1、2019年4月5日星期五,1,第三章 微分中值定理与导数的应用,第一节、微分中值定理,2019年4月5日星期五,2,一、罗尔(Rolle)定理,例如,2019年4月5日星期五,3,几何解释:,2019年4月5日星期五,4,证,2019年4月5日星期五,5,2019年4月5日星期五,6,2019年4月5日星期五,7,注意:若罗尔定理的三个条件中有一个不满足,其结论可能不成立.,例如,又例如,2019年4月5日星期五,8,例1,证,由介值定理,即为方程的小于1的正实根.,矛盾,2019年4月5日星期五,9,例2,证,2019年4月5日星期五,10,例3,证,2019年4月5日星期五,11,二、拉格
2、朗日(Lagrange)中值定理,2019年4月5日星期五,12,几何解释:,证,分析:,弦AB方程为,2019年4月5日星期五,13,作辅助函数,拉格朗日中值公式,注意:拉氏公式精确地表达了函数在一个区间上的增量与函数在这区间内某点处的导数之间的关系.,2019年4月5日星期五,14,拉格朗日中值定理又称有限增量定理.,拉格朗日中值公式又称有限增量公式.,微分中值定理,推论,2019年4月5日星期五,15,例4,证,2019年4月5日星期五,16,其它常见的三角恒等式,2019年4月5日星期五,17,例5,证,由上式得,2019年4月5日星期五,18,例6,2019年4月5日星期五,19,三
3、、柯西(Cauchy)中值定理,2019年4月5日星期五,20,几何解释:,证,作辅助函数,2019年4月5日星期五,21,2019年4月5日星期五,22,例7,证,分析:,结论可变形为,2019年4月5日星期五,23,Rolle 定理,Lagrange 中值定理,Cauchy 中值定理,罗尔定理、拉格朗日中值定理及柯西中值定理之间的关系；,注意定理成立的条件；,注意利用中值定理证明等式与不等式的步骤.,四、小结,2019年4月5日星期五,24,第二节、洛必达法则,2019年4月5日星期五,25,定义,例如,2019年4月5日星期五,26,定理,注 这种在一定条件下通过分子分母分别求导再求极限
4、来确定未定式的值的方法称为洛必达法则.,2019年4月5日星期五,27,例1,解,例2,解,2019年4月5日星期五,28,例3,解,例4,解,2019年4月5日星期五,29,例5,解,2019年4月5日星期五,30,注意：洛必达法则是求未定式的一种有效方法，但与其它求极限方法结合使用，特别是等价无穷小的替换，效果更好.,例6,解,2019年4月5日星期五,31,例7,解,关键:将其它类型未定式化为洛必达法则可解决的类型 .,步骤:,2019年4月5日星期五,32,例8,解,步骤:,2019年4月5日星期五,33,步骤:,例9,解,2019年4月5日星期五,34,例10,解,例11,解,201
5、9年4月5日星期五,35,例12,解,2019年4月5日星期五,36,例13,解,极限不存在,洛必达法则失效。,注意：洛必达法则的使用条件,2019年4月5日星期五,37,三、小结,2019年4月5日星期五,38,思考题,2019年4月5日星期五,39,思考题解答,不一定,例,显然,极限不存在,但,极限存在,2019年4月5日星期五,40,第三节、泰勒公式,2019年4月5日星期五,41,一、问题的提出,（见下图）,2019年4月5日星期五,42,2019年4月5日星期五,43,不足:,问题:,1、精确度不高；,2、误差难估计.,2019年4月5日星期五,44,二、,分析:,2.若有相同的切线
6、,3.若弯曲方向相同,近似程度越来越好,1.若在 点相交,2019年4月5日星期五,45,2019年4月5日星期五,46,三、泰勒(Taylor)中值定理,2019年4月5日星期五,47,注意:,2019年4月5日星期五,48,麦克劳林(Maclaurin)公式,2019年4月5日星期五,49,四、简单的应用,解,代入公式,得,2019年4月5日星期五,50,由公式可知,估计误差,其误差,2019年4月5日星期五,51,常用函数的麦克劳林公式,2019年4月5日星期五,52,解,2019年4月5日星期五,53,第四节、函数单调性与曲线的凹凸性,2019年4月5日星期五,54,一、单调性的判别法
7、,定理,2019年4月5日星期五,55,证,应用拉氏定理,得,2019年4月5日星期五,56,例1,解,注意:函数的单调性是一个区间上的性质，要用导数在这一区间上的符号来判定，而不能用一点处的导数符号来判别一个区间上的单调性,2019年4月5日星期五,57,二、单调区间求法,问题:如上例，函数在定义区间上不是单调的，但在各个部分区间上单调,定义:若函数在其定义域的某个区间内是单调的，则该区间称为函数的单调区间.,导数等于零的点和不可导点，可能是单调区间的分界点,方法:,2019年4月5日星期五,58,例2,解,单调区间为,2019年4月5日星期五,59,例3,解,单调区间为,2019年4月5日
8、星期五,60,例4,证,注:区间内个别点导数为零,不影响区间的单调性.,例如,2019年4月5日星期五,61,这种方法的关键在于函数的最值为零，即使在整个区间上函数并不单调，问题也可能解决。如下例,2019年4月5日星期五,62,2019年4月5日星期五,63,三、小结,单调性的判别是拉格朗日中值定理定理的重要应用.,定理中的区间换成其它有限或无限区间，结论仍然成立.,应用：利用函数的单调性可以确定某些方程实根的个数和证明不等式.,2019年4月5日星期五,64,四、曲线凹凸的定义,问题:如何研究曲线的弯曲方向?,图形上任意弧段位 于所张弦的上方,图形上任意弧段位 于所张弦的下方,2019年4
9、月5日星期五,65,定义,2019年4月5日星期五,66,五、曲线凹凸的判定,定理1,2019年4月5日星期五,67,例1,解,注意到,2019年4月5日星期五,68,六、曲线的拐点及其求法,1.定义,注意:拐点处的切线必在拐点处穿过曲线.,2.拐点的求法,证,2019年4月5日星期五,69,方法1:,2019年4月5日星期五,70,例2,解,凹的,凸的,凹的,拐点,拐点,2019年4月5日星期五,71,2019年4月5日星期五,72,方法2:,例3,解,2019年4月5日星期五,73,注意:,2019年4月5日星期五,74,例4,解,2019年4月5日星期五,75,七、小结,曲线的弯曲方向凹
10、凸性;,改变弯曲方向的点拐点;,凹凸性的判定.,拐点的求法1, 2.,2019年4月5日星期五,76,思考题一,2019年4月5日星期五,77,思考题解答,例,2019年4月5日星期五,78,思考题二,2019年4月5日星期五,79,思考题解答,不能断定.,例,但,2019年4月5日星期五,80,当 时，,当 时，,注意 可以任意大，故在 点的任何邻域内， 都不单调递增,2019年4月5日星期五,81,第五节、函数的极值与最大值最小值,2019年4月5日星期五,82,一、函数极值的定义,2019年4月5日星期五,83,定义,函数的极大值与极小值统称为极值(局部最值）,使函数取得极值的点称为极值
11、点.,2019年4月5日星期五,84,二、函数极值的求法,定理1(必要条件),定义,由费马引理知，,例如,2019年4月5日星期五,85,定理2(第一充分条件),(是极值点情形),2019年4月5日星期五,86,求极值的步骤:,(不是极值点情形),2019年4月5日星期五,87,例1,解,列表讨论,极大值,极小值,2019年4月5日星期五,88,图形如下,2019年4月5日星期五,89,定理3(第二充分条件),证,2019年4月5日星期五,90,例2,解,图形如下,2019年4月5日星期五,91,注意:,2019年4月5日星期五,92,例3,解,注意:函数的不可导点,也可能是函数的极值点.,2
12、019年4月5日星期五,93,三、小结,极值是函数的局部性概念:极大值可能小于极小值,极小值可能大于极大值.,驻点和不可导点统称为临界点.,函数的极值必在临界点取得.,判别法,第一充分条件;,第二充分条件;,(注意使用条件),2019年4月5日星期五,94,四、最值的求法,2019年4月5日星期五,95,步骤:,1.求驻点和不可导点;,2.求区间端点及驻点和不可导点的函数值,比较大小,那个大那个就是最大值,那个小那个就是最小值;,注意:如果区间内只有一个极值,则这个极值就是最值.(最大值或最小值),2019年4月5日星期五,96,例1,解,计算,2019年4月5日星期五,97,比较得,2019
13、年4月5日星期五,98,例2,敌人乘汽车从河的北岸A处以1千米/分钟的速度向正北逃窜，同时我军摩托车从河的南岸B处向正东追击， 速度为2千米/分钟 问我军摩托车何 时射击最好（相 距最近射击最好）？,2019年4月5日星期五,99,解,(1)建立敌我相距函数关系,敌我相距函数,得唯一驻点,2019年4月5日星期五,100,实际问题求最值应注意:,(1)建立目标函数;,(2)求最值;,2019年4月5日星期五,101,例3,某房地产公司有50套公寓要出租，当租金定为每月180元时，公寓会全部租出去当租金每月增加10元时，就有一套公寓租不出去，而租出去的房子每月需花费20元的整修维护费试问房租定为
14、多少可获得最大收入？,解,设房租为每月 元，,租出去的房子有 套，,每月总收入为,2019年4月5日星期五,102,（唯一驻点）,故每月每套租金为350元时收入最高。,最大收入为,2019年4月5日星期五,103,五、小结,注意最值与极值的区别.,最值是整体概念而极值是局部概念.,实际问题求最值的步骤.,2019年4月5日星期五,104,第六节、函数图形的描绘,2019年4月5日星期五,105,一、渐近线,定义:,1.铅直渐近线,2019年4月5日星期五,106,例如,有铅直渐近线两条:,2019年4月5日星期五,107,2.水平渐近线,例如,有水平渐近线两条:,2019年4月5日星期五,10
15、8,二、函数图形的描绘,利用函数特性描绘函数图形.,第一步,第二步,2019年4月5日星期五,109,第三步,第四步,确定函数图形的水平、铅直渐近线、斜渐近线以及其他变化趋势;,第五步,2019年4月5日星期五,110,例2,解,非奇非偶函数,且无对称性.,2019年4月5日星期五,111,列表确定函数升降区间,凹凸区间及极值点和拐点:,不存在,拐点,极值点,间断点,2019年4月5日星期五,112,作图,2019年4月5日星期五,113,例3,解,偶函数, 图形关于y轴对称.,2019年4月5日星期五,114,拐点,极大值,列表确定函数升降区间,凹凸区间及极值点与拐点:,拐点,2019年4月
16、5日星期五,115,三、小结,函数图形的描绘综合运用函数性态的研究,是导数应用的综合考察.,最大值,最小值,极大值,极小值,拐点,凹的,凸的,单增,单减,2019年4月5日星期五,116,思考题,2019年4月5日星期五,117,思考题解答,2019年4月5日星期五,118,思考题,2019年4月5日星期五,119,思考题解答,结论不成立.,因为最值点不一定是内点.,例,在 有最小值，但,2019年4月5日星期五,120,下命题正确吗？,思考题,2019年4月5日星期五,121,思考题解答,不正确,例,2019年4月5日星期五,122,在1和1之间振荡,故命题不成立,2019年4月5日星期五,123,弧微分,规定：,2019年4月5日星期五,124,单调增函数,如图，,弧微分公式,
