1、第三讲 离散型随机变量及其分布列、均值与方差,【理科数学】第十二章：概 率,考情精解读,A考点帮知识全通关,目录 CONTENTS,命题规律,聚焦核心素养,考点1 离散型随机变量的分布列 考点2 常见的离散型随机变量的概率分布模型 考点3 离散型随机变量的均值与方差,考法1 求离散型随机变量的分布列、期望与方差 考法2 超几何分布的求解 考法3 利用期望与方差进行决策,B考法帮题型全突破,考情精解读,命题规律 聚焦核心素养,命题规律,1.命题分析预测 本讲常以实际问题为背景,考查离散型随机变量的分布列、均值和方差,主要以解答题的形式呈现,解题时要熟悉相关公式的应用. 2.学科核心素养 本讲通过
2、实际问题中离散型随机变量的分布列、均值与方差考查考生的数据分析、数学运算素养.,聚焦核心素养,A考点帮知识全通关,考点1 离散型随机变量的分布列 考点2 常见的离散型随机变量的概率分 布模型 考点3 离散型随机变量的均值与方差,考点1 离散型随机变量的分布列（重点）,1.离散型随机变量的分布列 (1)随着试验结果变化而变化的变量叫作随机变量.所有取值可以一一列出的随机变量叫作离散型随机变量. (2)一般地,若离散型随机变量X可能取的不同值为x1,x2,xi,xn,X取每一个值xi(i=1,2,n)的概率P(X=xi)=pi,以表格形式表示如下:,2.离散型随机变量的分布列的性质 (1)pi0,
3、i=1,2,n; (2)p1+p2+pi+pn=1; (3)P(xixxj)=Pi+Pi+1+Pj(ij且i,jN*). 说明 分布列的性质(2)的作用:可以用来检查所写出的分布列是否有误,还可以用来求分布列中的某些参数.,理科数学 第十二章：概率,则上表称为离散型随机变量X的概率分布列,简称为X的分布列.为了简单起见,也可以用等式P(X=xi)=pi,i=1,2,n表示X的分布列.,考点2 常见的离散型随机变量的概率分布模型（重点）,1.两点分布 若随机变量X的分布列为,，其中0p1,则称X服从两点分布. 说明 (1)两点分布的实验结果只有两种可能,且其概率之和为1; (2)两点分布又称01
4、分布,其应用十分广泛.,为超几何分布列,如果随机变量X的分布列为超几何分布列,则称随机变量X服从超几何分布，记作XH(N,M,n).,理科数学 第十二章：概率,2.超几何分布 一般地,在含有M件次品的N件产品中,任取n件,其中恰有X件次品,则 P(X=k)= C C C ,k=0,1,2,m, 其中m=minM,n,且nN,MN,n,M,NN*,称分布列,考点3 离散型随机变量的均值与方差（重点）,1.离散型随机变量的均值与方差 一般地,若离散型随机变量X的概率分布列为,则称E(X)=x1p1+x2p2+xipi+xnpn为随机变量X的均值或数学期望.它反映了离散型随机变量取值的平均水平. 称
5、D(X)= =1 xi-E(X)2pi为随机变量X的方差,它刻画了随机变量X与其均值E(X)的平均偏离程度,其算术平方根 () 为随机变量X的标准差.,2.均值与方差的性质 若Y=aX+b,其中a,b是常数,X是随机变量,则 (1)E(k)=k,D(k)=0,其中k为常数; (2)E(aX+b)=aE(X)+b,D(aX+b)= a2D(X); (3)E(X1+X2)=E(X1)+E(X2); (4)D(X)=E(X2)-(E(X)2 ; (5)若X1,X2相互独立,则E(X1X2)=E(X1)E(X2); (6)若X服从两点分布,则E(X)=p,D(X)=p(1-p); (7)若X服从二项分
6、布,即XB(n,p),则E(X)=np,D(X)=np(1-p). (8)若X服从超几何分布,即XH(N,M,n),则E(X)= ,D(X)= .,理科数学 第十二章：概率,B考法帮题型全突破,考法1 求离散型随机变量的分布列、期望与方差 考法2 超几何分布的求解 考法3 利用期望与方差进行决策,考法1 求离散型随机变量的分布列、期望与方差,示例1 2019辽宁五校联考某商场销售某种品牌的空调,每周周初购进一定数量的空调,商场每销售一台空调可获利500元,若供大于求,则多余的每台空调需交保管费100元;若供不应求,则可从其他商店调剂供应,此时每台空调仅获利200元. (1)若该商场周初购进20
7、台空调,求当周的利润(单位:元)关于当周需求量n(单位:台,nN)的函数解析式f(n); (2)该商场记录了去年夏天(共10周)空调需求量n(单位:台),整理得下表:,理科数学 第十三章：概率,以10周记录的各需求量的频率作为各需求量发生的概率,若商场周初购进20台空调,X表示当周的利润(单位:元),求X的分布列及数学期望.,思维导引 (1)根据每周销量,以20台为分界点,列出分段函数解析式.(2)分别求出当周的利润X取各个值时的概率,即可写出X的分布列,再利用期望的定义,即可求X的数学期望.,理科数学 第十二章：概率,解析 (1)当n20时,f(n)=50020+200(n-20)=200n
8、+6 000; 当n19时,f(n)=500n-100(20-n)=600n-2 000, f(n)= (nN).,(2)由(1)得f(18)=8 800,f(19)=9 400, f(20)=10 000,f(21)=10 200,f(22)=10 400, P(X=8 800)=0.1,P(X=9 400)=0.2,P(X=10 000)=0.3,P(X=10 200)=0.3,P(X=10 400)=0.1, X的分布列为,考法1 求离散型随机变量的分布列、期望与方差,(注意检验概率和是否为1) E(X)=8 8000.1+9 4000.2+10 0000.3+10 2000.3+10
9、4000.1=9 860. (利用数学期望的定义求解),答题模板 1.求离散型随机变量X的分布列的步骤 (1)理解X的意义,写出X可能取的全部值; (2)求X取每个值的概率; (3)写出X的分布列; (4)根据分布列的性质对结果进行检验. 2.期望与方差的一般计算步骤 (1)理解X的意义,写出X的所有可能取的值; (2)求X取各个值的概率,写出分布列; (3)根据分布列,正确运用期望与方差的定义或公式进行计算.,理科数学 第十二章：概率,拓展变式1 2018郑州市第三次质量预测随着经济模式的改变,微商和电商已成为当今城乡一种新型的购销平台.已知经销某种商品的电商在任何一个销售季度内,每售出1吨
10、该商品可获利0.5万元,未售出的商品,每1吨亏损0.3万元.根据往年的销售经验,得到一个销售季度内市场需求量的频率分布直方图如图所示.已知电商为下一个销售季度筹备了130吨该商品,现以x(单位:吨,100x150)表示下一个销售季度的市场需求量,T(单位:万元)表示该电商下一个销售季度内经销该商品获得的利润.,理科数学 第十二章：概率,理科数学 第十二章：概率,(1)视x分布在各区间内的频率为相应的概率,求P(x120); (2)将T表示为x的函数,求出该函数表达式; (3)在频率分布直方图的市场需求量分组中,以各组的区间中点值(组中值)代表该组的各个值,并以市场需求量落入该区间的频率作为市场
11、需求量取该组中值的概率(例如x100,110),则取x=105,且x=105的概率等于市场需求量落入100,110)的频率),求T的分布列及数学期望E(T).,理科数学 第十二章：概率,(1)视x分布在各区间内的频率为相应的概率,求P(x120); (2)将T表示为x的函数,求出该函数表达式; (3)在频率分布直方图的市场需求量分组中,以各组的区间中点值(组中值)代表该组的各个值,并以市场需求量落入该区间的频率作为市场需求量取该组中值的概率(例如x100,110),则取x=105,且x=105的概率等于市场需求量落入100,110)的频率),求T的分布列及数学期望E(T).,理科数学 第十二章
12、：概率,解析 1.(1)根据频率分布直方图及两两互斥事件概率的可加性得 P(x120)=P(120x130)+P(130x140)+P(140x150) =0.03010+0.02510+0.01510 =0.7. (2)当x100,130)时,T=0.5x-0.3(130-x)=0.8x-39; 当x130,150时,T=0.5130=65. 所以T=,理科数学 第十二章：概率,(3)由题意及(2)可得: 当x100,110)时,T=0.8105-39=45, P(T=45)=0.01010=0.1; 当x110,120)时,T=0.8115-39=53, P(T=53)=0.02010=0
13、.2; 当x120,130)时,T=0.8125-39=61, P(T=61)=0.03010=0.3; 当x130,150时,T=65,P(T=65)=(0.025+0.015)10=0.4. 所以T的分布列为,所以E(T)=450.1+530.2+610.3+650.4=59.4(万元).,考法2 超几何分布的求解,示例2 2018天津,16,13分理已知某单位甲、乙、丙三个部门的员工人数分别为24,16,16.现采用分层抽样的方法从中抽取7人,进行睡眠时间的调查. ()应从甲、乙、丙三个部门的员工中分别抽取多少人? ()若抽出的7人中有4人睡眠不足,3人睡眠充足,现从这7人中随机抽取3人
14、作进一步的身体检查. (i)用X表示抽取的3人中睡眠不足的员工人数,求随机变量X的分布列与数学期望; (ii)设A为事件“抽取的3人中,既有睡眠充足的员工,也有睡眠不足的员工”,求事件A发生的概率. 思维导引 ()先求出三个部门的人数之比,然后利用分层抽样的定义求出应抽取三个部门的员工人数;()(i)先根据超几何分布的定义列出X的分布列,然后求其数学期望;(ii)先将“既有睡眠充足的员工,也有睡眠不足的员工”分解为简单互斥事件的和,然后结合(i)求其概率值.,理科数学 第十二章：概率,解析 ()由已知,甲、乙、丙三个部门的员工人数之比为322,由于采用分层抽样的方法从中抽取7人,因此应从甲、乙
15、、丙三个部门的员工中分别抽取3人,2人,2人. ()(i)随机变量X的所有可能取值为0,1,2,3. P(X=k)= (k=0,1,2,3). 所以,随机变量X的分布列为,理科数学 第十二章：概率,解法一 随机变量X的数学期望E(X)=0 +1 +2 +3 = . 解法二 因为随机变量X服从超几何分布H(7,4,3), 所以E(X)= = . (ii)设事件B为“抽取的3人中,睡眠充足的员工有1人,睡眠不足的员工有2人”;事件C为“抽取的3人中,睡眠充足的员工有2人,睡眠不足的员工有1人”,则A=BC,且B与C互斥.由(i)知,P(B)=P(X=2),P(C)=P(X=1),故P(A)=P(B
16、C)=P(X=2)+P(X=1)= . 所以,事件A发生的概率为 .,理科数学 第十三章：概率,方法总结 1.超几何分布的特点和应用条件 (1)超几何分布的两个特点:超几何分布是不放回抽样问题;随机变量表示抽到的某类个体的个数. (2)超几何分布的应用条件:两类不同的对象(物品、人或事);已知各类对象的个数;从中抽取若干个个体. 2.求超几何分布的分布列的步骤 第一步,验证随机变量服从超几何分布,即XH(N,M,n),并确定参数N,M,n的值; 第二步,根据超几何分布的概率计算公式计算出随机变量取每一个值时的概率; 第三步,用表格的形式列出分布列. 3.求超几何分布的均值与方差的方法 (1)列
17、出随机变量X的分布列,利用均值与方差的计算公式直接求解; (2)利用公式E(X)= ,D(X)= 求解.,理科数学 第十二章：概率,拓展变式2 2019湖北部分重点中学测试为了研究学生的数学核心素养与抽象能力(指标x)、推理能力(指标y)、建模能力(指标z)的相关性,将它们各自量化为1,2,3三个等级,再用综合指标w=x+y+z的值评定学生的数学核心素养,若w7,则数学核心素养为一级;若5w6,则数学核心素养为二级;若3w4,则数学核心素养为三级.为了了解某校学生的数学核心素养,调查人员随机访问了某校10名学生,得到如下数据:,理科数学 第十二章：概率,(1)从这10名学生中任取2人,求这2人
18、的建模能力指标相同条件下综合指标值也相同的概率; (2)从这10名学生中任取3人,其中数学核心素养等级是一级的学生人数记为X,求随机变量X的分布列及数学期望.,理科数学 第十二章：概率,由题意可知,数学核心素养为三级的学生是A9;数学核心素养为二级的学生是A4,A7,A10;数学核心素养为一级的学生是A1,A2,A3,A5,A6,A8. 记“所取的2人的建模能力指标相同”为事件A,记“所取的2人的综合指标值相同”为事件B,则P(B|A)= = = = .,理科数学 第十二章：概率,(2)由题意可知,数学核心素养为一级的学生为A1,A2,A3,A5,A6,A8,非一级的学生为余下4人, X的所有
19、可能取值为0,1,2,3.,随机变量X的分布列为,.,考法3 利用期望与方差进行决策,示例3 2016全国卷,19,12分理某公司计划购买2台机器,该种机器使用三年后即被淘汰.机器有一易损零件,在购进机器时,可以额外购买这种零件作为备件,每个200元.在机器使用期间,如果备件不足再购买,则每个500元.现需决策在购买机器时应同时购买几个易损零件,为此搜集并整理了100台这种机器在三年使用期内更换的易损零件数,得如图所示柱状图:,理科数学 第十三章：概率,以这100台机器更换的易损零件数的频率代替1台机器更换的易损零件数发生的概率,记X表示2台机器三年内共需更换的易损零件数,n表示购买2台机器的
20、同时购买的易损零件数. ()求X的分布列; ()若要求P(Xn)0.5,确定n的最小值; ()以购买易损零件所需费用的期望值为决策依据,在n=19与n=20之中选其一,应选用哪个?,理科数学 第十三章：概率,思维导引 ()由柱状图得频率,分别求出随机变量每个取值所对应的概率,进而可得分布列;()由()即可求解n的最小值;()分别求解n=19与n=20时购买易损零件所需费用的期望值,再比较选择哪一个较好.,解析 ()由柱状图并以频率代替概率可得,1台机器在三年内需更换的易损零件数为8,9,10,11的概率分别为0.2,0.4,0.2,0.2,从而 P(X=16)=0.20.2=0.04; P(X
21、=17)=20.20.4=0.16; P(X=18)=20.20.2+0.40.4=0.24;,P(X=19)=20.20.2+20.40.2=0.24; P(X=20)=20.20.4+0.20.2=0.2; P(X=21)=20.20.2=0.08; P(X=22)=0.20.2=0.04. 所以X的分布列为,理科数学 第十二章：概率,()由()知P(X18)=0.44,P(X19)=0.68,故n的最小值为19.,理科数学 第十二章：概率,()记Y表示2台机器在购买易损零件上所需的费用(单位:元). 当n=19时, E(Y)=192000.68+(19200+500)0.2+(19200
22、+2500)0.08+ (19200+3500)0.04=4 040. 当n=20时, E(Y)=202000.88+(20200+500)0.08+(20200+2500)0.04=4 080. 可知当n=19时所需费用的期望值小于当n=20时所需费用的期望值,故应选n=19.,技巧点拨 利用期望与方差进行决策的依据随机变量的均值反映了随机变量取值的平均水平,方差反映了随机变量稳定于均值的程度,它们从整体和全局上刻画了随机变量,是生产实际中用于方案取舍的重要理论依据.一般先比较均值,若均值相同,再用方差来决定.,理科数学 第十三章：概率,拓展变式3 2018福建省师大附中5月适应性训练某快递
23、公司收取快递费用的标准是:首重(小于等于1 kg)10元/kg,续重5元/kg(不足1 kg的按1 kg计算).该公司对近60天中每天揽件数量统计如下表.,(1)某人打算将A(0.3 kg),B(1.8 kg),C(1.5 kg)三件礼物随机分成两个包裹寄出,求该人支付的快递费不超过30元的概率; (2)该公司从收取的每件快递的费用中抽取5元作为前台工作人员的工资和公司利润,剩余的作为其他费用.前台工作人员每人每天揽件不超过150件,工资100元,目前前台有工作人员3人,那么公司将前台工作人员裁员1人对提高公司利润是否更有利?,理科数学 第十二章：概率,解析 (1)由题意知,所有可能出现的情况如下表.,所有情况中,快递费不超过30元的情况有1种,根据古典概型概率计算公式,得所求概率为 .,.,理科数学 第十二章：概率,(2)根据题意得下表.,理科数学 第十二章：概率,若不裁员,则每天可揽件的上限为450件,公司每日揽件数情况如下表.,理科数学 第十二章：概率,故公司每日利润的期望值为2605-3100=1 000(元). 若裁员1人,则每天可揽件的上限为300件,公司每日揽件数情况如下表.,故公司每日利润的期望值为2355-2100=975(元). 因为9751 000, 所以公司将前台工作人员裁员1人对提高公司利润不利.,
