1、1实验 5 集合和向量的基本运算一、实验目的学会用 MATLAB 求两个集合的交集、差集、抑或集、并集，和向量的点集、叉集，以及在空间解析几何中的简单应用。二、实验内容与要求1、两个集合的交集格式：c=intersect(a,b) %返回向量 a,b 的公共部分，即 c=a b。c=intersect(A,B,rows) %A,B 为相同列数的矩阵，返回元素相同的行。c,ia,ib= intersect(a,b) %c 为的 a,b 公共元素，ia 表示公共元素在 a 中的位置，ib表示公共元素在 b 中的位置。【例 1.38】 A=1,2,3,4;1,2,4,6;6,7,1,4; B=1,2
2、,3,8;1,1,4,6;6,7,1,4; C=intersect(A,B,rows)C =6 7 1 4 A=1,9,6,20;B=1,2,3,4,6,10,20; c,ia,ib=intersect(A,B)c =1 6 20ia =1 3 4ib =1 5 72、两个集合的差集格式：c=setdiff(a,b) %返回属于 a 但不属于 b 的不同元素的集合，即 c=a-b.c=setdiff(A,B,rows) %返回属于 A 但不属于 B 的不同行。c,i=setdiff(.) %c 与前面一致，i 表示 c 中元素在 a 中的位置。【例 1.39】 A=1,7,9,6,20;B=1
3、,2,3,4,6,10,20; c=setdiff(A,B)c =7 9【例 1.40】 A=1,2,3,4;1,2,4,6;6,7,1,4; B=1,2,3,8;1,1,4,6;6,7,1,4; c=setdiff(A,B,rows)c =1 2 3 41 2 4 63、两个集合交集的异或2格式：c=setxor(a,b) %返回集合 a,b 交集的非。c=setxor(A,B,rows) %返回矩阵 A,B 交集的非，A,B 有相同列数。x,ia,ib=setxor(.) %ia,ib 表示中元素分别在 a（或 A） ，b（或 B）中的位置。【例 1.41】 A=1,2,3,4; B=2,
4、4,5,8; C=setxor(A,B)C =1 3 5 8【例 1.42】 A=1,2,3,4;1,2,4,6;6,7,1,4; B=1,2,3,8;1,1,4,6;6,7,1,4; C,ia,ib=setxor(A,B,rows)C =1 1 4 61 2 3 41 2 3 81 2 4 6ia =12ib =214、两个集合的并集格式：c=union(a,b) %返回 a,b 的并集，即 c=a bc=union(A,B,rows) %返回矩阵 A,B 不同行向量构成的大矩阵，其中相同行向量只取其一。c,ia,ib=union() %ia,ib 分别表示 c 中行向量在原矩阵（向量）中的
5、位置。【例 1.43】 A=1,2,3,4; B=2,4,5,8; c=union(A,B)则结果为：c =1 2 3 4 5 8【例 1.44】 A=1,2,3,4;1,2,4,6; B=1,2,3,8;1,1,4,6; c,ia,ib=union(A,B,rows)c =1 1 4 61 2 3 431 2 3 81 2 4 6ia =12ib =215、向量的点积格式：C=dot(A,B) %A,B 为向量且长度相等，则返回向量 A 与 B 的点积。若为矩则它们必须有相同的维数。C=dot(A,B,dim) %在 dim 维数中给出 A 与 B 的点积。【例 1.45】A=1,2,3;
6、B=3,4,5;dot(A,B); %计算向量 A，B 的标积，结果为 26还可用另一种算法：sum(A.*B).6、向量的叉积在数学上，两向量叉积是一个相交向量的交点且垂直两向量的平面的向量，在 MATLAB中，用函数 cross 实现。格式：C=cross(A,B) %A，B 为向量，则返回 A 与 B 的叉积，即C=A B、A 、B,3 个元素的向量；若为矩阵，则返回一个3 n 矩阵，其中列是 A 与 B 对应列的叉积，A，B 都是3 n 矩阵。C=cross(A,B,dim) %在 dim 维数中给出向量 A,B 的叉积，必须有相同的维数，size(A,dim),size(B,dim)
7、必须是 3。【例 1.46】A=1,2,3; B=3,4,5;cross(A,B); %计算向量 A，B 的叉积，结果为：-2 4 -27、向量的混合积混合积由以上两个函数来实现.【例 1.47】 计算向量 a=(1,2,3),b=(4,5,6)和 c=(-3,6,-3)的混合积 a(bc).解： a=1,2,3;b=4,5,6;c=-3,6,-3; x=dot(a,cross(b,c)结果显示：x =54注意：先叉积后点积，顺序不可颠倒.8向量的长度由定义，向量 的长度 ,所以，命令A22zyxl sqrt(dot(A,A) %或 sqrt(sum(A.*A)可求出向量 的长度.49向量的方
8、向角由定义，向量 的方向余弦为 ， , 所以：AlxcoslycslzosL=sqrt(dot(A,A); %计算向量 A 的长度alpha=acos(A(1)/L); %计算向量 A 与 x 轴的夹角beta=acos(A(2)/L); %计算向量 A 与 y 轴的夹角gamma=acos(A(3)/L); %计算向量 A 与 z 轴的夹角问题 1.18：若向量 ,求它的方向角，并验证 .852A 1coscos22210向量的夹角向量 A，B 间的夹角，由 可得 ，所以：,cos21lB21slBAaL1=sqrt(dot(A,A); %计算向量 A 的长度L2=sqrt(dot(B,B)
9、; %计算向量 B 的长度c=dot(A,B)/L1/L2; %计算向量 A，B 的点积alpha=acos(c) %计算向量 A，B 间夹角问题 1.19：判断两直线 ，2/)3(4/)(3/)7( zyx是否共面？求它们之间的夹角.令 ,1256/)1( 243A, ,若 ,则共面，它们之间的夹角就4,B,1C0);det(CBA等于向量 间的夹角.A11点与点之间的距离由两点间距离公式 ，所以：212121 )()()( zyxl s= A-B;L=sqrt(dot(s,s) %计算两点 A，B 间的距离12、点与与平面的距离平面方程 用 表示，点 用 表示，0AxByCzD,fCD(,
10、)Pabc,abc则点 P 到平面的距离为 。由公式d22| |AaBbc可以得到：d1=dot(f,p,1); %计算 Aa+Bb+Cc+Dd2=sqrt(dot(f(1:3),f(1:3); %计算 221/()ABCd=abs(d1/d2) %d 为点 P 到平面 f 的距离问题 1.20:求点 P(-2,3,1)到平面 2x-y+2z+1=0 的距离。513、点与直线的距离将直线 表示为点 和向量000()/()/()/xAyBzC0,vpxyz，点 到直线的距离为 ，由公式,vBC,Pabcd|pvP得到：vs=p-vp; %计算 pvd1=sqrt(dot(v,v); %计算 |c
11、=cross(v,vs); %计算 pvPd2=sqrt(dot(c,c); %计算 |d=d2/d1 %计算点 p 到直线的距离 d问题 1.21：已知异面直线 和 = 111()/()/()/xAyBzCax/)(2= ，如何求它们之间的距离？令 ，by/)(2cz/)(2 ,vA根据121,vakxyz12|()|vd分步来求。三、练习与思考已知向量 ，求它的长度、方向角。9,62A又已知向量 ，求向量 之间点积、叉积、夹角。13BBA,求点 到平面 的距离。),(P012zyx求异面直线 和 = /)3(4/)(/7x 4/)5(6/)1(yx之间的距离1/)2(z已知向量 ，若 ，则
12、向量 共线，若CBA,1);(BArankBA,或 ，则向量 共面，为什么？若 ，);(rank2;C3,21A6， 试判断 与 ， 与 ， 与 之间是否共线？之6,42B9,63CABC间是否共面？求点 关于直线 的垂足和对称点。)5,(P 3/)1(7/)3(/)2( zyx参考答案：令 ， 表示垂足， 表示对称,1,4Vp dPp点。编文件名 fp.m 为的 M 函数文件如下：dppfunctio P,=f(,)%这是一个求点关于直线对称点及垂足的程序%求点 指向点 P 的向量vp-V; pV%求向量 V 的长度L=sqrt(do,);%求 在 V 上投影向量vC*P/2v%求垂足 指向点 P 的向量D-; d%求垂足 的坐标dp=V+%求对称点 的坐标P-2*; p在命令窗口输入： dp,=f(,-45,31,7-)结果为：=dP1.1493 -4.9851 1.8507=p0.2985 -5.9701 -1.2985
