1、轴对称一选择题（共 6 小题）1 （2014贵港）如图，在 RtABC 中，ACB=90，AC=6，BC=8，AD 是 BAC 的平分线若 P，Q 分别是 AD和 AC 上的动点，则 PC+PQ 的最小值是（ ）AB 4 C D5第 1 题 第 2 题 第 3 题2 （2012毕节地区）如图在 RtABC 中，A=30 ，DE 垂直平分斜边 AC，交 AB 于 D，E 是垂足，连接 CD，若 BD=1，则 AC 的长是（ ）A2 B 2 C 4 D43如图，在ABC 中， B=30，BC 的垂直平分线交 AB 于 E，垂足为 D若 ED=5，则 CE 的长为（ ）A10 B 8 C 5 D2.
2、54 （2012铜仁地区）如图，在 ABC 中，ABC 和ACB 的平分线交于点 E，过点 E 作 MNBC 交 AB 于 M，交AC 于 N，若 BM+CN=9，则线段 MN 的长为（ ）A6 B 7 C 8 D9第 4 题 第 5 题 第 6 题5如图 RtABC 中，AB=BC=4，D 为 BC 的中点，在 AC 边上存在一点 E，连接 ED，EB ，则BDE 周长的最小值为（ ）A2 B 2 C 2 +2 D2 +26已知：如图，等腰直角三角形 ABC 的直角边长为 16，D 在 AB 上，且 DB=4，M 是在 AC 上的一动点，则DM+BM 的最小值为（ ）A20 B C 16 D
3、24二填空题（共 3 小题）7如图，ABC 中， C=90，AB 的中垂线 DE 交 AB 于 E，交 BC 于 D，若 AB=10，AC=6，则ACD 的周长为 _ 28如图所示，AOP= BOP=15，PC OA 交 OB 于 C，PD OA 于 D，若 PC=4，则 PD 等于 _ 9如图，D 是等边ABC 的边 AC 的中点，点 E 在 BC 的延长线上，CE=CD，若 SABC= cm2，则BDE 的周长是 _ 三解答题（共 21 小题）10在ABC 中，AD 平分BAC，BDAD，垂足为 D，过 D 作 DEAC，交 AB 于 E，若AB=5，求线段 DE 的长11 （2014温州
4、）如图，在等边三角形 ABC 中，点 D， E 分别在边 BC，AC 上，且 DEAB，过点 E 作 EFDE，交 BC 的延长线于点 F（1）求F 的度数； （2）若 CD=2，求 DF 的长12如图 1，点 P、Q 分别是边长为 4cm 的等边 ABC 边 AB、BC 上的动点，点 P 从顶点 A，点 Q 从顶点 B 同时出发，且它们的速度都为 1cm/s，（1）连接 AQ、CP 交于点 M，则在 P、Q 运动的过程中， CMQ 变化吗？若变化，则说明理由，若不变，则求出它的度数；（2）何时PBQ 是直角三角形？（3）如图 2，若点 P、Q 在运动到终点后继续在射线 AB、BC 上运动，直
5、线 AQ、CP 交点为 M，则CMQ 变化吗？若变化，则说明理由，若不变，则求出它的度数313 （2014简阳市模拟）如图，在 ABC 中，点 O 是 AC 边上的一点过点 O 作直线 MNBC，设 MN 交 BCA的平分线于点 E，交 BCA 的外角平分线于 F（1）求证：EO=FO；（2）若 CE=4， CF=3，你还能得到那些结论？14 （2012温州模拟）在下列四个条件中： AB=DC；BE=CE ；B=C； BAE=CDE请选出两个作为条件，得出AED 是等腰三角形（写出一个即可） ，并加以证明已知： _ ；求证：AED 是等腰三角形15 （2012昌平区一模）如图，已知 ABC 和
6、 ADE 都是等边三角形，连接 CD、BE求证：CD=BE 16 （2011龙岩质检）如图，AD 是 ABC 的平分线，DE，DF 分别垂直 AB、AC 于 E、F，连接 EF，求证：AEF 是等腰三角形17 （2011庐阳区模拟）如图，在 ABC 中，D 为 AC 上一点，CD=2DA，BAC=45 ， BDC=60，CEBD，E为垂足，连接 AE（1）写出图中所有相等的线段，并选择其中一对给予证明（2）若 AD=1，求 BE 的长418 （2011房山区一模）已知：等边三角形 ABC（1）如图 1，P 为等边 ABC 外一点，且BPC=120试猜想线段 BP、PC、AP 之间的数量关系，并
7、证明你的猜想；（2）如图 2，P 为等边 ABC 内一点，且APD=120求证：PA+PD+PC BD19 （2009梅州一模）如图，已知 ABC 中，C=90， B=15，AC=2cm ，分别以 A、B 两点为圆心，大于 AB的长为半径画弧，两弧分别相交于 E、F 两点，直线 EF 交 BC 于点 D，求 BD 的长20如图，在ABC 中，AB=AC ，AD 是BAC 的角平分线，若点 E 是 AD 上的任意一点，连接 BE、CE，试探求EBD 与ECD 的大小关系，并说明理由21如图，在ABC 中，AB=AC ，点 F 在 AC 上，在 BA 的延长线上截取 AE=AF，求证：EFBC52
8、2如图，已知，AB=AC，F 是 BC 上的一点，且 FEAC 于 E，FGAB 于 G，CD AB 于 D，求证：FG+FE=CD23如图：在ABC，AB=AC ，AD=DE=EF=BF=BC ，求ABC 各内角的度数24在ABC 中，AD 是 BC 边上的高，CD=AB+BD求证： B=2C25如图所示，在ABC 中，MN AC，垂足为 N，且 MN 平分 AMC， ABM 的周长为 9cm，AN=2cm ，求ABC 的周长26在ABC 中， ACB=90，点 D 在 AB 中点上，BC=BD，DEAB，交ACB 的平分线于点 E，证明：DE=DC627如图，AD 为等边三角形的高，DE
9、是ADC 的高，已知 ABC 的边长为 6，求 AE 的长28如图所示，在等边ABC 中，B、C 的平分线交于点 O，过 O 作 ODAB、OEAC 分别与 BC 交于D、E若ABC 的周长为 m，试求 OD+DE+OE 的长29如图，已知ABC 和BDE 都是等边三角形，求证：AE=CD30如图，ABC、ADE 是等边三角形， B、C、D 在同一直线上求证：（1）CE=AC+DC；（2）ECD=60 72014 年 12 月 11 日轴对称参考答案与试题解析一选择题（共 6 小题）1 （2014贵港）如图，在 RtABC 中，ACB=90，AC=6，BC=8，AD 是 BAC 的平分线若 P
10、，Q 分别是 AD和 AC 上的动点，则 PC+PQ 的最小值是（ ）AB 4 C D5考点： 轴对称-最短路线问题菁优网版权所有分析： 过点 C 作 CMAB 交 AB 于点 M，交 AD 于点 P，过点 P 作 PQAC 于点 Q，由 AD 是BAC 的平分线得出 PQ=PM，这时 PC+PQ 有最小值，即 CM 的长度，运用勾股定理求出 AB，再运用 SABC= ABCM= ACBC，得出 CM 的值，即 PC+PQ 的最小值解答： 解：如图，过点 C 作 CMAB 交 AB 于点 M，交 AD 于点 P，过点 P 作 PQAC 于点 Q，AD 是 BAC 的平分线PQ=PM，这时 PC
11、+PQ 有最小值，即 CM 的长度，AC=6，BC=8， ACB=90，AB= = =10SABC= ABCM= ACBC，CM= = = ，即 PC+PQ 的最小值为 故选：C点评： 本题主要考查了轴对称问题，解题的关键是找出满足 PC+PQ 有最小值时点 P 和 Q 的位置2 （2012毕节地区）如图在 RtABC 中，A=30 ，DE 垂直平分斜边 AC，交 AB 于 D，E 是垂足，连接 CD，若 BD=1，则 AC 的长是（ ）8A2 B 2 C 4 D4考点： 线段垂直平分线的性质；三角形内角和定理；等腰三角形的性质；含 30 度角的直角三角形；勾股定理菁优网版权所有专题： 计算题
12、分析： 求出ACB，根据线段垂直平分线求出 AD=CD，求出 ACD、DCB，求出 CD、AD 、AB，由勾股定理求出 BC，再求出 AC 即可解答： 解：A=30 ， B=90，ACB=1803090=60，DE 垂直平分斜边 AC，AD=CD，A=ACD=30，DCB=6030=30，BD=1，CD=2=AD，AB=1+2=3，在BCD 中，由勾股定理得：CB= ，在ABC 中，由勾股定理得：AC= =2 ，故选 A点评： 本题考查了线段垂直平分线，含 30 度角的直角三角形，等腰三角形的性质，三角形的内角和定理等知识点的应用，主要考查学生运用这些定理进行推理的能力，题目综合性比较强，难度
13、适中3 （2012河池）如图，在 ABC 中，B=30，BC 的垂直平分线交 AB 于 E，垂足为 D若 ED=5，则 CE 的长为（ ）A10 B 8 C 5 D2.5考点： 线段垂直平分线的性质；含 30 度角的直角三角形菁优网版权所有分析： 根据线段垂直平分线性质得出 BE=CE，根据含 30 度角的直角三角形性质求出 BE 的长，即可求出 CE长解答： 解： DE 是线段 BC 的垂直平分线，BE=CE，BDE=90（线段垂直平分线的性质） ，B=30，BE=2DE=25=10（直角三角形的性质） ，CE=BE=109故选 A点评： 本题考查了含 30 度角的直角三角形性质和线段垂直平
14、分线性质的应用，关键是得到 BE=CE 和求出 BE 长，题目比较典型，难度适中4 （2012铜仁地区）如图，在 ABC 中，ABC 和ACB 的平分线交于点 E，过点 E 作 MNBC 交 AB 于 M，交AC 于 N，若 BM+CN=9，则线段 MN 的长为（ ）A6 B 7 C 8 D9考点： 等腰三角形的判定与性质；平行线的性质菁优网版权所有分析： 由ABC、ACB 的平分线相交于点 E，MBE=EBC， ECN=ECB，利用两直线平行，内错角相等，利用等量代换可MBE=MEB，NEC= ECN，然后即可求得结论解答： 解：ABC、 ACB 的平分线相交于点 E，MBE=EBC，ECN
15、= ECB，MNBC，EBC=MEB，NEC=ECB，MBE=MEB，NEC= ECN，BM=ME，EN=CN，MN=ME+EN，即 MN=BM+CNBM+CN=9MN=9，故选 D点评： 此题考查学生对等腰三角形的判定与性质和平行线性质的理解与掌握此题关键是证明BMO CNO 是等腰三角形5如图 RtABC 中，AB=BC=4，D 为 BC 的中点，在 AC 边上存在一点 E，连接 ED，EB ，则BDE 周长的最小值为（ ）A2 B 2 C 2 +2 D2 +2考点： 轴对称-最短路线问题；勾股定理 菁优网版权所有专题： 计算题；压轴题分析： 要求BDE 周长的最小值，就要求 DE+BE
16、的最小值根据勾股定理即可得解答： 解：过点 B 作 BOAC 于 O，延长 BO 到 B，使 OB=OB，连接 DB，交 AC 于 E，此时 DB=DE+EB=DE+BE 的值最小连接 CB，易证 CBBC，10根据勾股定理可得 DB= =2 ，则BDE 周长的最小值为 2 +2故选 C点评： 此题考查了线路最短的问题，确定动点 E 何位置时，使 DE+BE 的值最小是关键6已知：如图，等腰直角三角形 ABC 的直角边长为 16，D 在 AB 上，且 DB=4，M 是在 AC 上的一动点，则DM+BM 的最小值为（ ）A20 B C 16 D24考点： 轴对称-最短路线问题；等腰直角三角形 菁
17、优网版权所有专题： 探究型分析： 作点 B，B 关于直线 AC 对称，连接 DB，DB就是最短距离，利用勾股定理求得 DB的长度即可解答： 解：连接 AB，ABC 是等腰直角三角形，BAC=45，点 B 与点 B关于直线 AC 对称，BE=BE，AEB= AEB，在ABE 与ABE 中， ，ABEABE，ABB是等腰直角三角形，AB=AB=16，AD=ABDB=12，DB= = =20故选 A11点评： 本题考查的是轴对称最短路线问题，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是，利用勾股定理求解是解答此题的关键二填空题（共 3 小题）7如图，ABC 中， C=90，AB 的中垂线 DE 交 AB
18、于 E，交 BC 于 D，若 AB=10，AC=6，则ACD 的周长为 14 考点： 线段垂直平分线的性质菁优网版权所有分析： 先利用勾股定理求出 BC 的长，再利用中垂线的性质进行等量代换即可计算解答： 解： AB=10，AC=6，BC=8AB 的中垂线 DE 交 AB 于 EAD=BDBD+DC=AD+DC=8ACD 的周长 =8+6=14点评： 本题主要考查了线段垂直平分线的性质8如图所示，AOP= BOP=15，PC OA 交 OB 于 C，PD OA 于 D，若 PC=4，则 PD 等于 2 考点： 含 30 度角的直角三角形；等腰三角形的性质菁优网版权所有专题： 压轴题分析： 过点
19、 P 作 PMOB 于 M，根据平行线的性质可得到 BCP 的度数，再根据直角三角形的性质可求得 PM 的长，根据角平分线上的点到角两边的距离相等得到 PM=PD，从而求得 PD 的长解答： 解：过点 P 作 PMOB 于 M，PCOA，COP=CPO=POD=15，BCP=30，PM= PC=2，PD=PM，PD=2故答案为：2点评： 本题考查了等腰三角形的性质及含 30角的直角三角形的性质；解决本题的关键就是利用角平分线的性质，把求 PD 的长的问题进行转化9如图，D 是等边ABC 的边 AC 的中点，点 E 在 BC 的延长线上，CE=CD，若 SABC= cm2，则BDE 的周长是 （
20、 ）cm 12考点： 等边三角形的性质菁优网版权所有专题： 综合题分析： 根据三角形 ABC 为等边三角形，得到三边相等，三个内角都为 60，由 D 为 AC 中点，根据“三线合一”得到 BD 与 AC 垂直，且ABD= CBD=30，然后在直角三角形 BCD 中，根据 30角所对的直角边等于斜边的一半得到 CD 为 BC 的一半，然后再由 CE=CD，根据“ 等边对等角”得到CDE= E，因为ACB 为三角形 DCE 的外角，根据外角性质得到CDE= E=30，进而利用等量代换得到DBE=E，根据“ 等角对等边”得到 DB=DE，设 CD 为 x，则 BC=AC=2x，根据勾股定理表示出 B
21、D，利用三角形的面积公式表示出三角形 ABC 的面积，让面积等于已知的 列出关于 x 的方程，求出方程的解即可得到 x 的值，进而得到BD，DE，BC 及 CE 的长，四条边相加即可得到周长解答： 解： D 是等边 ABC 的边 AC 的中点，BDAC，DBC=DBA= ABC=30，CD= BC，CE=CD，CDE= E，又 等边三角形 ABC，ACB=60，且为CDE 的外角，CDE=E=30，DBC=E，DB=DE，设 CD=x，则 BC=AC=AB=2x，根据勾股定理得：BD= x，则 SABC= ACBD= 2x x= ，解得：x=1，即 CD=CE=1，BC=2 ，BD= ，BDE
22、 的周长=BD+DE+BE=2BD+BC+CE=（3+2 ）cm故答案为：（3+2 ）cm点评： 此题考查了等边三角形的性质，直角三角形的性质及三角形外角性质将直角三角形的三边用含有同一个字母的代数式表示，利用勾股定理列方程求解是本题的关键通过此题，让学生明白计算的方法也是研究几何图形性质，完成几何证明的有效途径之一三解答题（共 21 小题）10 （2014菏泽） （1）在 ABC 中，AD 平分 BAC，BD AD，垂足为 D，过 D 作 DEAC，交 AB 于 E，若AB=5，求线段 DE 的长（2）已知 x24x+1=0，求 的值13考点： 等腰三角形的判定与性质；分式的化简求值；平行线
23、的性质；直角三角形斜边上的中线菁优网版权所有分析： （1）求出CAD=BAD=EDA，推出 AE=DE，求出 ABD=EDB，推出 BE=DE，求出 AE=BE，根据直角三角形斜边上中线性质求出即可（2）化简以后，用整体思想代入即可得到答案解答： 解：（1）AD 平分BAC ，BAD=CAD，DEAC，CAD=ADE，BAD=ADE，AE=DE，ADDB，ADB=90，EAD+ABD=90，ADE+BDE= ADB=90，ABD=BDE，DE=BE，AB=5，DE=BE=AE= =2.5（2）原式=x24x+1=0，x 24x=1，原式=点评： 本题考查了平行线的性质，等腰三角形的性质和判定，
24、直角三角形斜边上中线性质的应用，关键是求出DE=BE=AE学会用整体思想解答有关问题是我们学习的关键11 （2014温州）如图，在等边三角形 ABC 中，点 D， E 分别在边 BC，AC 上，且 DEAB，过点 E 作 EFDE，交 BC 的延长线于点 F（1）求F 的度数； （2）若 CD=2，求 DF 的长14考点： 等边三角形的判定与性质；含 30 度角的直角三角形菁优网版权所有专题： 几何图形问题分析： （1）根据平行线的性质可得EDC= B=60，根据三角形内角和定理即可求解；（2）易证EDC 是等边三角形，再根据直角三角形的性质即可求解解答： 解：（1）ABC 是等边三角形，B=
25、60，DEAB，EDC=B=60，EFDE，DEF=90，F=90EDC=30；（2）ACB=60，EDC=60，EDC 是等边三角形ED=DC=2，DEF=90，F=30，DF=2DE=4点评： 本题考查了等边三角形的判定与性质，以及直角三角形的性质，30 度的锐角所对的直角边等于斜边的一半12 （2014郑州二模）如图 1，点 P、Q 分别是边长为 4cm 的等边ABC 边 AB、BC 上的动点，点 P 从顶点 A，点 Q 从顶点 B 同时出发，且它们的速度都为 1cm/s，（1）连接 AQ、CP 交于点 M，则在 P、Q 运动的过程中， CMQ 变化吗？若变化，则说明理由，若不变，则求出
26、它的度数；（2）何时PBQ 是直角三角形？（3）如图 2，若点 P、Q 在运动到终点后继续在射线 AB、BC 上运动，直线 AQ、CP 交点为 M，则CMQ 变化吗？若变化，则说明理由，若不变，则求出它的度数考点： 等边三角形的性质；全等三角形的判定与性质；直角三角形的性质菁优网版权所有专题： 动点型分析： （1）因为点 P 从顶点 A，点 Q 从顶点 B 同时出发，且它们的速度都为 1cm/s，所以AP=BQAB=AC， B=CAP=60，因而运用边角边定理可知ABQ CAP再用全等三角形的性质定理15及三角形的角间关系、三角形的外角定理，可求得 CQM 的度数（2）设时间为 t，则 AP=
27、BQ=t，PB=4 t分别就 当 PQB=90时；当BPQ=90 时利用直角三角形的性质定理求得 t 的值（3）首先利用边角边定理证得PBCQCA ，再利用全等三角形的性质定理得到BPC= MQC再运用三角形角间的关系求得CMQ 的度数解答： 解：（1）CMQ=60 不变等边三角形中，AB=AC，B=CAP=60又由条件得 AP=BQ，ABQCAP（SAS） ，BAQ=ACP，CMQ=ACP+CAM=BAQ+CAM=BAC=60（2）设时间为 t，则 AP=BQ=t，PB=4 t当 PQB=90时，B=60，PB=2BQ，得 4t=2t，t= ；当 BPQ=90时，B=60，BQ=2BP，得
28、t=2（4t） ，t= ；当第 秒或第 秒时，PBQ 为直角三角形（3）CMQ=120 不变在等边三角形中，AB=AC，B=CAP=60PBC=ACQ=120，又由条件得 BP=CQ，PBCQCA（SAS）BPC=MQC又PCB= MCQ，CMQ=PBC=18060=120点评： 此题是一个综合性很强的题目本题考查等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质、直角三角形的性质难度很大，有利于培养同学们钻研和探索问题的精神13 （2014简阳市模拟）如图，在 ABC 中，点 O 是 AC 边上的一点过点 O 作直线 MNBC，设 MN 交 BCA的平分线于点 E，交 BCA 的外角平分线于 F（1）
29、求证：EO=FO；（2）若 CE=4， CF=3，你还能得到那些结论？考点： 等腰三角形的判定与性质；勾股定理菁优网版权所有分析： （1）根据角平分线的定义可得1= 2，根据两直线平行，内错角相等可得 1=3，然后求出 2=3，再根16据等角对等边可得 OE=OC，同理可得 OF=OC，从而得到 OE=OF；（2）CE 是ACB 的平分线，CF 是OCD 的平分线，所以ECF=90 ，若 CE=4，CF=3 ，得到EF=5，OE=OF=OC= 解答： 解：（1）CE 是ACB 的平分线，1=2，MNBC，1=3，2=3，OE=OC，同理可得 OF=OC，OE=OF；（2）CE 是ACB 的平分
30、线，1=2，CF 是OCD 的平分线，4=5，ECF=90，在 RtECF 中，由勾股定理得EF= OE=OF=OC= EF= 点评： 本题考查了等腰三角形的判定与性质，角平分线的定义，平行线的性质，熟记性质是解题的关键14 （2012温州模拟）在下列四个条件中： AB=DC；BE=CE ；B=C； BAE=CDE请选出两个作为条件，得出AED 是等腰三角形（写出一个即可） ，并加以证明已知： AB=DC； B=C；或AB=DC； BAE=CDE或BE=CE； B=C；或BE=CE； BAE=CDE ；求证：AED 是等腰三角形考点： 等腰三角形的判定；全等三角形的判定与性质菁优网版权所有专题
31、： 证明题分析： 根据“ 有两条边相等的三角形是等腰三角形”、 “等角对等边” 判定等腰三角形即可解答： 解：可以选择填写：AB=DC； B=C；或 AB=DC； BAE=CDE或BE=CE； B=C；或BE=CE； BAE=CDE证明：下面以为例证明BEA=CDE、B= C、AB=DCAEBDECAE=DEAED 是等腰三角形17点评： 本题考查了等腰三角形的判定与性质，熟记等腰三角形的判定定理是解决此题的关键与基础15 （2012昌平区一模）如图，已知 ABC 和 ADE 都是等边三角形，连接 CD、BE求证：CD=BE 考点： 等边三角形的性质；全等三角形的判定与性质菁优网版权所有专题：
32、 证明题分析： 利用等边三角形的三边相等和各角都是 60，可证得ADCAEB，即可得结论解答： 证明：ABC 和ADE 都是等边三角形，AB=AC，AE=AD，DAE= CAB，DAECAE=CABCAE，DAC=EAB，在ADC 和 AEB 中，ADCAEB CD=BE点评： 本题考查了等边三角形的性质与全等三角形的判定与性质，正确的利用等边三角形中隐含的条件证明全等是解决本题的关键16 （2011龙岩质检）如图，AD 是 ABC 的平分线，DE，DF 分别垂直 AB、AC 于 E、F，连接 EF，求证：AEF 是等腰三角形考点： 等腰三角形的判定；全等三角形的判定与性质菁优网版权所有专题：
33、 证明题分析： 根据角平分线的性质知BAD=CAD；然后根据已知条件“DE ，DF 分别垂直 AB、AC 于 E、F ”得到DEA=DFA=90；再加上公共边 AD=AD，从而证明，ADEADF；最后根据全等三角形的对应边相等证明AEF 的两边相等，所以 AEF 是等腰三角形解答： 证明：AD 是ABC 的平分线，BAD=CAD， （3 分）又 DE，DF 分别垂直 AB、AC 于 E，F18DEA=DFA=90（6 分）又 AD=AD，ADEADF （8 分）AE=AF，即AEF 是等腰三角形（10 分）点评： 本题综合考查了等腰三角形的判定、全等三角形的判定与性质解答此题时，根据全等三角形
34、的判定定理ASA 判定 ADEADF17 （2011庐阳区模拟）如图，在 ABC 中，D 为 AC 上一点，CD=2DA，BAC=45 ， BDC=60，CEBD，E为垂足，连接 AE（1）写出图中所有相等的线段，并选择其中一对给予证明（2）若 AD=1，求 BE 的长考点： 等腰三角形的判定与性质；含 30 度角的直角三角形；解直角三角形菁优网版权所有专题： 证明题分析： （1）由BDC=60 ，CEBD，求得ECD=30，根据直角三角形中，30角所对的直角边等于斜边的一半，即可得 CD=2ED，又由 CD=2DA，即可证得 ED=DA；（2）利用（1）的结果 ED=DA=1，在直角三角形
35、CDE 中， BDC=60，ED=1 ，利用特殊角的三角函数值求得 CE= ；又有 EA=EB=EC，所以 BE= 解答： 解：（1）ED=DA，EA=EC=BE（2 分）证明：CE BD，CED 是直角三角形（3 分）BDC=60，ECD=30 （4 分）CD=2DE （5 分）CD=2DA， DE=DA （6 分）（2）在 RtECD 中，DE=DA=1，BDC=60，CE= ，BE= （10 分）点评： 本题综合考查了等腰三角形的判定与性质、含 30角的直角三角形、解直角三角形此题综合性较强，难度适中，解题的关键是注意掌握数形结合思想的应用与有两角对应相等的三角形相似，相似三角形的对应边
36、成比例，直角三角形中，30角所对的直角边等于斜边的一半定理的应用18 （2011房山区一模）已知：等边三角形 ABC（1）如图 1，P 为等边 ABC 外一点，且BPC=120试猜想线段 BP、PC、AP 之间的数量关系，并证明你的猜想；（2）如图 2，P 为等边 ABC 内一点，且APD=120求证：PA+PD+PC BD19考点： 等边三角形的性质；等式的性质；三角形三边关系；全等三角形的判定与性质菁优网版权所有专题： 证明题；压轴题分析： （1）AP=BP+PC ，理由是延长 BP 至 E，使 PE=PC，连接 CE，由 BPC=120，推出等边CPE，得到CP=PE=CE，PCE=60
37、，根据已知等边ABC，推出 AC=BC，ACP= BCE，根据三角形全等的判定推出ACPBCE，得出 AP=BE 即可求出结论；（2）在 AD 外侧作等边ABD，由（1）得 PB=AP+PD，根据三角形的三边关系定理得到PA+PD+PCCB ，再证ABC ADB，根据全等三角形的性质推出 CB=BD 即可解答： 猜想：AP=BP+PC ，（1）证明：延长 BP 至 E，使 PE=PC，连接 CE，BPC=120，CPE=60，又 PE=PC，CPE 为等边三角形，CP=PE=CE，PCE=60 ，ABC 为等边三角形，AC=BC，BCA=60，ACB=PCE，ACB+BCP=PCE+BCP，即
38、：ACP=BCE，ACPBCE（SAS） ，AP=BE，BE=BP+PE，AP=BP+PC（2）证明：在 AD 外侧作等边ABD，则点 P 在三角形 ADB外，连接 PB，BC，APD=120由（1）得 PB=AP+PD，在PBC 中，有 PB+PCCB，PA+PD+PCCB ，ABD、ABC 是等边三角形，AC=AB，AB=AD，BAC=DAB=60，BAC+CAD=DAB+CAD，即：BAD=CAB，ABCADB，CB=BD，PA+PD+PCBD20点评： 本题主要考查对等边三角形的性质和判定，全等三角形的性质和判定，三角形的三边关系，等式的性质等知识点的理解和掌握，此题是一个拔高的题目，
39、有一定的难度19 （2009梅州一模）如图，已知 ABC 中，C=90， B=15，AC=2cm ，分别以 A、B 两点为圆心，大于 AB的长为半径画弧，两弧分别相交于 E、F 两点，直线 EF 交 BC 于点 D，求 BD 的长考点： 含 30 度角的直角三角形；线段垂直平分线的性质菁优网版权所有专题： 计算题分析： 根据 EF 为线段 AB 的垂直平分线得出 AD=BD，求出 ADC=30，根据含 30 度角的直角三角形性质求出AD 即可解答： 解：由图可知，EF 为线段 AB 的垂直平分线，AD=BD，DAB=B=15，ADC=DAB+B=30，在 RtACD 中，AC=2cm，BD=A
40、D=2AC=4cm点评： 本题考查了含 30 度角的直角三角形和线段的垂直平分线性质的应用，主要培养了学生运用性质进行推理21的能力，题目比较典型，难度适中20如图，在ABC 中，AB=AC ，AD 是BAC 的角平分线，若点 E 是 AD 上的任意一点，连接 BE、CE，试探求EBD 与ECD 的大小关系，并说明理由考点： 等腰三角形的性质菁优网版权所有分析： 由条件可知 BD=DC，且 ADBC，则 AD 为 BC 的垂直平分线，则 EB=EC，可知EBD=ECD解答： 解：EBD=ECD，理由如下：AB=AC，AD 是BAC 的角平分线，BD=DC，ADBC，AD 为 BC 的垂直平分线
41、，点 E 在 AD 上，EB=EC，EBD=ECD点评： 本题主要考查等腰三角形的性质，由条件得出 AD 为 BC 的垂直平分线是解题的关键21如图，在ABC 中，AB=AC ，点 F 在 AC 上，在 BA 的延长线上截取 AE=AF，求证：EFBC考点： 等腰三角形的性质菁优网版权所有专题： 证明题分析： 由条件可得E= EFA=CFD，B=C，可得B+E=C+ DFC，可得EDB=FDC，且两个角构成平角，所以可证得结论解答： 证明：AB=AC ，B=C，AE=AF，EEFA=CFD，BDE=180BE，FDC=180 CCFD，BDE=FDC，且 BDE+FDC=180，BDE=90，
42、EFBC点评： 本题主要考查等腰三角形的性质，由条件得到BDE= FDC 是解题的关键22如图，已知，AB=AC，F 是 BC 上的一点，且 FEAC 于 E，FGAB 于 G，CD AB 于 D，求证：FG+FE=CD22考点： 等腰三角形的性质；三角形的面积菁优网版权所有专题： 证明题分析： 连接 AF，利用等积法，即 SABC=SABF+SACF，利用面积公式表示出面积，结合 AB=AC 即可得出结论解答： 证明：如图，连接 AF，SABC=SABF+SACF， ABCD= ABFG+ ACFE，AB=AC，CD=FG+FE，即 FG+FE=CD点评： 本题主要考查等腰三角形性质及等积法
43、的运用，从不同的角度表示出同一个图形的面积，从而找到线段之间的关系是等积法的妙用，能起到事半功倍的效果23如图：在ABC，AB=AC ，AD=DE=EF=BF=BC ，求ABC 各内角的度数考点： 等腰三角形的性质菁优网版权所有分析： 设A=x，利用等腰三角形的性质和三角形内角和定理即可求得各角的度数解答： 解：设A=xAD=DE，AED=A=x，CDE=2x，DE=EF，EFD=EDF=2x；23BEF=3x，EF=BF，FBE=BEF=3x；BFC=4x，BF=BC，BFC=BCA=4x，AB=AC，ABC=BCA=4x，x+4x+4x=180，x=20，故A=20，ABC=ACB=80点
44、评： 本题考查等腰三角形的性质；利用了三角形的内角和定理得到相等关系，通过列方程求解是正确解答本题的关键24在ABC 中，AD 是 BC 边上的高，CD=AB+BD求证： B=2C考点： 等腰三角形的判定与性质菁优网版权所有专题： 证明题分析： 在 CD 上取点 E，使 CE=AB，则 DE=BD，可证得 AB=AE，再利用等腰三角形的性质和外角的性质可得到结论解答： 证明：在 CD 上取点 E，使 CE=AB，CD=AB+BD，DE=BD，AD 是 BC 边上的高，AD 是 BE 的垂直平分线，AB=AE=CEB=AEB=2C点评： 本题主要考查等腰三角形的性质和判定，与线段的和差有关的问题
45、，一般是把几条线段转化在一条直线来解决25如图所示，在ABC 中，MN AC，垂足为 N，且 MN 平分 AMC， ABM 的周长为 9cm，AN=2cm ，求ABC 的周长24考点： 等腰三角形的判定与性质菁优网版权所有分析： 由 MNAC 且平分 AMC 可得MAC= MCN，可知 MA=MC，AN=NC，再结合ABM 的周长为 9cm，可求得ABC 的周长解答： 解： MNAC，且平分AMC，MAC=MCN，MA=MC，且 AN=NC=2cm，ABM 的周长为 9cm，AB+AM+BM=9cm，AB+BM+MC=9cm，即 AB+BC=9cm，且 AC=2AN=4cm，ABC 的周长为 AB+BC+AC=9+4=13cm点评： 本题主要考查等腰三角形的判定和性
