1、- 1 -湖南省衡阳县四中 2014 高三下期周考数学试题（二）本试卷共 22 小题，满分 150 分。考试用时 120 分钟。一、选择题：本大题共 10 小题，每小题 5 分，满分 50 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1. 满足条件 M1=1，2，3的集合 M 的个数是（ ）A.4 B.3 C.2 D.12. 复数 z= im1（ mR， i 为虚数单位）在复平面上对应的点不可能位于（ ）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限3. 在（0，2 ）内，使 sinxcos x 成立的 x 取值范围为（ ）A.（ 4， ）（ ， 45） B.（ 4， ）C.（
2、 ， ） D.（ ， ）（ 45， 23）4. 根据市场调查结果，预测某种家用商品从年初开始的 n 个月内累积的需求量 Sn（万件）近似地满足 Sn= 90（21 n n25） （ n=1，2，12）.按此预测，在本年度内，需求量超过 1.5 万件的月份是（ ）A.5 月、6 月 B.6 月、7 月C7 月、8 月 D.8 月、9 月5. 如果 1AB的三个内角的余弦值分别等于 2ABC的三个内角的正弦值，则A 和 2C都是锐角三角形B 1和 都是钝角三角形C 是钝角三角形， 2AB是锐角三角形D 1A是锐角三角形， C是钝角三角形6.设随机变量 服从标准正态分布 (01)N， ，已知 (1.
3、96)0.25，则 (|.96)P=（ ）A0.025 B0.050 C0.950 D0.9757、如图为一个几何体的三视图，其中俯视图为正三角形， ,则该几何体的112,4A表面积为（ ） A 243- 2 -B 243C 6D (第 7 题图) （第 8 题图）8、如图在 中，点 O 是 BC 的中点，过点 O 的直线分别交直线 AB、AC 于不同的两点ABM、N，若 ，则 的最大值为（ ）,mCnAN mA B C D 12249. 已知双曲线 12byax(a0,b0)的右焦点为 F，若过点 F 且倾斜角为 60的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则此双曲线离心率的取值范围是A.(
4、1,2) B. (1,2) C.2,+ D.(2,+)10. 对于函数 ()lg21)fx， 2()fx， ()cos2)fx，判断如下三个命题的真假：命题甲： (2)f是偶函数；命题乙： x在 ， 上是减函数，在 (2)， 上是增函数；命题丙： ()(ff在 )， 上是增函数能使命题甲、乙、丙均为真的所有函数的序号是（ ） 二、填空题：本大题共 6 小题，考生作答 5 小题，每小题 5 分，满分 25 分（一）必做题（11 13 题）11. 一个单位共有职工 200 人，其中不超过 45 岁的有 120 人，超过 45 岁的有 80 人为了调查职工的健康状况，用分层抽样的方法从全体职工中抽取
5、一个容量为 25 的样本，应抽取超过 45 岁的职工_人12. 在二项式 251()x的展开式中，含 4x的项的系数是_13. 设 P（3，1）为二次函数 2()(1)fabx的图象与其反函数 )(1xf的图象的一个交点，则 a=_b=_（二）选做题（14 16 题，考生只能从中选做两题）14. （坐标系与参数方程选做题）以直角坐标系的原点为极点， x轴的正半轴为极轴，并在两种坐标系中取相同的长度单位。已知直线的极坐标方程为 ()4R，它与曲线OB CAMN- 3 -ODCBA图12cosinxy（ 为参数）相交于两点 A 和 B，则|AB|=_.15. （不等式选讲选做题）不等式 2313x
6、a对任意实数 x恒成立，则实数 a的取值范围为_.16. (几何证明选讲选做题)如图，三角形 ABC中，ACB， O经过点 ，与 相切于 ，与 相交于 D，若 1，则 O的半径 r 三、解答题：本大题共 6 小题，满分 80 分解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤.17. （本题满分 12 分）如图 A、 B 是单位圆 O 上的点，且 B在第二象限. C 是圆与 x轴正半轴的交点， A 点的坐标为 34,5， AOB 为正三角形.（）求 sinC； （）求 co. 18. (本题满分 12 分)甲、乙、丙三人分别独立的进行某项技能测试，已知甲能通过测试的概率是 25，甲、乙、丙三人都能通过测
7、试的概率是 320，甲、乙、丙三人都不能通过测试的概率是 340，且乙通过测试的概率比丙大.（）求乙、丙两人各自通过测试的概率分别是多少；（）求测试结束后通过的人数 的数学期望 E.第 16 题图O xyBAC34(,)5- 4 -19. （本题满分 12 分)如图，已知四棱锥 PABCD的底面 是菱形,PA平面 , 点 F为 的中点.（）求证: /平面 ;（）求证: 平面 .20. （本题满分 13 分)已知数列 的 等 比 数 列公 比是 首 项 为 41,1qan ，设 *)(log3241Nabnn，数列 nnbc满 足 。（1）求证： 是等差数列； （2）求数列 c的前 n 项和 S
8、n；（3）若 对142mcn一切正整数 n 恒成立，求实数 m 的取值范围。21. （本题满分 13 分) 已知函数 32(,)fxaxbR. （1）若 fx在0，2上是增函数， 2x是方程 0f的一个实根，求证： 2f；（2）若 f的图象上任意不同两点的连线斜率小于 1，求实数 a的取值范围.22. （本题满分 13 分) 已知点 10(,)Pxy为双曲线AFPDCB2F1OyxA2P- 5 -218xyb（ b为正常数）上任一点, 2F为双曲线的右焦点,过 1P作右准线的垂线,垂足为A,连接 2F并延长交 y轴于 2P.(1)求线段 1P的中点 的轨迹 E的方程;(2)设轨迹 E与 x轴交
9、于 BD、 两点,在 上任取一点 1,(0)Qxy（ ） ,直线 QBD， 分别交 y轴于 MN， 两点.求证:以 N为直径的圆过两定点.周考（二）参考答案及详细解析答案：1-10:CACCDCABCD 11.10 12.10 13. 15,.2ab 14. 14- 6 -15. (,14,) 16.7142一、选择题1.答案：C【解析】M=2，3或 M=1，2，3因为 M1，2，3，因此 M 必为集合1，2，3的子集，同时含元素 2，3.2. 答案：A【解析】由已知 z= 51)(1imi （ m4）2（ m+1） i在复平面对应点如果在第一象限，则 04而此不等式组无解.即在复平面上对应的
10、点不可能位于第一象限.3. 答案：C【解析】解法一：作出在（0，2 ）区间上正弦和余弦函数的图象，解出两交点的横坐标4和 5，由图 1 可得 C 答案.图 1 图 2解法二：在单位圆上作出一、三象限的对角线，由正弦线、余弦线知应选 C.（如图 2）4. 答案：C【解析】 n 个月累积的需求量为 Sn第 n 个月的需求量为an Sn Sn1 90（21 n n25） 90121（ n1）（ n1） 25 3（ n215 n9）an15 即满足条件， 0（ n215 n9）1.5，6 n9（ n1，2，3，12） ， n=7 或 n=85.答案:D【解析】 1ABC的三个内角的余弦值均大于 0，则
11、 1ABC是锐角三角形，若 2ABC是- 7 -锐角三角形，由211211sincosin()2sincosin()2AABBCC，得2121ABC，那么，22A，所以 A是钝角三角形。故选 D。6.答案：C【解析】 服从标准正态分布 (01)N， ， (|1.96)(.1.96)P(1.96)(.2.2057. 答案：A【解析】此几何体为正三棱柱，底面边长为 2，高为 4。8. 答案：B【解析】 ,M、O、N 共线，所以)(1)(21AnMmACBO0,nm1)(29. 答案：C【解析】双曲线2(0,)xyab的右焦点为 F，若过点 F 且倾斜角为 60o的直线与双曲线的右支有且只有一个交点
12、，则该直线的斜率的绝对值小于等于渐近线的斜率 ba， ba 3，离心率 e2=2cab 4， e2，选 C10.答案：D【解析】函数 ()lg1)fx，函数 (2)fx=lg(|1)是偶函数；且 ()fx在()，上是减函数，在 2， 上是增函数；但对命题丙： ()(fxf= |lg|1)l(|2|1)lg21xx在 x(,0)时，(|1)1lglgl()23为减函数，排除函数，对于函数， ()cos2)fx函数 2cos()fxx不是偶函数，排除函数- 8 -只有函数 2()fx符合要求，选 D二、填空题11. 答案：1012.答案：10【解析】对于 251031 51()rrrrrrTCxC
13、x，对于 4,2r，则 4x的项的系数是 25013.答案： ,.ab 【解析】 P（3，1）为二次函数 2()(1)fxaxb上的点， 96.ab又 P（3，1）为反函数上的点，则 P（1，3）在原函数上， 32联立解得 5,.2ab14.答案：【解析】直线的普通方程为 yx，曲线的普通方程 22(1)()4xy 22|1|()4AB15.答案： ,【解析】因为 24314313xxa对 对任意 x 恒成立，所以2230aa即 ， 解 得 或16. 答案 71三、解答题17. （本题满分 12 分）解：（1）因为 A 点的坐标为 34,5，根据三角函数定义可知 4sin5COA-4 分（2）
14、因为三角形 AOB 为正三角形，所以 06AOB，4sin5CO， 3cos5， -6 分所以 cB= 0(6)C0oss6insiAOA-10 分- 9 -18. 解（）设乙、丙两人各自通过测试的概率分别是 x、 y依题意得：23,50(1),4xy 即3,41.2xy或 1,23.4y（舍去） 4 分所以乙、丙两人各自通过测试的概率分别是 、 . 6 分（）因为 3(0)P (3)20P21213171()()545454200137()0所以 E= 322 12 分19.(本题满分 12 分)（）证明: 连结 AC， BD与 交于点 O，连结 F. 1 分是菱形, 是 AC的中点.点 F
15、为 P的中点, /P. 4 分O平面 平面 ,/A平面 B. 6 分()证明: 平面 D, 平面 ABD,P. 8 分C是菱形, C. 10 分 ， 平面 P. 12 分20. 1）由题意知， *)()41Nnan12log3,2log341141 ababnnlllog3l 411441141 qabnnnn数列 ,1dn公 差是 首 项 的等差数列（2）由（1）知， *)(23)4(Nbann*)(,)423(Nncn141572nS 于是 143 )()()1()()1(4 nn两式相减得 12 2343 nn- 10 -.)41(23(1n *)()41382NnnS（3） nc()1
16、1 *)(,419n当 n=1 时， 12当 nn ccc 432,即时 当 n=1 时， nc取最大值是 41又 恒 成 立对 一 切 正 整 数mcn42 4112m即 5105或得21. （1） 2()3fxax 由题可知 2()0f在0，2上恒成立.223x当 0x时此式显然成立， aR；当 (,时有 恒成立，易见应当有 263a，可见 2()3fa在0，2上恒成立，须有 又 84b17f（2）设 (,),()PxQyf是 fx图象上的两个不同点，则fy3232()1axbyab()x22()0xyy此式对于 x恒成立，从而20340ya此式对于 也恒成立，从而 23(,3)a注：用导数方法求解略，按相应步骤给分.22. (1) 由已知得 20830FbAy（ ， ） ， （ ， ） ,则直线 2FA的方程为: 0(3)yxb,令 0x得 9y,即 (,)P,设 P（ ， ） ,则00 25xyy,即 025xy代入2018xyb得:24185xyb,
