1、1.3 不共线三点确定二次函数 的表达式,第1章 二次函数,导入新课,讲授新课,当堂练习,课堂小结,1.通过对用待定系数法求二次函数表达式的探究，掌握求二次函数表达式的方法；(重点) 2.会根据不同的条件，利用待定系数法求二次函数的表达式，在实际应用中体会二次函数作为一种数学模型的作用(难点),导入新课,复习引入,1.一次函数y=kx+b(k0)有几个待定系数？通常需要已知几个点的坐标求出它的表达式？,2个,2个,2.求一次函数表达式的方法是什么？它的一般步骤是什么？,待定系数法,(1)设：（表达式） (2)代：（坐标代入） (3)解：方程（组） (4)还原：（写表达式）,讲授新课,探究归纳,
2、问题1 （1）二次函数y=ax2+bx+c(a0)中有几个待定系数？需要几个抛物线上的点的坐标才能求出来？,3个,3个,（2）下面是我们用描点法画二次函数的图象所列表格的一部分，要求这个二次函数的表达式.,解： 设这个二次函数的表达式是y=ax2+bx+c,把（-3，0），（-1，0），（0，-3）代入y=ax2+bx+c得,选取（-3，0），（-1，0），（0，-3），试求出这个二次函数的表达式.,解得,所求的二次函数的表达式是y=-x2-4x-3.,待定系数法 步骤： 1.设： （表达式） 2.代： （坐标代入） 3.解： 方程（组） 4.还原： （写解析式）,这种已知三点求二次函数表达式
3、的方法叫做一般式法. 其步骤是： 设函数表达式为y=ax2+bx+c； 代入后得到一个三元一次方程组； 解方程组得到a,b,c的值； 把待定系数用数字换掉，写出函数表达式.,归纳总结,一般式法求二次函数表达式的方法,典例精析,例1 一个二次函数的图象经过 (0, 1)、(2,4)、(3,10)三点，求这个二次函数的表达式.,解： 设这个二次函数的表达式是y=ax2+bx+c,由于这个函数经过点(0, 1)，可得c=1.又由于其图象经过(2,4)、(3,10)两点，可得,解这个方程组，得,所求的二次函数的表达式是,例2已知三个点的坐标，是否有一个二次函数，它的图象经过这三个点？,（1） P（1，
4、-5）， Q（-1，3）， R（2，-3）； （2） P（1，-5）， Q（-1，3）， M（2，-9）.,解得 a=2，b=-4，c=-3.,因此，二次函数y=2x2-4x-3的图象经过P，Q，R 三点.,(2)设有二次函数y=ax2+bx+c的图象经过点P，Q，M 三点，则得到关于a，b，c的三元一次方程组：,a+b+c=-5， a-b+c=3， 4a+2b+c =-9，,解得 a=0，b=-4，c=-1.,因此，一次函数y=-4x-1的图象经过P，Q，M 三点. 这说明没有一个这样的二次函数，它的图象能经过P，Q，M三点.,问题：例2说明了什么？,若给定不共线三点的坐标，且它们的横坐标两
5、两不等，则可以确定唯一的一个二次函数，它的图象经过这三点. 二次函数y=ax2+bx+c的图象上任意三个不同的点都不在一条直线上.,选取顶点（-2，1）和点（1，-8），试求出这个二次函数的表达式.,解：设这个二次函数的表达式是y=a(x-h)2+k,把顶点（-2，1）代入y=a(x-h)2+k得,y=a(x+2)2+1，,再把点（1，-8）代入上式得,a(1+2)2+1=-8，,解得a=-1.,所求的二次函数的表达式是y=-(x+2)2+1或y=-x2-4x-3.,典例精析,例2 一个二次函数的图象经点 (0, 1)，它的顶点坐标为(8,9)，求这个二次函数的表达式.,解： 因为这个二次函数
6、的图象的顶点坐标为(8,9)，因此，可以设函数表达式为y=a(x-8)2+9.,又由于它的图象经过点(0 ,1)，可得 1=a(0-8)2+9. 解得,所求的二次函数的表达式是,归纳总结,顶点法求二次函数表达式的方法,这种已知抛物线的顶点坐标，求表达式的方法叫做顶点法.其步骤是： 设函数表达式是y=a(x-h)2+k； 先代入顶点坐标，得到关于a的一元一次方程； 将另一点的坐标代入原方程求出a值； a用数值换掉，写出函数表达式.,解： 因为（-3，0）（-1，0）是抛物线y=ax2+bx+c与x轴的交点.所以可设这个二次函数的表达式是y=a(x-x1)(x-x2).(其中x1、x2为交点的横坐
7、标) 因此得,y=a(x+3)(x+1).,选取（-3，0），（-1，0），（0，-3），试求出这个二次函数的表达式.,解得a=-1，,再把点（0，-3）代入上式得,所以a(0+3)(0+1)=-3，,所以所求的二次函数的表达式是 y=-(x+3)(x+1),即y=-x2-4x-3.,归纳总结,交点法求二次函数解析式的方法,这种已知抛物线x轴的交点，求表达式的方法叫做交点法. 其步骤是： 设函数表达式是y=a(x-x1)(x-x2)； 先把两交点的横坐标x1,x2代入，得到关于a的一元一次方程； 将另一坐标的点代入原方程求出a值； a用数值换掉，写出函数表达式.,当堂练习,1.如图，平面直角坐
8、标系中，函数图象的表达式应是.,注 y=ax2与y=ax2+k、y=a(x-h)2、y=a(x-h)2+k一样都是顶点式，只不过前三者是顶点式的特殊形式.,2.过点（2，4），且当x=1时，y有最值为6，则其表达 式是 .,顶点坐标是（1，6）,y=-2(x-1)2+6,3.已知二次函数的图象经过点(1，5)，(0，4)和(1，1)求这个二次函数的表达式,解：设这个二次函数的表达式为yax2bxc依题意得,这个二次函数的表达式为y2x23x4.,abc1，,c4，,a-bc-5，,解得,b3，,c4，,a2，,4.已知抛物线与x轴相交于点A(1，0)，B(1，0)，且过点M(0，1)，求此函数
9、的表达式,解：因为点A(1，0)，B(1，0)是图象与x轴的交点，所以设二次函数的表达式为ya(x1)(x1) 又因为抛物线过点M(0，1)， 所以1a(01)(01)，解得a1， 所以所求抛物线的表达式为y(x1)(x1)， 即yx21.,5.已知一条抛物线经过E（0，10），F（2，2），G（4，2），H（3，1）四点，选择其中两点用待定系数法能求出抛物线解析式的为（ ）,AE，F,BE，G,CE，H,DF，G,C,6.如果抛物线y=x2-6x+c-2的顶点到x轴的距离是3，那么c的值等于（ ）,A8,B14,C8或14,D-8或-14,C,7.如图，抛物线yx2bxc过点A(4，3)，与
10、y轴交于点B，对称轴是x3，请解答下列问题：,(1)求抛物线的表达式；,解：把点A(4，3)代入yx2bxc 得164bc3，c4b19. 对称轴是x3， 3， b6，c5， 抛物线的表达式是yx26x5；,(2)若和x轴平行的直线与抛物线交于C，D两点，点C在对称轴左侧，且CD8，求BCD的面积,CDx轴，点C与点D关于x3对称 点C在对称轴左侧，且CD8， 点C的横坐标为7， 点C的纵坐标为(7)26(7)512. 点B的坐标为(0，5)， BCD中CD边上的高为1257， BCD的面积 8728.,课堂小结,已知三点坐标,已知顶点坐标或对称轴或最值,已知抛物线与x轴的两个交点,已知条件,所选方法,用一般式法：y=ax2+bx+c,用顶点法：y=a(x-h)2+k,用交点法：y=a(x-x1)(x-x2) (x1,x2为交点的横坐标),待定系数法 求二次函数表达式,
