1、第五讲 空间角与距离、空间向量及应用,【高考帮理科数学】第八章 立体几何,考情精解读,A考点帮知识全通关,目录 CONTENTS,命题规律,聚焦核心素养,考点1 空间直角坐标系 考点2 空间向量及其运算 考点3 空间向量的应用,考法1 利用向量法证明平行与垂直问题 考法2 求线面角 考法3 求二面角 考法4 求空间距离,B考法帮题型全突破,考情精解读,命题规律 聚焦核心素养,命题规律,1.命题分析预测 从近五年的考查情况来看,利用向量法求空间角和空间距离是高考的重点,考查频率较高,线、面的平行和垂直问题一般不用向量法求解,但向量法的使用有时可以加快求解速度,主要以解答题的形式出现,难度中等.
2、2.学科核心素养 本讲通过对空间角的求解、空间向量的应用考查考生的直观想象、数学运算、逻辑推理素养,以及转化与化归思想的应用.,聚焦核心素养,A考点帮知识全通关,考点1 空间直角坐标系 考点2 空间向量及其运算 考点3 空间向量的应用,考点1 空间直角坐标系,1.右手直角坐标系 在空间直角坐标系中,让右手拇指指向x轴的正方向,食指指向y轴的正方向,如果中指指向z轴的正方向,则称这个坐标系为右手直角坐标系(如图8-5-2所示).图8-5-2,2.点的坐标表示 在空间直角坐标系中,任何一个点的坐标都可以用三个实数组成的有序实数组表示,这三个实数分别是点在x轴,y轴,z轴上的坐标. 3.空间两点间的
3、距离及中点坐标 (1)设点A(x1,y1,z1),B(x2,yx,z2),则|AB|= 1 2 2 + 1 2 2 + 1 2 2 . 特别地,点P(x,y,z)与坐标原点O的距离为|OP|= 2 + 2 + 2 . (2)设点A(x1,y1,z1),B(x2,y2,z2)是空间中两点,则线段AB的中点坐标为 ( 1 + 2 2 , 1 + 2 2 , 1 + 2 2 ).,考点2 空间向量及其运算,1.空间向量的概念以及空间向量的加、减、数乘、数量积运算及其坐标表示是平面向量的类比推广. 2.空间向量三个定理,规律总结 1.三点共线:在平面中A,B,C三点共线=x+y (其中x+y=1),O
4、为平面内任意一点. 2.四点共面:在空间中P,A,B,C四点共面=x+y+z (其中x+y+z=1),O为空间中任意一点.,规律总结 1.三点共线:在平面中A,B,C三点共线 = x+ y (其中x+y=1),O为平面内任意一点. 2.四点共面:在空间中P,A,B,C四点共面 =x +y +z (其中x+y+z=1),O为空间中任意一点.,3.空间向量的坐标运算 设a=(a1,a2,a3),b=(b1,b2,b3),则 (1)ab=(a1b1,a2b2,a3b3); (2)a=(a1,a2,a3)(R); (3)ab=a1b1+a2b2+a3b3; (4)aba=b(b0)a1=b1,a2=b
5、2,a3=b3(R); (5)abab=0a1b1+a2b2+a3b3=0; (6)|a|= = a1 2 + a2 2 + a3 2 ; (7)cos= | = a1b1+a2b2+a3b3 a1 2 + a2 2 + a3 2 b1 2 + b2 2 + b3 2 .,考点3 空间向量的应用,1.直线的方向向量和平面的法向量 (1)直线的方向向量:如果表示非零向量a的有向线段所在直线与直线l平行或重合,则称此向量a为直线l的方向向量. (2)平面的法向量:直线l,取直线l的方向向量a,则向量a叫作平面的法向量.,思维拓展 求平面法向量的步骤 (1)建立空间直角坐标系,设平面的法向量为n=(
6、x,y,z); (2)找出(求出)平面内的两个不共线的向量的坐标a=(a1,b1,c1),b=(a2,b2,c2); (3)根据法向量的定义建立关于x,y,z的方程组 =0 =0 (4)解方程组,取其中的一组解,即得法向量. 注意 n=(0,0,0)不能作为法向量.,2.空间位置关系的向量表示,3.直线与平面所成的角 (1)定义:平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角叫作这条直线和这个平面所成的角.一条直线垂直于平面,我们说它们所成的角是直角;一条直线和平面平行,或在平面内,我们说它们所成的角是0的角. (2)最小角定理:平面的斜线和它在平面内的射影所成的角是这条斜线和这个平面内任一条直线
7、所成角中最小的角. (3)线面角的取值范围:090. 4.二面角图8-5-5,如图8-5-5,在二面角-l-的棱l上任取一点P,以点P为垂足,在半平面,内分别作垂直于棱l的射线PA和PB,则射线PA和PB构成的APB叫作二面角-l-的平面角. 二面角的大小可以用它的平面角来度量,二面角的平面角是多少度,就说这个二面角是多少度.我们规定,二面角的取值范围是0,180.平面角是直角的二面角叫作直二面角.,5.利用向量法求空间角,B考法帮题型全突破,考法1 利用向量法证明平行与垂直问题 考法2 求线面角 考法3 求二面角 考法4 求空间距离,考法1 利用向量法证明平行与垂直问题,示例1 在正方体AB
8、CD-A1B1C1D1中,M,N分别是C1C,B1C1的中点.求证:MN平面A1BD.,思路导引 建立空间直角坐标系求出平面A1BD的法向量证 与法向量垂直线面平行,解析 如图8-5-6所示,以D为坐标原点,DA,DC,DD1所在直线分别为x轴,y轴,z轴建立空间直角坐标系. 设正方体的棱长为1,则M(0,1, 1 2 ),N( 1 2 ,1,1),D(0,0,0),A1(1,0,1),B(1,1,0),图8-5-6 于是 =( 1 2 ,0, 1 2 ), 1 =(1,0,1), DB =(1,1,0).,设平面A1BD的法向量为n=(x,y,z), 则n A1 =0,且n D =0,得 +
9、=0 +=0 取x=1,得y=-1,z=-1,所以n=(1,-1,-1). 又 n=( 1 2 ,0, 1 2 )(1,-1,-1)=0, 所以 n.又MN平面A1BD, 所以MN平面A1BD. 点评 本题证明线面平行,只需建立空间直角坐标系,求出已知平面的法向量,证明已知直线的方向向量与法向量垂直即可,注意说明 MN平面A1BD.,方法总结 利用空间向量证明平行问题的方法注意 用向量法证明平行问题时,要注意解题的规范性.如证明线面平行时,仍需要说明一条直线在平面内,另一条直线在平面外.,2.利用向量法证明垂直问题示例2 正三棱柱ABC-A1B1C1的所有棱长都为2,D为CC1的中点.求证:A
10、B1平面A1BD.思维导引 建立空间直角坐标系求平面A1BD的法向量证明 1 与法向量平行线面垂直,解析 如图8-5-7所示,取BC的中点O,连接AO.图8-5-7 因为ABC为正三角形,所以AOBC. 因为在正三棱柱ABC-A1B1C1中,平面ABC平面BCC1B1,所以AO平面BCC1B1.取B1C1的中点O1,以O为原点,分别以 , 1 , 的方向为x轴,y轴,z轴的正方向建立空间直角坐标系,如图8-5-7所示,则,B(1,0,0),D(-1,1,0),A1(0,2, 3 ),A(0,0, 3 ),B1(1,2,0).1 =(-1,2, 3 ), =(-2,1,0).设平面A1BD的法向
11、量为n=(x,y,z),因为 n 1 ,n , 故 1 =0， =0 , +2+ 3 =0， 2+=0 . 令x=1,得y=2,z=- 3 , 故n=(1,2,- 3 )为平面A1BD的一个法向量. 而 1 =(1,2,- 3 ),所以 1 n. 故AB1平面A1BD.,方法总结 利用空间向量证明垂直问题的方法,拓展变式1 如图8-5-8所示,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,平面AA1C1C和平面AA1B1B都是正方形且互相垂直,M为AA1的中点,N为BC1的中点.图8-5-8 求证:(1)MN平面A1B1C1; (2)平面MBC1平面BB1C1C.,解析 1.由题意知,AA1,AB,AC两
12、两垂直,则以A为坐标原点,建立如图D 8-5-5所示的空间直角坐标系.设AA1=2图D 8-5-5 ,则A(0,0,0),A1(2,0,0),B(0,2,0),B1(2,2,0),C(0,0,2),C1(2,0,2),M(1,0,0),N(1,1,1). (1)因为AA1A1B1,AA1A1C1,且A1B1A1C1=A1,所以AA1平面A1B1C1. 因为 =(0,1,1), 1 =(2,0,0),所以 1 =0,即MNAA1. 因为MN平面A1B1C1,故MN平面A1B1C1. (2)设平面MBC1与平面BB1C1C的法向量分别为n1=(x1,y1,z1),n2=(x2,y2,z2).因为
13、=(-1,2,0), 1 =(1,0,2), 所以 1 =0, 1 1 =0 1 2 1 =0, 1 +2 1 =0, 令x1=2,则n1=(2,1,-1). 同理可得n2=(0,1,1). 因为n1n2=20+11+(-1)1=0,所以平面MBC1平面BB1C1C.,考法2 求线面角,示例3 2018浙江,19,15分如图8-5-9,已知多面体ABCA1B1C1,A1A,B1B,C1C均垂直于平面ABC,ABC=120,A1A=4,C1C=1,AB=BC=B1B=2.图8-5-9 ()证明:AB1平面A1B1C1; ()求直线AC1与平面ABB1所成的角的正弦值.,思维导引 思路一 (1)运
14、用已知边长及勾股定理的逆定理证明线线垂直利用线面垂直的判定定理证明 (2)作辅助线,找出线面角解三角形求出边长运用公式法求解 思路二 建立空间直角坐标系根据已知条件求出点的坐标,进而求出直线的方向向量的坐标利用向量 法求解,解析 解法一 ()由AB=2,AA1=4,BB1=2,AA1AB,BB1AB得AB1=A1B1=2 2 ,所以A1 1 2 +A B 1 2 =A 1 2 , 故AB1A1B1. 由BC=2,BB1=2,CC1=1,BB1BC,CC1BC得B1C1= 5 , 由AB=BC=2,ABC=120得AC=2 3 , 由CC1AC,得AC1= 13 ,所以A 1 2 +B1 1 2
15、 =A 1 2 , 故AB1B1C1. 因此AB1平面A1B1C1. ()如图8-5-10,过点C1作C1DA1B1,交直线A1B1于点D,连接AD.,图8-5-10 由AB1平面A1B1C1得平面A1B1C1平面ABB1, 由C1DA1B1得C1D平面ABB1, 所以C1AD是AC1与平面ABB1所成的角. 由B1C1= 5 ,A1B1=2 2 ,A1C1= 21 得cosC1A1B1= 6 7 ,sinC1A1B1= 1 7 , 所以C1D= 3 ,故sinC1AD= 1 1 = 39 13,因此,直线AC1与平面ABB1所成的角的正弦值是 39 13 . 解法二 ()如图8-5-11,以
16、AC的中点O为原点,分别以射线OB,OC为x轴,y轴的正半轴,建立空间直角坐标系O-xyz.图8-5-11 由题意知各点坐标如下:A(0,- 3 ,0),B(1,0,0), A1(0,- 3 ,4),B1(1,0,2),C1(0, 3 ,1).,因此 1 =(1, 3 ,2), 11 =(1, ,-2), 11 =(0,2,-3). 由 1 11 =0得AB1A1B1. 由 1 1C1 =0得AB1A1C1. 所以AB1平面A1B1C1. ()设直线AC1与平面ABB1所成的角为. 由()可知 1 =(0,2,1), =(1, 3 ,0), 1 =(0,0,2).设平面ABB1的法向量n=(x
17、,y,z). 由 =0, 1 =0 得 + 3 =0, 2=0, 可取n=(- 3 ,1,0).,所以sin =|cos|= |1 n| | 1 |n| = 39 13 . 因此,直线AC1与平面ABB1所成的角的正弦值是 39 13 .,拓展变式2 2018武汉市高三模拟如图8-5-12,在多面体ABCDEF中,四边形ABCD是菱形,EFAC,EF=1,ABC=60,CE平面ABCD,CE=,CD=2,G是DE的中点. (1)求证:平面ACG平面BEF; (2)求直线AD与平面ABF所成角的正弦值.,图8-5-12,解析 2.(1)如图D 8-5-6,连接BD交AC于O,易知O是BD的中点,
18、连接OG,故OGBE, 又BE平面BEF,OG平面BEF,所以OG平面BEF. 又EFAC,AC平面BEF,故AC平面BEF,又AC与OG相交于点O,平面ACG内有两条相交直线与平面BEF平行,故平面ACG平面BEF.图D 8-5-6 图D 8-5-7,(2)如图D 8-5-7,连接OF,因为四边形ABCD为菱形,ABC=60,CD=2,所以OC=OA=1,故OC=EF,又EFAC,所以四边形OCEF为平行四边形,OFEC,又CE平面ABCD,所以OF平面ABCD.以O为坐标原点,分别以直线OC,OD,OF为x轴,y轴,z轴建立空间直角坐标系,则A(-1,0,0),B(0,- 3 ,0),D(
19、0, 3 ,0),F(0,0, 3 ), =(1, 3 ,0), =(1,- 3 ,0), =(1,0, 3 ), 设平面ABF的法向量为m=(a,b,c), 依题意有 , , 即 (,)(1, 3 ,0)= 3 =0, (,)(1,0, 3 )=+ 3 =0, 令a= 3 ,则b=1,c=-1,所以m=( 3 ,1,-1),cos= 3 + 3 4 3+1+1 = 15 5 , 所以直线AD与平面ABF所成角的正弦值是 15 5 .,考法3 求二面角,示例4 已知三棱锥P-ABC的所有顶点都在表面积为16的球O的球面上,AC为球O的直径.当三棱锥P-ABC的体积最大时,设二面角P-AB-C的
20、大小为,则sin =A. 2 3 B. 5 3 C. 6 3 D. 7 3,解析 设球的半径为R,由4R2=16,得R=2,设点P到平面ABC的距离为d,则0d2.因为AC为球O的直径,所以AB2+BC2=AC2=16. VP-ABC= 1 6 ABBCd 1 6 B 2 + 2 2 2= 8 3 ,当且仅当AB=BC=2 2 ,d=2时,VP-ABC取得最大值,此时平面PAC平面ABC.如图8-5-13,过点P作PDAB于点D,连接OD,图8-5-13,易知PO平面ABC,所以POAB,又POPD=P,所以AB平面POD,则ABOD,所以PDO为二面角P-AB-C的平面角.又OD= 1 2
21、BC= 2 , PD= 2 + 2 =,所以sin =sinPDO= = 6 3 ,故选C. 答案 C,示例5 2018全国卷,20,12分理如图8-5-14,在三棱锥P-ABC中,AB=BC=2 2 ,PA=PB=PC=AC=4,O为AC的中点.图8-5-14 (1)证明:PO平面ABC; (2)若点M在棱BC上,且二面角M-PA-C为30,求PC与平面PAM所成角的正弦值.,思维导引 (1)首先利用等腰三角形的性质可得POAC,利用勾股定理证明POOB,然后结合线面垂直的判定定理可证得结果; (2)根据(1)中的垂直关系建立空间直角坐标系,设出点M(含有参数)的坐标,根据已知条件求得此参数
22、,然后求解即可.,解析 (1)因为AP=CP=AC=4,O为AC的中点, 所以OPAC,且OP=2 3 .(等边三角形的性质) 连接OB.因为AB=BC= 2 2 AC,所以ABC为等腰直角三角形,且OBAC,OB= 1 2 AC=2.(等腰直角三角形的性质) 由OP2+OB2=PB2知POOB.(勾股定理的逆定理) 由OPOB,OPAC,OBAC=O,知PO平面ABC.(线面垂直的判定定理),(2)如图8-5-15,以O为坐标原点,以 , , 的方向为x轴,y轴,z轴的正方向,建立空间直角坐标系O-xyz. (建系)图8-5-15 由已知得O(0,0,0),B(2,0,0),A(0,-2,0
23、),C(0,2,0),P(0,0,2 3 ), =(0,2,2 3 ).取平面PAC的一个法向量 =(2,0,0). 设M(a,2-a,0)(0a2),则 =(a,4-a,0).(定坐标),设平面PAM的法向量为n=(x,y,z). 由 n=0, n=0得 可取n=( 3 (a-4), 3 a,-a), 所以cos= .(计算向量夹角余弦值) 由已知可得|cos|= 3 2 ,(二面角M-PA-C为30) 所以 = 3 2 ,解得a=-4(舍去)或a= 4 3 , 所以n=(- 8 3 3 , 4 3 3 ,- 4 3 ).(向量运算),又 =(0,2,-2 3 ),所以cos= 3 4 .
24、所以PC与平面PAM所成角的正弦值为 3 4 .(得线面角的正弦值),方法总结 求二面角的方法 (1)定义法:在二面角的棱上找一特殊点,过该点在两个半平面内分别作垂直于棱的射线,如图8-5-16(1),AOB为二面角-l-的平面角; (2)垂面法:过棱上一点作棱的垂直平面,该平面与二面角的两个半平面的交线所形成的角即二面角的平面角,如图 8-5-16(2), AOB为二面角-l-的平面角; (3)垂线法(三垂线定理法):过二面角的一个半平面内一点作另一个半平面所在平面的垂线,从垂足出发向棱引垂线,利用三垂线定理(线面垂直的性质)即可找到所求二面角的平面角或其补角,如图8-5-16(3),AOB
25、为,二面角-l-的平面角;图8-5-16 (4)利用射影面积公式:cos = S射 S原 ,该法主要用来解决无棱二面角大小的计算,应用关键在于找出其中一个半平面内的多边形在另一个半平面内的射影;,(5)向量法:利用公式cos= 12 1 |2| (n1,n2分别为两平面的法向量)进行求解,注意与二面角大小的关系是相等还是互补,需结合图形进行判断. 如图8-5-17(2)(4)中就是二面角-l-的平面角的补角;如图8-5-17(1)(3)中就是二面角-l-的平面角.图8-5-17,拓展变式3 如图8-5-18,在矩形ABCD中,AB=2,AD=3,点E为AD的中点,现分别沿BE,CE将ABE,D
26、CE翻折,使得点A,D重合于点F,此时二面角E-BC-F的余弦值为( )图8-5-18 A. 7 21 B. 7 4 C. 3 2 D. 3 4,解析 3.B 如图D 8-5-8所示,取BC的中点P,连接EP,FP,图D 8-5-8 由题意得BF=CF=2,PFBC,又EB=EC,EPBC,EPF为二面角E-BC-F的平面角,又FP= 2 ( 1 2 ) 2 = 7 2 , 在EPF中,cosEPF= 2 + 2 2 2 = 4+ 7 4 9 4 22 7 2 = 7 4 .,拓展变式4 2019惠州市一调如图8-5-19,直四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面是菱形,侧面是正方形,DAB=
27、60,E是棱CB的延长线上一点,经过点A,C1,E的平面交棱BB1于点F,B1F=2BF. (1)求证:平面AC1E平面BCC1B1; (2)求二面角E-AC1-C的余弦值.图8-5-19,解析 4.(1)设四棱柱ABCD-A1B1C1D1的棱长为a, B1F=2BF,B1C1FBEF,BE= 2 . 由DAB=60=ABE,得ABC=120,由余弦定理得AE= 3 2 ,AC= 3 a. CE=BE+BC= 3 2 ,AE2+CE2=AC2,AECE. 又ABCD-A1B1C1D1是直四棱柱,C1C平面ABCD. 又AE平面ABCD,C1CAE. CECC1=C,AE平面BCC1B1. AE
28、平面AC1E,平面AC1E平面BCC1B1.,(2)解法一 如图D 8-5-9,过C作CGAC1于G,CHC1F于H,连接GH.图D 8-5-9 由平面AC1E平面BCC1B1,平面AC1E平面BCC1B1=C1E, 得CH平面AC1E. CHAC1,又CGAC1,CGCH=C,AC1平面CGH, AC1GH,CGH是二面角E-AC1-C的平面角. 在RtACC1中,AC= 3 a,CC1=a,AC1=2a,CG= 3 2 a,在RtECC1,中,CE= 3 2 a,CC1=a,EC1= 13 2 a,CH= 3 13 13 a, GH= 2 2 = 39 26 a,cosCGH= = 13
29、13 ,二面角E-AC1-C的余弦值为 13 13 . 解法二 如图D 8-5-10,以E为坐标原点,EC,EA所在直线分别为x轴,y轴,平行于BB1的直线为z轴建立空间直角坐标系,则E(0,0,0),A(0, 3 2 a,0),C1( 3 2 a,0,a).,图D 8-5-10,设平面EAC1的法向量为n=(p,q,r),则 = 3 2 q=0, C 1 = 3 2 +r=0, 即 =0, 3+2=0, 不妨取n=(-2,0,3). 由(1)知B( 1 2 a,0,0),D(a, 3 2 a,0),平面AC1C的一个法向量为n1= =( 1 2 a, 3 2 a,0). 设二面角E-AC1-
30、C的平面角为,则|cos |= | n| | |n| = 13 13 , 由图知为锐角,二面角E-AC1-C的余弦值为 13 13 .,考法4 求空间距离,示例6 2018福建泉州质检如图8-5-20,四棱锥P-ABCD中,ABCD,AB= 1 2 CD=1,E为PC的中点. (1)证明:BE平面PAD; (2)若AB平面PBC,PBC是边长为2的正三角形,求点E到平面PAD的距离.图8-5-20,解析 (1)如图8-5-21,取PD的中点F,连接AF,EF,图8-5-21 因为E为PC的中点,F为PD的中点, 所以EFCD,且EF= 1 2 CD. 又ABCD,且AB= 1 2 CD,所以E
31、FAB,且EF=AB,故四边形ABEF为平行四边形,所以BEAF. 又BE平面PAD,AF平面PAD,所以BE平面PAD. (2)解法一 (间接法)由(1)得BE平面PAD, 故点B到平面PAD的距离等于点E到平面PAD的距离,(根据线面平行进行转化) 如图8-5-22,取BC的中点G,连接PG,DG,BD,易知PGBC.图8-5-22,又PBC是边长为2的正三角形, 所以PG= 3 ,PB=BC=2. 因为AB平面PBC,AB平面ABCD,所以平面ABCD平面PBC. 因为平面ABCD平面PBC=BC, 所以PG平面ABCD,所以PGGD. 因为AB平面PBC,所以ABBC,ABPB, 所以
32、四边形ABCD是直角梯形,且AB=1,BC=2,CD=2, 则AD= 5 ,SABD= 1 2 12=1. 因为ABPB,AB=1,PB=2,所以PA= 5 .,在RtPGD中,易知DG= 5 ,又PG= 3 ,所以PD=2 2 , 所以SAPD= 1 2 2 2 5 2 2 2 = 6 . 设点B到平面PAD的距离为h, 因为三棱锥P-ABD的体积V= 1 3 SAPDh= 1 3 SABDPG,(等体积变换) 所以h= SABDPG SAPD = 2 2 . 所以点E到平面PAD的距离为 2 2 .,解法二 (向量法)如图8-5-23,取BC的中点O,AD的中点M,连接OP,OM,图8-5
33、-23 则OMABCD. 在等边PBC中,PO= 3 ,OPBC. 又AB平面PBC,所以OM平面PBC. 如图8-5-23,以O为坐标原点,分别以射线OC,OM,OP的方向为x轴,y轴,z轴,的正方向建立空间直角坐标系,则P(0,0, 3 ),A(-1,1,0),D(1,2,0),C(1,0,0),故E( 1 2 ,0, 3 2 ).(建系,求点的坐标) 所以 =(2,1,0), =(-1,1,- 3 ), =( 1 2 ,0, 3 2 ). 设平面PAD的法向量为n=(x,y,z), 则 =0, =0, 即 2+=0 , + 3 =0.,令x=1,则y=-2,z=- 3 ,故n=(1,-2
34、,- 3 )为平面PAD的一个法向量.(赋值法求法向量) 所以点E到平面PAD的距离d=| |= 2 2 .(距离公式),方法总结 1.空间距离,2.求空间距离常用的方法 (1)直接法:利用线线垂直、线面垂直、面面垂直等性质定理与判定定理,作出垂线段,再通过解三角形求出距离. (2)间接法:利用等体积法、特殊值法等转化求解. (3)向量法:空间中的距离问题一般都可转化为点到平面的距离问题进行求解. 求点P到平面的距离的三个步骤: 在平面内取一点A,确定向量 的坐标; 确定平面的法向量n; 代入公式d= | | | 求解.,拓展变式5 2019湖北部分重点中学高三测试如图8-5-24,在四棱锥S
35、-ABCD中,底面ABCD是正方形,SA底面ABCD,SA=AB=2,点M是SD的中点,ANSC,且交SC于点N. (1)求证:SB平面ACM; (2)求点C到平面AMN的距离图8-5-24,解析 5.(1)连接BD交AC于E,连接ME. 四边形ABCD是正方形,E是BD的中点.M是SD的中点, ME是DSB的中位线,MESB. 又ME平面ACM,SB平面ACM,SB平面ACM. (2)由条件知DCSA,DCDA,DC平面SAD,AMDC. 又SA=AD,M是SD的中点,AMSD. AM平面SDC,SCAM. 又SCAN,SC平面AMN. CN平面AMN,则CN为点C到平面AMN的距离.,在RtSAC中,SA=2,AC=2 2 ,SC= 2 + 2 =2 3 , AC2=CNSC,解得CN= 4 3 3 ,点C到平面AMN的距离为 4 3 3 .【规律总结】 (1)证明线面平行,一般利用线面平行的判定定理,即从线线平行出发给予证明,而线线平行的寻找往往需要利用平面几何知识;(2)求点到平面的距离,关键是探求直线与平面垂直,而线面垂直的证明,一般利用线面垂直的判定定理,即从线线垂直出发给予证明,而线线垂直的寻找与论证,往往从两个方面进行,一是利用线面垂直的性质定理,将垂直条件进行转化,二是利用平面几何知识.,
