1、例1：已知 p、a、b、EA，用有限元计算两端反力。（重解绪论中的例1）解：1、划分单元，给节点编号：共分两个单元，3个节点。 2、单元分析 = uuXX aEA 2121 11 11 = 32 32 11 11 uubEAXX单元：单元： )( 211 uuaEAXXA =)()( 321222 uuuuXX bEAaEAp +=+=)( 233 uuXX bEAB =（注：位移是连续的，所以无上标，不用标哪个单元。） 3、整体分析（分析每个节点的平衡问题）（也可用对号入座法）2节点：3节点：1节点：用节点位移表示的平衡方程的矩阵形式为 += uuubEAbEA bEAbEAaEAaEA a
2、EAaEAXpXBA32100KF=称整体刚度方程或简写为F K式中：、分别为节点载荷和节点位移的列阵整体刚度矩阵，它是对称矩阵节点力和节点载荷不要混淆，节点力是内力，节点载荷是外力 4、引入边界条件：0,0 31 = uuubEAp 2)aEA( += pbaEAabu )(2 +=u2 pbaapbab XX BA +=+= ,，解得 把代入整体刚度方程中，解得（负号为与假设方向相反）节点载荷符号规定：与坐标轴方向一致为正练习1： 已知：p、a、，求、两处的节点位移。解：解法1：用材料力学求解 (拉)EApaEApaEApauC =2022 = EAapEApauD解法2：用有限元法计算1
3、）划分单元，给节点编号（共分两个单元，个节点）（2）单元分析= 211211 11 11 uuaEAXX单元：单元：B)2()()(2 32132122212 uuuaEAuuaEAuuaEAXXp +=+=+=节点：2节点：（3）整体分析)( 2111 uuaEAXXB =)( 3223 uuaEAXp += = 321110 1210112uuuaEAppXB3节点： = 322322 11 11 uuaEAXX01 =u = 3211 122 uuaEApp =+=EApauuEApauu3232 22（4）引入边界条件：，划去一行一列，得，即EApau =2 03 =u EApauC
4、= 0=Du解得 即 ，练习2：已知：p、a、EA, 求A、B处的反力。解：方法1：按有限元法计算，略。 方法2：利用例题的结果并采用迭加法。6263652 ppaapaaXXX pApAA =+=6526362 ppaapaaXXX pBpBB =+=练习1：推导单元刚度矩阵 =jijiejeiejeivvYYMM eK注：v 、的正方向如图（a）。Y、M产生的v 、与图（a）一致为正，相反为负。jj YY jj vv 2 22 26 64 26 62 46 6 12 126 6 12 12eei iej je iie jji ii i l lMi ii iM l li i i i vY l
5、 l l l vYi i i il l l l = KlEIi =解：可用（）式，左端，右端，重新组装整理可得式中 例1. 已知：EI，m，a。求C点的转角及单元节点力。 解：方法1：（1）划分单元。给节点编号，共分2个单元，3个节点。（2）单元分析 单元：aEIi =式中 1 12 211 2 2222 26 64 26 62 46 6 12126 6 1212i ii i a aMi ii iM a ai i i i vY a a a a vYi i i ia a a a = aEIi = 式中 2 23 322 2 2332 26 64 26 62 46 6 12126 6 1212i
6、ii i a aMi ii iM a ai i i i vY a a a a vYi i i ia a a a = 单元：0,0,0,0,0,0 332211 = vvv（3）引入边界条件：代入2个单元的单元刚度方程中，得222122216642aiYaiYiM iM=232223226624aiYaiYiM iM=,44,0 ,0 2222 2222 iiMMmm YYYYYYYc cc +=+= =+=EImaim 882 =取节点2为研究对象，受力如图（b），列平衡方程解得 20,43,43,4,2 43,43,2,432322121 = =cYamYamYmMmMamYamYmMmM把
7、的值代入式，得 例2已知：EI，p，a。求C点的挠度、转角及B点的转角。解：方法1：有限元法。（节点分析平衡）（1）划分单元，给节点编号。, 22222 = vvvv 0,0,0311 = vv（2）单元分析：设2节点的挠度为v( 向下),则=212122222121121266 1212666642 6624vvl il ilili l il ililililiii liliiiYYMM =323222223232121266 1212666642 6624vvl il ilili l il ililililiii liliiiYYMM 1单元：2单元：（3）引入边界条件，得vaiaiYva
8、iaiYvaiiMvaiiM221222112122111261266462+=+=+=+=vaiaiaiYvaiaiaiYvaiiiMvaiiiM23223232223223322212661266642624+=+=+=+=（4）节点分析111 YY=111 MM=节点： vaiaiYYp 231222 246 = 322212 280 iiMM +=+=节点： 233 YY = ,023 =M 0642 32 =+ vaiii ,967,8,32 22322 EIpavEIpaEIpa = 节点：即 联立、，解得 把v, 32 代入式，得PY 1653 =方法：也可用材料力学方法求。1.
9、划分单元，给节点编号。（同方法。）2.单元分析=22114443424134333231242322211413121112121111vvaaaa aaaaaaaa aaaaMYMY=33224443424134333231242322211413121123232222vvbbbb bbbbbbbb bbbbMYMY方法3：有限元法（节点分析采用对号入座）3节点分析对号入座式)(00 0000 00321 3213322114443424134333231242322442143424114131244113332312423222114131211332211avvvbbbb bbbbb
10、bbabaaa bbbabaaaaaaa aaaaMYMYMY+ +=整体刚度矩阵44 66此法较烦。经常采用对号入座法，具体方法：把两个单元的单元刚度矩阵由阶扩大为贡献矩阵叠加就得到整体刚度矩阵，如（a）式。上面是利用平衡方程得到整体刚度方程和整体刚度矩阵。若节点较多，阶，并使其个各元素按整体刚度矩阵的次序排列，空白处用零填补。经过扩大的矩阵称为单元的贡献矩阵，把每一单元的0,0,0 311 = vv 311 vv、322 、v 4引入边界条件，划去所在的行和列，求出5求出节点反力内力应变应力练习：已知 m、EI、a、求支座反力。 写出整体刚度方程即可解：（）划分单元，给节点编号 （）单元分
11、析 =3311222233114626612612 26466126123131vviaiiai aiaiaiai iaiiaiaiaiaiaiMYMY =2233222222334626612612 26466126122323vviaiiai aiaiaiai iaiiaiaiaiaiaiMYMY(1)节点分析对号入座它不能直接入座+ +=3322222222233221100044662626661212612612 26460061261200 26004661200612321321viiaiaiiaiiai aiaiaiaiaiaiaiai iaiiaiaiaiaiaiiaiiai
12、 aiaiaiaiMYMYMY0,0,0,0,0 323211 = YMmMvv (1)引入边界条件：332 、v 332 、v211 YMY、由后三个方程可求得 ，然后把代入前三个方程，求得。22,vu0sin,1cos,0 = =0000 01010000 01010000 01010000 0101 1 iaEAK1iaEA=例：已知：p，l，EA。求：解：方法：）划分单元，给节点编号）单元分析单元：令IT = cossin00 sincos0000cossin 00sincosKTKTK = T单元：21sin,23cos,30 = o=0000 01010000 0101 lEAK=
13、 cossin00 sincos0000cossin 00sincosT21233223,ii lailEA= =，令 = = 2222222222sinsincossinsincos sincoscossincoscossinsincossinsincos sincoscossincoscoscossin00 sincos0000cossin 00sincos0sin0sin 0cos0cos0sin0sin 0cos0coscossin00 sincos0000cossin 00sincos0000 01010000 0101cossin00 sincos0000cossin 00sinc
14、osiilEAT TKTK=414341434343434341434143434343432i）对号入座，形成总刚+=0000414341430043434343004143410430004343430430000000 00003213212222222222222222221111332211vuiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiYXYXYXpYXvuvu = 223311 ,0,0,0,0,0）引入边界条件：划去、行和列，得 =+ =+ pviui viuii22222222141430)43()43(pivipu 2222 2 )833(,23 +=解得 由位移按单元刚度方程可求内力，由整体刚度方程可求外力。
