1、习题 1-21. 选择题(1) 设随机事件 A,B 满足关系 ,则下列表述正确的是( ).B(A) 若 A 发生 , 则 B 必发生. (B) A , B 同时发生.(C) 若 A 发生, 则 B 必不发生. (D) 若 A 不发生,则 B 一定不发生.解 根据事件的包含关系, 考虑对立事件, 本题应选(D).(2) 设 A 表示“甲种商品畅销, 乙种商品滞销”, 其对立事件 表示( ).(A) 甲种商品滞销, 乙种商品畅销. (B) 甲种商品畅销, 乙种商品畅销.(C) 甲种商品滞销, 乙种商品滞销 .(D) 甲种商品滞销, 或者乙种商品畅销.解 设 B 表示“甲种商品畅销 ”,C 表示“乙
2、种商品滞销”,根据公式 , 本BC题应选(D).2. 写出下列各题中随机事件的样本空间:(1) 一袋中有 5 只球, 其中有 3 只白球和 2 只黑球, 从袋中任意取一球 , 观察其颜色;(2) 从(1)的袋中不放回任意取两次球, 每次取出一个, 观察其颜色;(3) 从(1)的袋中不放回任意取 3 只球, 记录取到的黑球个数;(4) 生产产品直到有 10 件正品为止, 记录生产产品的总件数.解 (1) 黑球, 白球; (2) 黑黑,黑白,白黑,白白; (3) 0,1,2;(4) 设在生产第 10 件正品前共生产了 n 件不合格品,则样本空间为.10|12n3. 设 A, B, C 是三个随机事
3、件, 试以 A, B, C 的运算关系来表示下列各事件:(1) 仅有 A 发生;(2) A, B, C 中至少有一个发生;(3) A, B, C 中恰有一个发生;(4) A, B, C 中最多有一个发生;(5) A, B, C 都不发生;(6) A 不发生, B, C 中至少有一个发生.解 (1) ; (2) ; (3) ;ABC(4) ; (5) ; (6) .()4. 事件 Ai 表示某射手第 i 次(i=1, 2, 3)击中目标, 试用文字叙述下列事件:(1) A1A2; (2) A1A2A3; (3) ; (4) A2A 3; (5) ; (6) .2312A解 (1) 射手第一次或第
4、二次击中目标;(2) 射手三次射击中至少击中目标 ;(3) 射手第三次没有击中目标;(4) 射手第二次击中目标,但是第三次没有击中目标;(5) 射手第二次和第三次都没有击中目标;(6) 射手第一次或第二次没有击中目标.习题 1-31. 选择题(1) 设 A, B 为任二事件 , 则下列关系正确的是 ( ).(A) . (B) .()()PAPB)()ABP(C) . (D) .解 由文氏图易知本题应选(D).(2) 若两个事件 A 和 B 同时出现的概率 P(AB)=0, 则下列结论正确的是 ( ).(A) A 和 B 互不相容 . (B) AB 是不可能事件. (C) AB 未必是不可能事件
5、 . (D) P(A)=0 或 P(B)=0.解 本题答案应选(C).2. 设 P(AB)=P( ), 且 P(A)p,求 P(B).B解 因 ,)11()()A故 . 于是)A.3. 已知 , , , 求 .(04()3(0.4PB解 由公式 知 . 于是)()3.1PBAPB4. 设 A, B 为随机事件, , , 求 .().7(A解 由公式 可知, . 于是 .()04()06PB5. 设 A, B 是两个事件, 且 , .问:0.67(1) 在什么条件下 取到最大值, 最大值是多少?)(2) 在什么条件下 取到最小值, 最小值是多少?(P解 =1.3 .()()BA()(1) 如果
6、, 即当 时, =0.7, 则 有最PB()AB大值是 0.6 .(2) 如果 =1,或者 时, 有最小值是 0.3 .)(AS()6. 已知 , , , 求 A, 1()4PBC()0P1()2CB, C 全不发生的概率.解 因为 ,所以 =0, 即有 =0.0AB ( ) P由概率一般加法公式得 ()()()()()()7.12AABC由对立事件的概率性质知 A ,B, C 全不发生的概率是.5()()1()12PBPBC习题 1-41. 选择题在 5 件产品中, 有 3 件一等品和 2 件二等品. 若从中任取 2 件, 那么以 0.7 为概率的事件是( ) (A) 都不是一等品. (B)
7、 恰有 1 件一等品.(C) 至少有 1 件一等品. (D) 至多有 1 件一等品.解 至多有一件一等品包括恰有一件一等品和没有一等品, 其中只含有一件一等品的概率为 , 没有一等品的概率为 , 将两者加起即为 0.7. 答案为(D).1325C 0235C2. 从由 45 件正品、5 件次品组成的产品中任取 3 件. 求: (1) 恰有 1 件次品的概率; (2) 恰有 2 件次品的概率; (3) 至少有 1 件次品的概率; (4) 至多有 1 件次品的概率; (5) 至少有2 件次品的概率.解 (1) 恰有 1 件次品的概率是 ;(2) 恰有 2 件次品的概率是 ; (3 )至25430
8、215430C少有 1 件次品的概率是 1- ; (4) 至多有 1 件次品的概率是 + ; (5) 0354C055至少有 2 件次品的概率是 + .23500533. 袋中有 9 个球, 其中有 4 个白球和 5 个黑球. 现从中任取两个球. 求:(1) 两个球均为白球的概率;(2) 两个球中一个是白的, 另一个是黑的概率;(3)至少有一个黑球的概率.解 从 9 个球中取出 2 个球的取法有 种,两个球都是白球的取法有 种,一黑29C24C一白的取法有 种,由古典概率的公式知道154C(1) 两球都是白球的概率是 ;294(2) 两球中一黑一白的概率是 ;15C(3) 至少有一个黑球的概率
9、是 1 .2944. 在区间(0, 1)中随机地取两个数, 求下列事件的概率:(1) 两数之和小于 ;(2) 两数之65积小于 ;(3) 以上两个条件同时满足;(4) 两数之差的绝对值小于 的概率.14 12解 设 X, Y 为所取的两个数, 则样本空间 S = (X, Y)|00, P(B)0, 则下列关系成立的是( ).(A) A, B 相互独立. (B) A, B 不相互独立.(C) A, B 互为对立事件. (D) A, B 不互为对立事件.解 用反证法, 本题应选(B).(2) 设事件 A 与 B 独立, 则下面的说法中错误的是 ( ).(A) 与 独立. (B) 与 独立.(C)
10、. (D) A 与 B 一定互斥.()()P解 因事件 A 与 B 独立, 故 ,A 与 及 与 B 也相互独立. 因此本题应选(D).与(3) 设事件 A 与 B 相互独立, 且 0P(B)1, 则下列说法错误的是( ). (A) . (B) .(|)()()P(C) A 与 B 一定互斥. (D) .()()()PABPAB解 因事件 A 与 B 独立, 故 也相互独立, 于是(B)是正确的. 再由条件概率及一与般加法概率公式可知(A) 和(D) 也是正确的 . 从而本题应选(C).2设 A, B 是任意两个事件, 其中 A 的概率不等于 0 和 1, 证明P(B|A)= 是事件 A 与
11、B 独立的充分必要条件.)证 由于 的概率不等于 0 和 1, 故题中两个条件概率都存在.充分性. 因事件 A 与 B 独立, 知事件 与 B 也独立, 因此,()(,)(PP从而 .A必要性. 已知 , 由条件概率公式和对立事件概率公式得到()(),()1BBPP移项得 ()1()(AAA化简得 P(AB)=P(A)P(B), 因此 A 和 B 独立.3. 设三事件A , B和C两两独立, 满足条件:, 且 ,)()2C9()16BC求 .()解 根据一般加法公式有.()()()()()PABPBAPPA由题设可知 A, B和C 两两相互独立, , 因此有 ,2B2()()()()(0,C从
12、而,29316PPA于是 或 , 再根据题设 , 故 .3()4A1()()()44 某人向同一目标独立重复射击, 每次射击命中目标的概率为 p(0p1), 求此人第4 次射击时恰好第 2 次命中目标的概率.解 “第 4 次射击恰好第 2 次命中 ” 表示 4 次射击中第 4 次命中目标 , 前 3 次射击中有一次命中目标. 由独立重复性知所求概率为 .123()Cp5. 甲、乙两人各自向同一目标射击, 已知甲命中目标的概率为 0.7, 乙命中目标的概率为 0.8. 求:(1) 甲、乙两人同时命中目标的概率;(2) 恰有一人命中目标的概率;(3) 目标被命中的概率. 解 甲、乙两人各自向同一目
13、标射击应看作相互独立事件. 于是(1) ()()0.78.56;PAB(2) 2308(3) ()(.7.560.94PBA总 习 题 一1. 选择题:设 是三个相互独立的随机事件, 且 , 则在下列给定AC()1PC的四对事件中不相互独立的是( ).(A) 与C . (B) 与 .BA(C) 与 C. (D) 与 .B解 由于 A, B, C 是三个相互独立的随机事件, 故其中任意两个事件的和、差、交、并与另一个事件或其逆是相互独立的, 根据这一性质知(A), (C), (D)三项中的两事件是相互独立的, 因而均为干扰项, 只有选项(B)正确2. 一批产品由 95 件正品和 5 件次品组成,
14、 先后从中抽取两件, 第一次取出后不再放回.求: (1) 第一次抽得正品且第二次抽得次品的概率; (2) 抽得一件为正品, 一件为次品的概率.解 (1) 第一次抽得正品且第二次抽得次品的概率为 . 951036(1) 抽得一件为正品,一件为次品的概率为 9.83. 设有一箱同类型的产品是由三家工厂生产的. 已知其中有 的产品是第一家工厂2生产的, 其它二厂各生产 . 又知第一、第二家工厂生产的产品中有 2%是次品, 第三家工41厂生产的产品中有 4%是次品. 现从此箱中任取一件产品, 求取到的是次品的概率. 解 从此箱中任取一件产品, 必然是这三个厂中某一家工厂的产品. 设A=取到的产品是次品
15、, Bi=取到的产品属于第 i 家工厂生产, i=1, 2, 3. 由于 BiBj= (ij, i, j=1, 2, 3)且 B1B 2B 3=S, 所以 B1, B2, B3 是 S 的一个划分.又 P(B1)= , P(B2) = , P(B3)= ,41P(A| B1)= , P(A| B2)= , P(A| B3)= ,004由全概率公式得P(A)=P(B1)P(A|B1)+P(B2)P(A|B2)+P(B3)P(A| B3)= =0.025.104241024. 某厂自动生产设备在生产前须进行调整. 假定调整良好时, 合格品为 90%; 如果调整不成功, 则合格品有 30%. 若调整
16、成功的概率为 75%, 某日调整后试生产, 发现第一个产品合格. 问设备被调整好的概率是多少?解 设 A=设备调整成功, B=产品合格 . 则全概率公式得到.()(|)(|)075.920.375PAPBA由贝叶斯公式可得(|)()|()5. 将两份信息分别编码为 A 和 B 传递出去. 接收站收到时, A 被误收作 B 的概率为0.02, 而 B 被误收作 A 的概率为 0.01, 信息 A 与信息 B 传送的频繁程度为 2:1. 若接收站收到的信息是 A, 问原发信息是 A 的概率是多少?解 以 D 表示事件“将信息 A 传递出去” ,以 表示事件“将信息 B 传递出去” ,以DR 表示事件“接收到信息 A”,以 表示事件“接收到信息 B”.已知R.21()0.2()0.1,(),()3PP由贝叶斯公式知.96()( 7()()R