1、1高数复习题 1极限与连续一、填空题1函数 的定义域为_29)2ln(1)xxf函数 的反函数为_01xy设 ，则 _eax2lima当 时，若 与 等价，则 _， _0153xbxab已知 ，则 _2)(li0fx fx)(lim0二、单项选择题1若数列 满足 ，则数列 在 的任一 邻域之外（其中 ）数列中nxaxnlinxa0的点（ ）（）必不存在； （）至多只有有限多个； （）必定有无穷多个； （）可以有有限多个，也可以有无穷多个。2考察下列命题 若数列 满足: ，且 ，则 。nxNn,0axnlim0 若数列 满足: ，且 ，则 。 设 ，且 ，则存在 ，当 时，有 。axnlim00
2、N5axn 设 ，且 ，则存在 ，当 时，有 。n0正确的命题是（ ） 。（），； （），； （），； （），。3下列结论错误的是（ ） （）函数 是有界函数；（B）当 时，函数 的极限存xf1sin)(0xxf1sin)(在；（C） 是奇函数； （D）当 时， 是无穷小量xfi)( xfi)(4设 ，则 =（ ）3)2(1lim0 axx（） ； （） ； （）1； （）2。25设 ， ，则当 时， （ ） xf1)(xg1)(1（） 和 是等价无穷小量； （B） 是 的高阶无穷小量；fg（C） 是 的低阶无穷小量； （D） 和 是同价无穷小量但非等价量f6极限 =（ ）121limxxe（
3、）2； （）0； （） ； （）不存在但不为 。7设 ，则 （ ） bannbali（）1； （B）0； （C ） ； （D ） ab8下列运算过程正确的是（ ） （） ；001lim1lim1lim nnnnn（B） ；0litasli 33xxx（C） ； 214rcin200x（D） )sinlm()l1slmxx9设函数 ，讨论函数 的间断点，其结论为（ ）nnxf2i)(f（） 不存在间断点； （） 是 的间断点；1)(xf（） 是 的间断点； （） 是 的间断点。0x)(f 10设 在 处连续，则 （ ）021sin)(xaefxa（）2； （） ； （） ； （） 。2121三、
4、设 求 的表达式)1(lim)(nxxf )(xf四、设函数 ，讨论函数的连续性，并指出间断点的类型xxfsin12)(13五、设 在 上连续，求 01sin)(xaexf ),(a六、计算极限（1） （2） )11(lim22xxx )tan1si(lm0xx七、设 ， （ ） ，证明 存在，并求 1xnnx1n,2nxlimnxli八、已知 ，求 0)(42limbaxxba,九、设 是三次多项式，且 ，)(xf 14)(lim2)(lixffx（1）求 ， ； （2）求 ； （3） 2)4(ff )(li3xf十、设 在区间 上连续， ， 是两个任意给定的正数，证明存)(xf),(bab
5、dcaqp,在 ，使得 , )()(fffqp4参 考 答 案一、填空题1函数 的定义域为 29)2ln(1)xxf )2,1(,3函数 的反函数为 01xy ,lg(1xy设 ，则 eax2lima2当 时，若 与 等价，则 ， 30153xbxa52b已知 ，则 2)(li0fx fx)(lim04二、单项选择题1若数列 满足 ，则数列 在 的任一 邻域之外（其中 ）数列中nxaxnlinxa0的点（ B ）（）必不存在； （）至多只有有限多个； （）必定有无穷多个； （）可以有有限多个，也可以有无穷多个。2考察下列命题 若数列 满足: ，且 ，则 。nxNn,0axnlim0 若数列 满
6、足: ，且 ，则 。 设 ，且 ，则存在 ，当 时，有 。axnlim00N5axn 设 ，且 ，则存在 ，当 时，有 。n0正确的命题是（B ） 。（），； （），； （），； （），。3下列结论错误的是（ B ） （）函数 是有界函数；（B）当 时，函数 的极限存xf1sin)(0xxf1sin)(在；（C） 是奇函数； （D）当 时， 是无穷小量xfi)( xfi)(4设 ，则 =（ B ）3)2(1lim0 axx（） ； （） ； （）1； （）2。55设 ， ，则当 时， （ A ） xf1)(xg1)(1（） 和 是等价无穷小量； （B） 是 的高阶无穷小量；fg（C） 是 的低
7、阶无穷小量； （D） 和 是同价无穷小量但非等价量f6极限 =（ D ）121limxxe（）2； （）0； （） ； （）不存在但不为 。7设 ，则 （ D ） bannbali（）1； （B）0； （C ） ； （D ） ab8下列运算过程正确的是（ C ） （） ；001lim1lim1lim nnnnn（B） ；0litasli 33xxx（C） ； 214rcin200x（D） )sinlm()l1slmxx9设函数 ，讨论函数 的间断点，其结论为（B ）nnxf2i)(f（） 不存在间断点； （） 是 的间断点；1)(xf（） 是 的间断点； （） 是 的间断点。0x)(f 10设
8、 在 处连续，则 （ D ）021sin)(xaefxa（）2； （） ； （） ； （） 。2121三、设 求 的表达式)1(lim)(nxxf )(xf解： xnenf xnn l1lim)(lilili l11 四、设函数 ，讨论函数的连续性，并指出间断点的类型xxfsin12)(16解：因为 在 时无定义，所以 为)(xf ,210,k ,210,kx间断点，函数在定义域内连续。又因为：当 时， ，k 12)(lim1kkxf所以 是无穷间断点；0,x当 时， ，k 0)(li fxfx， ，1)(lim0fx )(f所以， 是可去间断点。五、设 在 上连续，求 0sin)(xaexf
9、 ),(a解：因为 在 上连续，所以 ，)(f),)0()(fff而 ，所以： 。aexx 001sinlm1六、计算极限（1） )(li22xx解： 。原 式 112lim 112lim1li 22 xx xxxx x（2） )tansi(1l0x解：原式= 。21lim)cos(ilm00 xxx七、设 ， （ ） ，证明 存在，并求 1nn1n, nxlinxlim解：因为 ，所以：数列 有界；21nnxxnx下证单调性：因 ，假设 ，则：211n7，0)1()1(11 nnnn xxxx即： ，所以数列 单调递增且有上界，从而，极限存在。n1设 ，则由 得：axnlimnnxx1，即：
10、 。125八、已知 ，求 0)(4li2baxxba,解： 0422limlim22 baxxxx所以： ，得： ，012a1a当 时， ，不符合题意，舍去；原 式所以， ；此时， ，bxx)42(lim原 式因： bxxxx 1421limli)(li 22所以： 。,ba九、设 是三次多项式，且 ，)(xf 14)(lim2)(lixffx（1）求 ， ； （2）求 ； （3） 2)4(ff )(li3xf解：（1）因为 ，所以， ， ；)(lilim42xx 02f4f（2）由（1）可知， 为多项式的两个根，设,，由 ，)()()baf 1)2()(lim2)(li baaxxfx，解得： ，1)4()(2lim4liaxxfx 3,18所以， )3(4)2(1)xxf（3） 。21limli33 xx十、设 在区间 上连续， ， 是两个任意给定的正数，证明存)(f),(babdcaqp,在 ，使得 , )()(fffqp证：因为 在区间 上连续，且 ，所以， 在 连续，有闭)(xf,(c)(xf,dc区间上连续函数的性质，知：必 ，使 在 上，从而，mM,Mf)(，dfmcf)(,)(对 ，有 ，即：0,qp qpfcpq)()，fcfm)(由介值定理得： ，使 。),(,badcqpdfcff)()(
