1、1周周测 6 解三角形与平面向量综合测试一、选择题：本大题共 12小题，每小题 5分，共 60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1若 i2 j， (3 x)i(4 y)j(其中 i、 j的方向分别与 x、 y轴正方向相同AB DC 且为单位向量). 与 共线，则 x、 y的值可能分别为( )AB DC A1,2 B2,2C3,2 D2,4答案：B解析： (1,2)， (3 x,4 y)，代入比较AB DC 2如图，向量 e1， e2， a的起点与终点均在正方形网格的格点上，则向量 a可用基底e1， e2表示为( )A e1 e2 B2 e1 e2C2 e1 e2 D2 e1
2、e2答案：B解析：由题意可取 e1(1,0)， e2(1,1)， a(3,1)，设 a xe1 ye2 x(1,0) y(1,1)( x y， y)，则Error!解得Error!故 a2 e1 e2.3已知向量 a(1,2)， b(3， m)， mR，则“ m6”是“ a( a b)”的( )A充要条件B充分不必要条件C必要不充分条件D既不充分也不必要条件答案：A解析：由题意得 a b(2,2 m)，由 a( a b)，得1(2 m)22，解得m6，当 m6 时， a(1,2)， a b(2，4)，所以 a( a b)，则“ m6”是“a( a b)”的充要条件，故选 A.4(2018兰州一
3、模) ABC中，内角 A， B， C对应的边分别为a， b， c， c2 a， bsinB asinA asinC，则 sinB的值为( )12A B.74 34C. D.74 13答案：C解析：由正弦定理，得 b2 a2 ac，又 c2 a，所以 b22 a2，所以 cosB12 ，所以 sinB .a2 c2 b22ac 34 745(2018吉林三模)已知平面向量 a， b的夹角为 120，且 ab1，则| a b|的最小值为( )A. B.6 3C. D12答案：A2解析：由题意可知1 ab| a|b|cos120，所以 2| a|b| ，|a|2 |b|22即| a|2| b|24，
4、当且仅当| a| b|时等号成立，|a b|2 a22 ab b2 a2 b22426，所以| a b| ，所以| a b|的最小值为6.66(2018广东茂名一模)已知 ABC的面积为 ，且 C30， BC2 ，则 AB( )3 3A1 B. 3C2 D2 3答案：C解析：由题意得， S ABC ACBCsinC AC2 ，解得 AC2.由余弦定理12 12 3 12 3得 AB2 AC2 BC22 ACBCcosC412222 4，所以 AB2.故选 C.3327(2018山西联考)向量 a， b满足| a b|2 |a|，且( a b)a0，则 a， b的夹3角的余弦值为( )A0 B.
5、13C. D.12 32答案：B解析：由( a b)a0，得 a2 ba，由| a b|2 |a|，得 a2 b22 ab12 a2，3得 b29 a2，所以 cos a， b .故选 B.ba|b|a| a23|a|a| 138(2017山东卷)在 ABC中，角 A， B， C的对边分别为 a， b， c.若 ABC为锐角三角形，且满足 sin B(12cos C)2sin Acos Ccos Asin C，则下列等式成立的是( )A a2 b B b2 aC A2 B D B2 A答案：A解析：本题考查三角公式的运用和正弦定理、余弦定理解法一 因为 sinB(12cos C)2sin Ac
6、osCcos AsinC，所以sinB2sin BcosCsin AcosCsin( A C)，所以 sinB2sin BcosCsin AcosCsin B，即 cosC(2sinBsin A)0，所以 cosC0 或 2sinBsin A，即 C90或 2b a，又 ABC为锐角三角形，所以 0c2，故 2b a，故选 A.9(2018丰台期末)在 ABC中，若 2 ，则 的值为( )BC BA AC AB CA CB sinAsinC3A. B.212C. D.22 32答案：A解析：设 ABC的内角 A， B， C所对的边分别为 a， b， c，由 2 BC BA AC AB CA ，
7、得 ac 2 bc ab ，化简可得 a c.由正弦定CB a2 c2 b22ac b2 c2 a22bc a2 b2 c22ab 2理得 .sinAsinC ac 210 ABC的内角 A， B， C的对边分别为 a， b， c，若 acosC ccosA2 bsinA，则 A的值为( )A. B.56 6C. D. 或23 6 56答案：D解析：由 acosC ccosA2 bsinA结合正弦定理可得sinAcosCsin CcosA2sin BsinA，即 sin(A C)2sin BsinA，故 sinB2sin BsinA.又sinB0，可得 sinA ，故 A 或 .选 D.12
8、6 5611(2018山西康杰中学月考)海上有三个小岛 A， B， C，测得 BAC135，AB6， AC3 ，若在 B， C两岛的连线段之间建一座灯塔 D，使得灯塔 D到 A， B两岛距2离相等，则 B， D间的距离为( )A3 B.10 10C. D313 2答案：B解析：由题意可知， D为线段 AB的垂直平分线与 BC的交点，设 BD t.由余弦定理可得 BC26 2(3 )2263 cos BAC90，解得 BC 3 .由 cos ABC 2 2 103t，解得 t .故选 B.62 310 2 32 226310 1012(2018河北石家庄一模)已知三个向量 a， b， c共面，且
9、均为单位向量，ab0，则| a b c|的取值范围是( )A 1， 1 B1， 2 2 2C ， D 1,12 3 2答案：A解析：因为 ab0，所以| a b|2 a22 ab b22，所以| a b| .所以2|a b c|2 a2 b2 c22 ab2( a b)c32( a b)c.当 c与( a b)同向时，(a b)c最大，| a b c|2最小，此时( a b)c| a b|c|cos0 ，| a b c|232 ( 1) 2，所以| a b c|min 1；当 c与( a b)反向时，2 2 2 2(a b)c最小，| a b c|2最大，此时(a b)c| a b|c|cos
10、 ，| a b c|232 ( 1) 2，所以2 2 2|a b c|max 1.所以| a b c|的取值范围为 1， 1故选 A.2 2 2二、填空题：本大题共 4小题，每小题 5分，共 20分把答案填在题中的横线上13(2018甘肃定西统考)在 ABC中，若 ，则 ABC的形状为_a2b2 tanAtanB答案：等腰三角形或直角三角形解析：由正弦定理，得 ，即sin2Asin2B tanAtanB4 .sin A0，sin B0，sin AcosAsin BcosB，即sin2Asin2B sinAcosA cosBsinBsin2Asin2 B.2 A2 k2 B或2A2 k2 B(k
11、Z)0 A，0 B， k0，则 A B或 A B.2故 ABC为等腰三角形或直角三角形14已知点 A(1,2)， B(2,8)， ， ，则 的坐标为_AC 13AB DA 13BA CD 答案：(2，4)解析：设点 C， D的坐标分别为( x1， y1)，( x2， y2)由题意得 ( x11， y12)，AC (3,6)， (1 x2,2 y2)， (3，6)因为 ， ，所以AB DA BA AC 13AB DA 13BA Error!Error!解得Error! Error!所以 C(0,4)， D(2,0)， (2，4)CD 15(2018江西八校联考(一)已知 ABC是边长为 3的等边
12、三角形，点 P是以 A为圆心的单位圆上一动点，点 Q满足 ，则| |的最小值是_AQ 23AP 13AC BQ 答案： 723解析：以点 A为坐标原点， AB为 x轴正半轴，使得 C落在第一象限，建立平面直角坐标系，设 P(cos ，sin )，则由 得， Q ，故点 Q的AQ 23AP 13AC (23cos 12， 23sin 32)轨迹是以 D 为圆心， 为半径的圆又| | ，所以| |的最小值是 .(12， 32) 23 BD 7 BQ 7 2316(2017浙江卷)已知 ABC， AB AC4， BC2.点 D为 AB延长线上一点，BD2，连接 CD，则 BDC的面积是_，cos B
13、DC_.答案： 152 104解析：本题考查余弦定理，同角三角函数的基本关系式，二倍角公式，三角形面积公式，考查运算求解能力 AB AC4， BC2，cos ABC ，AB2 BC2 AC22ABBC 14 ABC为三角形的内角，sin ABC ，154sin CBD ，故 S CBD 22 .154 12 154 152 BD BC2, ABC2 BDC.又 cos ABC ，2cos 2 BDC1 ，得 cos2 BDC ，14 14 58又 BDC为锐角，cos BDC .104三、解答题：本大题共 6小题，共 70分解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤17(本小题满分 10分)
14、(2018湖南常德月考)已知向量 a(cos ，sin )， b(cos ，sin )，0 .(1)若| a b| ，求证 a b；25(2)设 c(0,1)，若 a b c，求 ， 的值解析：(1)证明：| a b| ，( a b)22，即 a22 ab b22，2 a2cos 2 sin 2 1， b2cos 2 sin 2 1， ab0， a b.(2)解： a b(cos cos ，sin sin )(0,1)Error! 2 2得 cos( ) .120 ，0 . ，即 ，23 23代入得 sin sin 1，整理得( 23)sin cos 1，即 sin 1.12 32 ( 3)0
15、 ， ，3 343 ， ， .3 2 6 23 5618(本小题满分 12分)已知向量 a(cos ，sin )， b(cos ，sin )， c(1,0)(1)求向量 b c的模的最大值；(2)设 ，且 a( b c)，求 cos 的值4解析：(1)解法一 b c(cos 1，sin )，则| b c|2(cos 1) 2sin 2 2(1cos )因为1cos 1，所以 0| b c|24，即 0| b c|2.当 cos 1 时，有| b c|2，所以向量 b c的模的最大值为 2.解法二 因为| b|1，| c|1，| b c| b| c|2.当 cos 1 时，有 b c(2,0)，
16、即| b c|2，所以向量 b c的模的最大值为 2.(2)解法一 由已知可得 b c(cos 1，sin )， a(b c)cos cos sin sin cos cos( )cos .因为 a( b c)，所以 a(b c)0，即 cos( )cos .由 ，得 cos cos4 (4 ) 4即 2 k (kZ)，4 4所以 2 k 或 2 k， kZ，2于是 cos 0 或 cos 1.解法二 若 ，则 a .4 (22， 22)又由 b(cos ，sin )，c(1,0)得 a(b c) (cos 1，sin ) cos sin .(22， 22) 22 22 22因为 a( b c)
17、，所以 a(b c)0，6即 cos sin 1，所以 sin 1cos ，平方后化简得 cos (cos 1)0，解得 cos 0 或 cos 1.经检验 cos 0 或 cos 1 即所求19(本小题满分 12分)(2018山东枣庄模拟)如图，在平面四边形 ABCD中， 32.BA BC (1)若 与 的夹角为 30，求 ABC的面积 S ABC；BA BC (2)若| |4， O为 AC的中点， G为 ABC的重心(三条中线的交点)，且 与 互为AC OG OD 相反向量，求 的值AD CD 解析：(1) 32，| | |cos3032，BA BC BA BC | | | ，BA BC
18、32cos306433 S ABC | | |sin30 .12BA BC 12 6433 12 1633(2)以 O为原点， AC所在直线为 x轴，建立如图所示的平面直角坐标系，则 A(2,0)，C(2,0)设 D(x， y)，则 ( x， y)OD 与 互为相反向量，OG OD ( x， y) G为 ABC的重心， 3 (3 x，3 y)，即OG OB OG B(3 x，3 y)， (3 x2,3 y)， (3 x2,3 y)，BA BC 9 x249 y232，即 x2 y24.BA BC ( x2， y)(x2， y) x2 y240.AD CD 20(本小题满分 12分)(2018湖
19、北部分重点中学适应性训练)在 ABC中， a， b， c分别为内角 A， B， C的对边，且满足 cos(A B)2sin AsinB.(1)判断 ABC的形状；(2)若 a3， c6， CD为角 C的平分线，求 CD的长解：(1)由 cos(A B)2sin AsinB，得cosAcosBsin AsinB2sin AsinB，cos AcosBsin AsinB0，cos( A B)0，7 C90.故 ABC为直角三角形(2)由(1)知 C90，又 a3， c6， b 3 ， A30， ADC1803045105.c2 a2 3由正弦定理得 ，CDsinA ACsin ADC CD sin
20、30 .33sin105 336 24 12 92 36221(本小题满分 12分)(2017新课标全国卷) ABC的内角 A， B， C的对边分别为 a， b， c.已知 sin Acos A0， a2 ， b2.3 7(1)求 c；(2)设 D为 BC边上一点，且 AD AC，求 ABD的面积解析：本题考查解三角形(1)由已知可得 tanA ，3A(0，)，所以 A .23在 ABC中，由余弦定理得 284 c24 ccos ，即 c22 c240.23解得 c6(舍去)，或 c4.(2)由题设可得 CAD ，2所以 BAD BAC CAD .6故 ABD面积与 ACD面积的比值为1.12
21、ABADsin612ACAD又 ABC的面积为 42sin BAC2 ，12 3所以 ABD的面积为 .322(本小题满分 12分)(2018安徽师范大学附属中学期中)在 ABC中，角 A， B， C所对的边为 a， b， c，且满足 cos2Acos2 B2cos cos .(A6) (A 6)(1)求角 B的值；(2)若 b a，求 2a c的取值范围3解：(1)由已知 cos2Acos2 B2cos cos ，(6 A) (6 A)得 2sin2B2sin 2A2 ，化简得 sinB ， B(0，)，故 B 或(34cos2A 14sin2A) 32 3.23(2)因为 b a，所以 B .38由正弦定理 2，得 a2sin A， c2sin C，asinA csinC bsinB 332则 2a c4sin A2sin C4sin A2sin 3sin A cosA2 sin .(23 A) 3 3 (A 6)因为 b a，所以 A ， A ，3 23 6 62所以 2a c ，2 )3 3方法点拨：遇到含有角的正弦或只含有边的一次式时，常用正弦定理
