对称矩阵的性质及应用.doc

1、目 录摘 要 1关键词 1Abstract1Keywords 1前言 .11.对称矩阵的基本性质 21.1 对称矩阵的定义 21.2 对称矩阵的基本性质及简单证明32.对称矩阵的对角化 .42.1 对称矩阵可对角化的相关理论证明 42.2 对称矩阵对角化的具体方法及应用举例 .53.对称矩阵的正定性 .73.1 正定矩阵的定义 .73.2 对称矩阵正定性的判别 .84.应用举例 11总结 .12参考文献 121对称矩阵的性质及应用摘 要：本文主要描述对称矩阵的定义，研究对称矩阵的性质及应用.包括对称矩阵的基本性质，对称矩阵的对角化， 对称矩阵的正定性以及对称矩阵在二次型，线性变换和欧式空间问题

2、中的应用等.关键词：对称矩阵；对角化；正定性；应用The Properties and Applications of Symmetry MatrixAbstract: The article mainly elaborates the definitions of symmetry matrix and discusses properties and applications of it, including the basic properties of symmetry matrices, diagonalization of symmetry matrices, positive d

3、efiniteness of symmetry matrices and applications in quadratic form, linear transformations and Euclidean space problems etc. Keywords: symmetry matrix; diagonalization; positive definiteness; application前言矩阵是高等数学中一个极其重要的应用广泛的概念，如线性方程组的一些重要性质反映在它的系数矩阵和增广矩阵的性质上，并且解方程组的过程也表现为变换这些矩阵的过程，二次型的正定性与它的矩阵的正定性

4、相对应，甚至有些性质完全不同的表面上完全没有联系的问题，归结成矩阵问题后却是相同的.这就使矩阵成为代数特别是线性代数的一个主要研究对象.作为矩阵的一种特殊类型，对称矩阵有很多特殊性质，是研究二次型，线性空间和线性变换问题的有利工具，对称矩阵的对角化，正定性的判别等是高等数学中的重难点.本文就此浅谈一下对称矩阵的各种性质和应用.1.对称矩阵的基本性质在学习中我们发现，对称矩阵中的特殊类型如：对角阵，实对称矩阵以及反对称矩阵经常出现，以下首先介绍一些基本概念.21.1 对称矩阵的定义定义1 设矩阵 ，记 为矩阵的转置.若矩阵 满足条件()ijsnAa()TjinsaA，则称 为对称矩阵.由定义知：

5、TA1.对称矩阵一定是方阵.2.位于主对角线对称位置上的元素必对应相等.即 ，对任意 、 都成ijjiaij立.对称矩阵一定形如 .121212nnnaa 定义2 形式为 的矩阵，其中 是数 ，通常称20laa ia(1,2)l为对角矩阵.定义3 若对称矩阵 的每一个元素都是实数，则称 为实对称矩阵.AA定义4 若矩阵 满足 ，则称 为反对称矩阵.由定义知：T1.反对称矩阵一定是方阵.2.反对称矩阵的元素满足 ，当 时， ，对角线上的元素ijjiajiia都为零.反对称矩阵一定形如 .12121200nna下面就对称矩阵的一些基本性质展开讨论.1.2 对称矩阵的基本性质及简单证明性质1 同阶对

6、称矩阵的和、差、数乘还是对称矩阵.证 设 、 是 阶对称矩阵，即 , .则：ABnTAB， ，TTTTAB.,TkCk性质2 设 为 阶方阵，则 ， ， 是对称矩阵.AnAT3证 因为 ，则 是对称矩阵.TTAATA因为 ，则 是对称矩阵，同理可证 也是对称矩T阵.性质3 设 为 阶对称矩阵（反对称矩阵） ，若 可逆，则 是对称矩阵AnA1（反对陈矩阵）.证 （1）因为 可逆， ， ，所以 是对称矩TA11T1阵.（2）因为 可逆， ， ，则 是T111()()TAA1对称矩阵.性质4 任一 矩阵都可表为一对称矩阵与一反对称矩阵之和.n证 设 为 矩阵， ，由性质2易证A12TTA是对称矩阵，

7、 ，则 是12T 1TA1TA反对称矩阵.性质5 设 为对称矩阵， 与 是同阶矩阵，则 是对称矩阵.AXTX证 因为 ,所以 是对称矩TTTAAT阵.性质6 设 、 都是 阶对称矩阵，证明： 也对称当且仅当 、 可交ABnBB换.证 必要性：若 为对称矩阵，则 ，又 ，TATAA，因此， 、 可交换.B充分性：若 ，则 ， 为对称矩阵.ABTBB2.对称矩阵的对角化任意一个 阶矩阵 可对角化的充要条件是 有 个线性无关的特征向量，nAn那么对称矩阵的对角化需要什么条件，怎样进行对角化，对称矩阵的正定性又如何判别呢？下面的讨论将给出答案.2.1 对称矩阵可对角化的相关理论证明4定理1 实对称矩阵

8、的特征值都是实数. 证 设 是 阶实对称阵， 是的特征值， 是属于 的An12,TnXx 特征向量，于是有 .令 ，其中 是 的共轭复数，则X12nxii，考察等式 ，其左边为_AX_ _()()()TTTTAXAX，右边为 .故 = ，又因 是非零量，TX_故 ，即 是一个实数._120nxx 注意，由于实对称矩阵 的特征值 为实数，所以齐次线性方程组Ai为实系数方程组，由 知必有实的基础解系，从而对应0iAEx0iE的特征向量可以取实向量.此定理的逆命题不成立.例如， ， ， 均为实数，而 不是对称的.124031,230A定理2 设 是实对称矩，定义线性变换 , (1)，则对任A1122

9、nnx意向量 ，有 或 .,nR,ATTA证 只证明后一等式即可. .T T定理3 设 是实对称矩阵，则 中属于 的不同特征值的特征向量必正交.AnR证 设 是 的两个不同的特征值， 分别是属于 的特征向12,12,X12,量： , .定义线性变换 如定理 2中的（1） ，于是1X2XA， .由 ，有 .2121,212,X因为 ，所以 .即 正交.112,0定理4 对任意一个 级实对称矩阵 ，都存在一个 级正交矩阵 ，使nAnP5成为对角形且对角线上的元素为 的特征值.1TPA A证 设 的互不相等的特征值为 ，它们的重数依次为12,s ()n.则对应特征值 ，恰有 个线性无关12,sr 1

10、2srrn i, ir的实特征向量，把它们正交化并单位化，即得 个单位正交的特征向量，由ir知，这样的特征向量共可得 个.由定理3知对应于不同特征值12srr n的特征向量正交，故这 个单位特征向量两两正交.以它们为列向量作成正交矩n阵 ，则 ，其对角矩阵 中的对角元素含 个 ，, 个 ，P1TAP1rsr恰是 的 个特征值.n2.2 对称矩阵对角化的具体方法及应用举例定理4说明，对任何一个实对称矩阵总有正交矩阵存在，使它化为对角形.定理4的证明过程也给出了将实对称矩阵 对角化找出正交阵 的方法，具体步AP骤如下：1.求出实对称矩阵的 全部特征值 .A12,s2.对每个 ，由 求出的特征向量.

11、i(1,2)s 0iEX3.用施密特正交法，将特征向量正交化，单位化，得到一组正交的单位向量组.4.以这组向量为列，作一个正交矩阵 ，它就是所要求的正交阵.P根据上述讨论，下面举例说明.例1 求一正交矩阵 ，将实对称矩阵 化为对角阵.P4031A解 由于 ， 的特征值为24031()4AEA， .1234对 ，由 得基础解系 ，120AEx106对 ，由 得基础解系 ， ， 与 恰2340AEx210323好正交，所以 ， ， 两两正交.123再将 ， ， 单位化，令 ，得 ，1231,23ii102，20，于是得正交阵 ，301212310, 2P则 .104PA例2 设 ，求 .21nA解

12、 （1）先将 对角化求出正交阵 .P， .21()30AE12,3由 ， 分别得基础解系 ， .则0x30x121， ，则 .12,P12P103PA（2）利用 求 .nnA.11013223nn 3.对称矩阵的正定性二次型的矩阵都是对称矩阵，二次型和它的系数矩阵是相互唯一决定的，7因此二次型正定与它的对称矩阵正定等价.以下将具体讨论对称矩阵正定性的含义以及判别正定性的条件和方法.3.1正定矩阵的定义定义1 实二次型 称为正定的，如果对于任意一组不12,TnfxXA全为零的实数 都有 .12,nc 12,0fc定义2 实对称矩阵 称为正定的，如果二次型 正定.ATX由定义可知：1. 二次型 是

13、正定的，因为只有在22121,nnfxxx 时， 才为零.一般地，不难验证，实二次型120ncc 2nc是正定的当且仅当 .非退221,fxdxdx 0,12,idn化的线性替换保持正定性不变.2. 任意 阶实对称矩阵 正定就是指，对于任意 维非零列向量 ，都有nAnX.0TXA3. 复正定矩阵的正定性与实对称矩阵类似，只要放到复数域上考虑即可.4. 正定矩阵是对称矩阵，具有对称矩阵的所有性质，此外，同阶正定矩阵的和仍是正定矩阵.事实上，设 、 都是 阶正定矩阵，则对于任意非零列向ABn量 ，有 ， ，那么，12,TnXx 0TX0TX，所以 仍是正定矩阵.TAB3.2对称矩阵正定性的判别定理

14、1 元实二次型 是正定的充分必要条件是它的n12,TnfxXA正惯性指数等于 .证 设二次型 经过非退化实线性替换变成标准形12,nfx（1）.上面的讨论表明， 正定当且仅当221ndydy 12,nfx（1）是正定的，而我们知道，二次型（1）是正定的当且仅当 ，0,12,idn即正惯性指数为 .8由定理1可以得到下列推论：1. 实对角阵 正定的充要条件是 .12ndd 0,12,idn2. 实对称矩阵 正定的充要条件是 的秩与正惯性指A12,TnfxXA数都等于 .n3. 实对称矩阵 正定的充要条件是 的特征值全为正.事实上，由第二部分A对称矩阵对角化的讨论可知， 可对角化为 ，12n是 的

15、特征值， 正定即二次型 正定，而,12,in A12,TfxXA的标准形为 ，非退化的线性替换保持正定性fx 21nx不变，所以有 ， 的特征值全为正.0,i n A定理2 实对称矩阵是正定的当且仅当它与单位矩阵合同.证 由定理1可知，正定二次型 的规范形为 ，12,nfx 221nyy而规范型的矩阵是单位矩阵 ，所以一个实对称矩阵是正定的当且仅当它与单E位矩阵 合同.E由此得：1. 正定矩阵的行列式大于零.由于正定矩阵 与单位矩阵 合同，所以有可AE逆矩阵 使 ，两边取行列式，就有 .CTTAC 20TC2. 正定矩阵 的逆仍是正定矩阵.首先正定矩阵 的逆仍是对称矩阵，又与单位矩阵合同，则存

16、在可逆矩阵 使 ，两边取逆PT，令 ，则 ，所以 也与单位矩阵合同.11TAPE1TQ1AQE1A有时我们可以通过矩阵的行列式来判别对称矩阵或相应的二次型是否正定，为此，引入：9定义3 子式 称为矩阵 的顺序121212,iiiiiaaPn ijnAa主子式.定理3 实二次型 或矩阵 是正定的充分必要条件为12,TnfxXA矩阵 的顺序主子式全大于零.A证 必要性：设二次型 是正定的.对于每个 ，121,nijifxax k，令 .我们来证 是一个 元的正定二次型.对1kn121,kk ijifxa kf于任意一组不全为零的实数 ，有,kc.因此 是正定的.由1 11, ,0,kk ij ki

17、fcaf 12,knfx上面的推论， 的矩阵的行列式 ， .这就证明了矩阵kf11kkka ,的顺序主子式全大于零.A充分性：对作数学归纳法，当 时， ，由条件 显然1n211fxa10a有 是正定的.1fx假设充分性的论断对于 元二次型已经成立，现在来证 元的情形.令n， ，于是矩阵 可以分块写成 .既11,nnaA 1,naA1TnAa然 的顺序主子式全大于零，当然 的顺序主子式也全大于零.由归纳法假定，1是正定矩阵，换句话说，有可逆的 级矩阵 使 ，这里 代1AnG11TnAE1n表 级单位矩阵.令 ，于是n10GC10.11 001TTT nTn nAGEGCAaa再令 ，有120Tn

18、E.1111212 00TTnnT nn TT EGECA aGa 令 ， ，就有 .两边取行列12Tna1TCAa式， .由条件， ，因此 .显然2CA0Aa.1111aaa 这就是说，矩阵 与单位矩阵合同，因之， 是正定矩阵，或者说，二次AA型 是正定的.根据归纳法原理，充分性得证.12,nfx应用定理3完成下题.例3 若二次型 正定，则 的取值范2212313123,4fxxxtt围是什么？解 设 对应的矩阵为 ，则 ，它的三个顺序主子式为fA014t， ， .1223At所以当 时，即 时， 为正定二次型.240t2tf4.应用举例例4 设 均为实对称矩阵，证明：存在正交矩阵 使 的充

19、要条,ABPTAB件是的 特征多项式的根全部相同.11证 必要性：由条件可知 相似，相似矩阵有相同的特征多项式，得证.,AB充分性：设 的特征多项式的根全部相同，记它们为 ，则存, 12,n正交阵 使 ， ，那么12,P11Tn 12TnP，所以 ，取 为正交阵，则有12TTAB1122PAB12.例5 欧式空间 中的线性变换 称为反对称变换，若V:V.证明： 反对称当且仅当 在一组标准正交基的,A矩阵是反对称矩阵.证 充分性：设 是线性变换 在标准正交基 下的矩阵，()ijnAa 12,n且 反对称，即 ，任给 ，记 ，AT,V1,n nXY 则有 ，那么11,n nXAY ，所以 为反对称

20、变换., ,TTTYA必要性：设是 反对称变换，且 ，其中矩A1212,nn 阵 ， 为 的标准正交基，那么，()ijnAa12,n V， .11,nii ia 11,njj jaA 因此 ，所以 .即知,ijjijijaaA,ijijijjiaA为反对称矩阵.例6 设 阶正定阵， 阶实对称阵.证明： 的特征值为实数.:n:BnB证 设 ，其中 ，由于 正定，则 存在且正定，则A0A1，那么11,TB.11,TTTBB12因此 ，则 .又 也正定，且 ，则11TTA10TA10，则 ，即 为实数.0总结本文从基础理论和实际应用方面讨论了对称矩阵的基本性质，给出对称矩阵可对角化的理论证明以及对角

21、化的方法，并阐述了对称矩阵正定性的判别等.其中对称矩阵的对角化和正定阵的综合应用是重难点，对此我们要仔细琢磨和思考，努力掌握好对称矩阵的相关问题.参考文献：1 北京大学数学系.高等代数M. 北京: 高等教育出版社,2003.2 戴立辉.线性代数M. 上海 : 同济大学出版社,2007.3 张禾瑞,郝鈵新.高等代数M. 北京: 高等教育出版社,2007.4 居余马,林翠琴.线性代数简明教程M. 北京: 清华大学出版社,2004.5 丘维声,高等代数（上册）M. 北京: 高等教育出版社,2002.6 王萼芳,线性代数M. 北京 : 清华大学出版社,2000.7 蒋尔雄,对称矩阵计算M. 上海: 上海科学技术出版社,1984.8 陈公宁,矩阵理论与应用M. 北京: 科学出版设,2007.9 许以超,线性代数与矩阵论M. 北京: 高等教育出版社,2008.10 Johns on CR,RAHon Matrix AnalysisM. New York: Cambridge University Press,1985.