C解
18、析:利用条件概率的定义:因为 ,在事件 A 发生的条件下,要么事件 BB发生,要么 发生,所以选项 C 正确,也可以利用乘法公式进行推导。若事件 AB与事件 B 是对立事件,即 ,则选项 D 正确。若事件 A 与事件 BA,相互独立,则 也相互独立,则选项 A 正确。与5设一批产品中有 95的合格品,且在合格品中一等品的占有率为 60求:(1)从该批产品中任取 1 件,其为一等品的概率;(2)在取出的 1 件产品不是一等品的条件下,其为不合格品的概率解:(1)设事件 表示“从该批产品中任取一件为合格品” ,A表示“从该批产品中任取一件为一等品” B则 ,B57.06.0)|()() APP10
19、(2) ,)(|(BPA因 ,故 ,从而12.04357.19)(|( A6. 100 张彩票中有 7 张有奖,现有甲先乙后各买了一张彩票,试用计算说明甲、乙两人中奖中概率是否相同。【解析】本题考查了全概率公式。设 A 表示“甲摸到彩票” ,B 表示“乙摸到彩票” 。则, , 而 ,所以()10PA96)|(B97)|(P93()10P1076| B故甲、乙两人中奖概率相同。【提醒】若本题变为“100 张彩票中有 1 张有奖,现有甲先乙后各买了一张彩票,试用计算说明甲、乙两人中奖中概率是否相同” ,用同样的方法推出中奖概率是相同的。另外,即使是多张奖券,概率也是一样的。1.4节1. 设 ,则由
20、事件 A,B 相互独立,可推出( ) 。0)(,)(BPApA B)()(|(APC D)|(答案:B解析:考查的是独立性的定义和性质。2. 设 A,B 为两件事,已知 ,若事件 A,B 相互独立,则 P(B)= .,31)(AP32)(B答案: 21解析:本题考查的是事件独立性的定义以及和事件的概率计算公式。若 A 与 B 相互独立,则有 )()(P和事件的概率公式 ABBAP3. 设随机事件 A 与 B 相互独立,且 P(A)=P(B)= ,则 P(A )=_31答案: 97解析:考查了事件的独立性以及两个独立事件的和的概率计算公式。A与B相互独立, 11则 、 、 也分别是相互独立的。另
21、外要记住概率的加法公式:BA,。)()()( ABPBP本题中,由于 也是相互独立的,所以, .97321)()()()()( ABAP4. 设随机事件 A, B 相互独立, P( )= , P(A )=P( B),则 P( )=_.B251A答案:1/5。解析:本题考查了事件之间的关系与运算以及独立性的概念。解答如下:,因为 A, B 相互独立,所以254)()(,251)() PU,于是 。由已知 P(A )=P( B),结合公BABPA式 ,得 ,即)()( )(),代入到 中,解关于 P(B)的方程,即得)P254。于是 P( )=1/5。54(BAA【提醒】这类题可以用排列公式法来解
22、,即把相关的公式全都列出来代入已知,再挖掘答案。5. 某地一年内发生旱灾的概率为 ,则在今后连续四年内至少有一年发生旱灾的概率为31答案:65/81解析:本题考查内容是贝努利概型。四年内至少有一年发生旱灾的对立事件(反面考虑)为四年都没有发生旱灾即旱灾次数为 0,故所求的概率为 。8165321404C【提醒】在 n 次独立试验中某事件发生 m 次的概率为 。出现“至少”mnmn字样,可从反面考虑。6. 每次试验成功率为 p(0p1),则在 3 次重复试验中至少失败一次的概率为( )A(1- p)3 B1-p 3C3(1- p) D(1- p)3+p(1-p)2+p2(1-p)答案:B解析:本
23、题考查了 n 重贝努力试验中,某随机事件发生 m 次的概率。见到“至少”二字,一般从反面入手考虑。至少失败 1 次,反面是成功 3 次,3 重贝努力试验中出现 3 次(即成功 3 次)的概率是 ,因此本题的答案为 。303()Cp31p【提醒】n 重贝努力试验中,某随机事件(一次试验中发生的概率为 p)发生 m 次的概率为:。()(1)mnmnnP12测试练习 11、单项选择题1、若 A 与 B 互为对立事件,则下式成立的是( )A.P(A B)= B.P(AB)=P(A)P(B)C.P(A)=1-P(B) D.P(AB)= 2、设 A、B、C 为三个事件,则 A、B、C 至少发生一个的事件应
24、表示为( )A. ABC B. AB C C. D. C3、若事件 A、B 为互逆事件,则 ( )()PA. 0 B. 0.5 C. 1 D. 4、设 A, B 为两个随机事件,且 ,则 P(A|B)=( )0)(,BAA1 B P(A)C P(B) D P(AB)5、在四次重复贝努里试验中,事件 A 至少发生一次的概率为 80/81,则 A 在每次试验中发生的概率 p 为( )A. B. C. D.143231324532二、填空题1、已知 P(A)=0.4,P(B)=0.3, P(A+B)= 0.6,则 P(AB)= _0.1_, P(AB)=,.)|2、已知 P(A)=1/2,P (B)
25、=1/3,P (AB)=1/4,P( |B)=_.3、两封信随机地投入四个邮筒, 则前两个邮筒没有信的概率为_, 第一个邮筒只有一封信的概率为_.4、一批产品的废品率为 0.2, 每次抽取 1 个, 观察后放回去, 下次再任取 1 个, 共取 3 次, 则 3 次中恰有两次取到废品的概率为_.5、掷两颗均匀骰子, 与 分别表示第一和第二颗骰子所出现点,则 P=_。三、计算题1、某厂生产的一批产品全部由甲、乙、丙三个车间生产.三个车间生产的产品所占比例分别为 0.45,0.35,0.20,产品的次品率分别为 0.02,0.04,0.05,今从这批产品中任抽一件,求13(1) 、取得的是次品的概率;(2) 、若已知取得的是次品,问最有可能是那个车间生产的.2、袋中有 10 个球(3 个白球,7 个黑球) ,从袋中每次任抽一个球,抽出的球不再放回,共抽两次,求(1)、两次都抽到白球的概率;(2)、第二次才抽到白球的概率;(3)、第二次抽到白球的概率.测试练习 1答案一、CBAAC二、 (1)0.1,0.3,0.75 (2)1 (3)1/4 ,3/8 (4) (5)1/6.8.023C三、1、1/15, 7/30, 3/10. 2、 (1)1/15;(2)3/10;(3)2/9.