1、第 1 页 共 17 页例 1. 已知系统特征方程如下。试用劳斯判据确定系统的稳定性。1. 03482234ss2. 5103. 14. 872346 sss解:1. 由系统特征方程 034234s列写劳斯表 3s2s4s1s 1 4360s 2 8333由劳斯表可知，第一列元符号全部为正，所以系统稳定，系统特征根均位于左半 平s面。2. 由系统特征方程 02510334ss列写劳斯表 3s2s4s1s 310 51 210/47 20s 47/1532由劳斯表可知，第一列元符号变化两次，所以系统不稳定，且有两个根在右半 平面；s而劳斯表中无全为零的行，故无虚轴上的根；因特征方程为 4 阶，所
2、以有 2 个根在左半平面。s3. 由系统特征方程 013234ss列写劳斯表 3s2s4s1s 130s 313 111因 是一个很小的正数，所以 ，劳斯表第一列元符号变化两次，所以系统 0不稳定，且有两个根在右半 平面；而劳斯表中无全为零的行，故无虚轴上的根；因特征s方程为 4 阶，所以有 2 个根在左半 平面。第 2 页 共 17 页4. 由系统特征方程 018742356 sss列写劳斯表3s4s06s5s1444781055100劳斯表的 行的元素全为 0，所以系统不稳定，有对称于原点的根。以该行的上一行3s构造辅助方程，并对辅助方程求一阶导数，用所得导数方程的系数继续劳斯表的计算。3
3、s2s4s1s205.20s906s5s14447810105510 01055)( 24 sssF辅 助 方 程 01020)(3 sssF10 10构 造 新 行求解辅助方程 015)(24ssF解得 ，j因为劳斯表第一列元素符号变化两次，所以系统有两个根在右半 平面；由辅助方程s有两个根在虚轴上；因特征多项式为 6 阶，故有两个根在左半 平面。考点 2 利用奈氏判据判断系统稳定性。例 2. 单位反馈的二阶系统，其单位阶跃输入下的系统响应如图所示。要求：1. 确定系统的开环传递函数。2. 求出系统在单位斜坡输入信号作用下的稳态误差。第 3 页 共 17 页t)(tc0.101.01.3 0
4、.3解：1. 由图所示系统的单位阶跃响应曲线，知系统的超调量及峰值时间分别为 ，%30。由超调量及峰值时间的计算公式，有s1.0pt %301%2e.2npt解得 ， rad/s。故系统的开环传递函数为36.07.n)3.24(715)2()ssGn2. 单位斜坡输入信号 ，即 。因二阶系统稳定，故有系统的速度静态)1(ttr2R误差系数为 7.46)(lim)(li 200 nnssvGK.1vsKe 作用下系统的稳态误差。r(t） =t/6+4例 3 已知系统的开环传递函数为 )125.0)()(ssHG1. 绘制系统的根轨迹图。2. 为使系统的阶跃响应呈现衰减振荡形式，试确定 的取值范围
5、。K解:1. 绘制系统的根轨迹。系统的开环传递函数为 )4(1)25.0)(1)( *sssHG其中 。K4*第 4 页 共 17 页 系统有三个开环极点： ，没有开环零点。将开环零、极点4,1,0321pp标在 平面上。s 根轨迹的分支数。特征方程为三阶，故有三条根轨迹分支。3 条根轨迹分支分别起始于开环极点 ，01p， ，终止于开环无限零点。12p43 实轴上的根轨迹。实轴上的根轨迹区段为, 和40,1 渐近线的位置与方向。渐近线与实轴的交点 67.111mnzpjinia渐近线与正实轴的夹角 ）， 10(8,3)2()( kknka 分离点和分离角。根据分离点公式 0411dzpjmji
6、ni解得 ， （舍去） 。46.01d87.2d不在 时的根轨迹上，故应舍去。87.2K分离角 。21d 与虚轴的交点。将 代入系统闭环特征方程js 0)4()5(132*jKKj实部、虚部为零 052*3解得 ，即 。20,*K4K第 5 页 共 17 页根据以上所计算根轨迹参数，绘制根轨迹如图所示。2. 确定 的取值范围。K与分离点 相应的 可由模值条件求得46.01d*K8.041131* dpdii2.04*由如图可知，使系统的阶跃响应呈现衰减振荡形式的 的取值范围为 。K52.K1p2p3p j2.0*K 5*KO例 4已知单位反馈系统的开环传递函数为 （1）画出系统的根轨迹； （2
7、）确定系统呈阻尼振荡瞬态响应的 值范围； （3）求产生持续等幅振荡时的 值和振荡频率； （4）求闭环主导复数极点具有阻尼比为 时的 值和闭环极点。解：（1）画根轨迹该系统有三条根轨迹，开环极点为 。 求渐近线 于是，渐近线与实轴交点为 。当 时， 。 当 时， 。第 6 页 共 17 页求分离点：由开环传递函数知 ， ，代入方程 有， 不在根轨迹上，舍去。 是分离点，分离角为 。根据幅值条件可求出分离点处的增益根轨迹与虚轴的交点 特征方程为劳斯表为当 时，辅助方程为 解得 根轨迹如图所示。第 7 页 共 17 页（2）当 时，系统闭环主导极点为一对共轭复数极点，系统瞬态响 应为欠阻尼状态，阶跃
8、响应呈阻尼振荡形式。（3）当 时，系统有一对共轭虚根，系统产生持续等幅振荡， 。（4）阻尼角 ，解方程或由图可知阻尼角为 的主导极点由于 ，因此闭环极点之和等于开环极点之和，另一个闭环极点为根据幅值条件知第 8 页 共 17 页例 5、某最小相位系统的开环 bode 图如下，写开环传递函数。解： 143220lg31.62.6/85./31.62(0)()(1(1)0.316.48.82.54KradsrssGs s例 6.某单位反馈的最小相角系统，其开环对数幅频特性如图所示，要求求该系统的开环传递函数。/(rad/s)03020540L()/dB0020-20-40-601001 3 40.
9、1 2第 9 页 共 17 页第 10 页 共 17 页例 7. 单位负反馈最小相位系统校正前、后的开环对数幅频特性如图所示。1. 求串联校正装置的传递函数 。)(sGc2. 求串联校正后，使闭环系统稳定的开环增益 的值。K)(L0.120 1 10200.4 2-203-40-20-40-6050 -20-40-600GG0解:1. 求串联校正装置的传递函数 。)(sc由图知，校正前系统的开环传递函数为 )13()4.0()00 ssKG式中 可由低频段求出0K第 11 页 共 17 页20lgK10校正后系统的开环传递函数为 )120()14.0()ssKG由图知，在 时，开环对数幅值 d
10、B，即 ,故1.05L2.316.(jG.316.0).(Kj2根据 ，则有)()(0sGsc )120(3)16.3)(0 sssc2. 求串联校正后，使闭环系统稳定的开环增益 的值。K根据校正后系统的开环传递函数，其相频特性为 20tan1t2tan4.0t9)( 111 jG运用三角公式 并整理，得ant1 221 05.15t90)( j当相角为 时，有1800.125.12解得 。此时幅值为3.2418.0)3.2(4.016.)3.2( jG即将开环增益增大 倍，系统处于临界稳定状态。根据频率稳定判据，当418.0/即 时，对数频率特性曲线不穿越 线，系统稳定。./16.30K6.
11、75K180第 12 页 共 17 页例 8. 已知系统的开环传递函数为 )12.0)(1.()0 ssKG要求校正后系统的静态速度误差系数 s1 ，相角裕度 40，截止频率3v 2.3rad/s，试设计串联校正装置。c解：1. 确定开环增益。s130)12.0)(1.(lim)(li00 KsssGKsv2. 绘制 s1 时待校正系统的开环对数幅频曲线如图所示。30)(L5100cK-20 -40-60c21 -40-60-20-40-20 L0Lc由图列写直线方程 510lg4l605lg2cKrad/s.130c 3.2.0tan.tan918100 cc可见待校正系统不稳定，且截止频率
12、远大于期望值，故选择串联滞后校正。3. 在待校正系统的频率特性曲线上选择频率点 ，使其满足c 4640)125()(1800cjG并将其作为校正后系统的穿越频率 。第 13 页 共 17 页 1346180)(0cjG2.0tan.tan9)(0 cccj rad/s74.2c4. 根据下述关系式确定迟后网络参数 和bT0lg)(cL选 c21.bT由图 6-5 知即为 0lg7.3l0924.1.cbTssGc 4165.31)(5. 验算。 )14(2.0)(1.(653)()0 ssscrad/s2.3rad/s74.2c 408. 41tan2.0tan1.0tan65.3tan91)
13、( 11 cccccjG全部性能指标均已满足。例 9. 设开环离散系统如图所示，试求开环脉冲传递函数 。)(zG)(sR 22s 55s )(sC（a ）)(sR 22s 55s )(sC第 14 页 共 17 页（b）图 7-4解：图（a）：两个环节间有采样开关，因此有 TTTTzzsZszGzRCG 525221 e10e5)()( 图（b）：两个环节间没有采样开关，因此有 TT TTz zzsZsZRz52 52e310 ee3105/23/10)( 例 10. 设有单位反馈误差采样系统，连续部分传递函数为 )5(1)2sG输入 ，采样周期 s。试求：)(1tr1T（1）输出 变换 ；z
14、)(C（2）输出响应的终值 ()。c解：（1）开环脉冲传递函数为 0.67 )1(25954.ze)1(2564 e251)(2/)( 252 5222 zz zzzTssZsZG T闭环脉冲传递函数为 0.1726.3z4.1259 0z 0.956 4.7z.)( z)(32 G0.1726.4z.7.16z259 13.5 )()(3422z zRC（2）输出响应的终值由闭环脉冲传递函数，系统的闭环特征方程为 3.23 z解得 ， ，故闭环极点均位于单位圆内，系统稳定。满足4.092.,1jz065第 15 页 共 17 页终值定理应用条件，故有() c 10.726.3z4.1259 0zlim)(1li 31 zCz例 11、闭环脉冲传递函数 )(z采样开关在离散闭环系统中有多种配置方式，求 时，一般没有像梅逊公式一样的通)(z用方法，需要根据闭环结构特点，用代数方法或结构图变换方法逐步导出系统的 。)(z1、2、第 16 页 共 17 页 根据开关后离散信号离散信号列出中间方程，消去中间变量，可以得出 。)(z 由于采样开关位置不同，系统信号通过中连续、离散信号的作用效应不同，一般不能简单应用连续系统中结构图等效变换规则。所以，在离散系统中进行结构图等效变换化简时，要特别注意变换的等效性。第 17 页 共 17 页
