1、费马定理与等差数列的关联，及二元二次换元式的还原性本篇讲述的主要是费马定理与正整数等差数列之间的关系，以及如何运用这种等差关系，来建立一个等价的二元二次方程，最后通过数值分析的方法来解释费马定理。我个人认为本篇最有价值的地方在于构建了一个全新的数学模式，并不是对不定方程 x +y -z 0 做个形式上的变换，而是利用数的特征来构模，与其他tt的方法相比思路是完全不同的。在整个论述的过程中，并没有假设命题的成立或者是不成立。而是将两种因素都考虑在了其中，在极力找到命题成立的依据的同时，也不排除命题不成立的可能，因此整个证明过程都保证了较高的客观性。本文的结构大致为， 第一构建数模第二得出 x +
2、y -z 的换元式，tt第三 x +y -z 的等价命题及证明tt第四换元式的还愿性（包括还愿性的定义，还原性的证明，还愿性存在的有原因，还原性的适用范围，还原性的使用条件）第五 x +y -z 0 的证明tt值得注意的是：（1）换元式及换元式的还原性的适用范围为 X +Y -Z1t2tt其中 X Y Z,互素且都为正整数，YXZ, 3t t t 或123t t t。换句话来说，不定方程 X +Y Z ，也是成立的。而费马定理的21 1t2tt完整表述应该为 X +Y Z ，即一个正整数的 t 次方不等于另外两个正整数的小于1t2tt或等于 t 次方之和。3t,另外两个正整数的指数 3t t
3、或 3t t 。1221（2）需要强调的是换元式及换元式的还原性的适用范围不包括二次方，具体原因，在下面文章中会有解释。第一节平方数的特征及运用即数模的构建相信除了勾股定理，平方数还有其他很多的特征。下面的一个特征，相信很多人都知道。比如 5 很多人想到的都是勾三股四，也就是一个直角三角形的2三边。但还有一个规律，在命题的转换以及证明中都发挥了关键的作用：那就是 5 =1+2+3+4+5+4+3+2+1，6 =1+2+3+4+5+6+5+4+3+2+1,2 2X =1+2+3+4+X+.4+3+2+1.除此之外，还可以给这一特征建立一个同样很有规律的线段图。及以一个单位长度表示 1。做底边长为
4、 2X 的一个等腰直角三角形。然后将底边进行 2X 等分，通过个等分点，做垂直于底边的直线。各直线与两腰相交，等分点到交点的各垂线段之和等于 1+2+3+4+.X+4+3+2+1,也就是刚好为 x 。2这样我们就得到了一个有关于 X 的数模。到这里会产生这样的疑问， X2Y Z ，都存在类似的数模，那么这样的数模到底有什么样的作用。ttt虽说 X Y Z 也存在类似的数模，但和平方数相比，在内容上和形状ttt山个都发生了改变。首先一点不能再做成一个等腰直角三角形的形状（这是由正整数的平方数的特征所决定的） 。那么什么样的形状更适合于一个正整数的大于等于 3次方的数模呢？我选择的是类半圆曲线。如
5、上因为 X =1+2+3+4+X+.4+3+2+1，X =X X2 t2t所以 X =1 X +2 X +3 X +4 X +X X +.4 X +3 X +2 tt2t2t2t 2t2tX +1 X 。2t2tX 的数模可以表示为：以一个单位长度表示 1，以 2X 的长度为一条弦，t通过这条弦做一个近似于半圆的曲线。然后将这条弦进行 2X 等分，通过个等分点做与曲线相交的垂线段。从左至右，各线段分别表示为 1 X ，2 X ，3 X ，4 t2t2tX ， X X ，.4 X ，3 X ，2 X ，1 X 。2t 2t 2tt2t2t如图所示同理：Y Z 分别可以表示为下面的两个数模。tt居
6、然求证的是 X ，Y ，Z 之间的和差关系，所以把三个数模给予整合，ttt在取同一单位的情况下（即以同样长的一个单位长度来表示 1） ，将 Y 的t数模平齐的放在 Z 数模的左端，X 数模也是平齐的放在 Z 数模的右端。三条弦在t t t同一直线上。各半圆，及半圆内的各线段重合相交。除去共有的部分。 于是：X +Y -Z 就等价于图中 A 所截取的线段之和，减去 B 所截取的ttt线段之和。第二节不定方程的换元不定方程 X +Y -Z 的换元，辅助线，辅助点，辅助区的引入。tt以上图为基础，根据等差线段的特征，以及求证的需要划定 a b c d e f g七个区，划定的各个区内所包含的线段都满
7、足等差数列特征。e 为辅助区，g 为含有辅助区 e 的一个区。其它 a b c d f 各区为上图中阴影部分中的实区。其中 a 为弧线 A A 和线段 A A A A 区域所截得的所有是线段之121323和；b 为弧线 B B 和线段 B B B B 区域所截得的所有是线段之和231312c 为弧线 C C C C 和线段 C C 区域内所截得的所有实线段之和；1d 为弧线 D D D D 和线段 D D 所围成的区域内所截得的线段之和2313f 为弧线 F F F C C 和线段 F C 所围成的区域内截得的所有的线段1122之和g 为弧线 G G G D D 辅助弧线 G E 和线段 E
8、D 围成区域内所截1212221得的所有线段与辅助区 e 内所包含的所有辅助线段之和 ,e 包含在 g 中e 为辅助区，由弧线 G E 和辅助弧线 G E 以及辅助线段 E E 所围成21212的区域，其所包含的值为延长后的实线段在该区内所截得的线段总长之和。该区位辅助区，故该区内组成值的线段也为辅助线段关于辅助线，辅助区的说明。G E 为辅助曲线它的作用是使原本不符合等差计算的区域（或区域内2不含等差线段） 。通过增设 e 区，和原来弧线 G G E 和弧线 G D D 所含线段组合1212后 ，形成有规律的 g 区。原来的值等于 g-e弧线 C C 和弧线 D D 也同为辅助线，它们的作用
9、是划分，将一个不1212符合等差线段排列的区域，划分为两个符合等差线段排列的区域。弧线 C C 的作用12是将现有弧线 F F 弧线 F C C 所围的区域划分为 c 和 f；弧线 D D 是将由弧线 G1213 12G E 和弧线 G D D (包含辅助区 e 在内)所围得的区域划分为 d 和 g,d 和 g 同时12符合等差线段排列特质。换元未知数 n 和 m1 虚线 L 与实线段 F A E B ，虚线为辅助线，实线段为 X ，Y ，Z231 tt半圆等差线段群中的一个完整线段，或者是一个部分。tL 为经过 X 半圆曲线与 Y 半圆曲线的交点且平行于各实线段（或垂直t t于各弦）的一条辅
10、助虚线。线段 F A E B 为 Z 半圆分析图中的两条是线段，虚线 L 在这两条线231t段的中间，两条线段的距离为一个单位长，或者是“1”未知数 n 和 m 的引入未知数 n 的实际含义为线段 A A 的长度，m 的实际含义为线段 B B12 1的长度，2n 与 m 的大小，以及比例关系，恰好反映了 X ，Y ，Z ，之间的比例ttt大小关系，更重要的一点所设的七个区的值，亦可以表示为与 n m 相关的几组代数式。因为 X +Y -Z 等价于上图中 A 中所含的是线段的值，减去 B 区中所tt包含的所有是线段的总长，又因为 A 区中的的值等于 a+b;B 区中的值等于 c+d-e+f+g。
11、故可以把 X +Y -Z 换元为与 n m 相关的一组代数式。亦可以假设 n 和 m 使tt这租代数式的值为 0，然后求出 n m若 n m 的值符合 X ，Y ，Z 半圆曲线图的特ttt征，或能反映出 X +Y -Z =0 的组合要求。那么所提出的命题 X +Y Z ，就为错tt tt误，相反，即为正确。七个区 a b d e f g 与 n m 相关代数式根据前面所设，以及一个正整数大于大于 3 次方的等差数列组合特征，所设七个区中每个区所含的各个线段长度均符合，等差数列特征。其中 a= , b=2)1(xt2)1(ytc=y (y-m)(y-m-1) d=x (x-n)(x-n-1)t
12、te=z (1+m-2y+z)(m-2y+z) f=2t 2)1)(2 myyzttg= )12)(2nxxztt设 n m 使 a+b-c-d-f-g+e=0,方程两边同时乘以 2，化去含有分数的项2a = x (1+n)n 2b =y (1+m)m2t 2t= x (n +n) = y (m +m)= n x + n x = m y + m yt12t t2t2c=2 y (y-m)(y-m-1)2t=2 y (y -my-y-my+ m +m)2=2y -4m y -2 y +2 m y +2m yt1ttt2t2d= 2x (x-n)(x-n-1)2t=2x (x -nx -x- nx
13、 +n +n)2=2x - 4n x -2x +2 n x +2n xt1ttt2t2f=(z -y )(2y-m)(2y-m-1)2tt=(z -y ) (4y -4my+m -2y+m)22=4y z -4my z + m z -2y z +m z -4 y +4my - m y +2 y -m ttt2t2tt1t2t1ty 2t2g=( z - x )(2x-n)(2x-n-1)2tt=( z - x )(4x-4n+n-2x+n)=4x z -4n z + n z -2x z +n z -4x +4nx - n x +2 x -n xt2t2t2ttt1t2t1t2t2e= z (1
14、+m-2y+z)(m-2y+z) 2t= z (m-2y+z+ m -4my+2mz+4y -4yz+z )222=2m z -4y z +2z +2 m z -8my z +4m z +8y z -8y z +2ztt1ttt1t2t1tt合并各代数式化简得出换元方程n x + nx + m y + m y -2y +4m y +2 y -2m y -2m y -2t2t2t2tt1t1t2t2t2x +4n x +2x -2 n x -2n x -4y z +4my z - m z +2y z -m z +4 y -t1tttttttttt4my +m y -2y +my -4x z +4
15、nxz - n z +2xz -n z +4x +4nx + n xt2t1tt2t2t2t2ttt1t2-2 x +n x +2m z -4y z +2z +2 m z -8my z +4m z +8y z -8y z +2z2t1tt2tt1ttt1t2tt=0t方程两边同时乘以-1，化简整理后得：- m z +4my z -4m z -m z +4 x z -2x z +2y z -2 z -4 2t2t1t2t2t2t2t1ty z +8y z -2 y -2 x -2 z + n z +n z -4nx z =02t1ttttttt上述的这个关于 n m 的二元二次方程就是一个关于
16、X +Y -Z 值的换元tt方程。因为 n m 的值的大小取决于 X ，Y ，Z 半圆曲线分析图相互间的大小以及比ttt例关系，也就是 X ，Y ，Z 相互间的比例以及大小关系。故通过分析 n m 可以侧面ttt反映出 X ，Y ，Z 间的大小以及比例关系，而 X +Y -Z 的值就取绝于 X ，Y ，Zttt tt tt间的大小以及比例关系。故通过分析 n m 在逻辑上可以判断 X +Y -Z 的值。t tt第四 x +y -z 的等价命题及证明tt命题（1）：X +Y -Z =0 等价于tt方程：-m z +4my z -4m z -m z +4 x z -2x z +2y z -2 z
17、-4 2t2t1t2t2t2t2t1ty z +8y z -2 y -2 x -2 z + n z +n z -4nx z =0，2t1ttttttt其中有一组关于 n m 的解的和等于 2x+2y-2z-1。相反若找不到一组解的和等于 2x+2y-2z-1，那么 X +Y -Z 0。tt备注：此命题是通过，半圆曲线分析图得出的，即 X +Y -Z 若等于 0，tt那么 n 与 m 的和必定符合 X ，Y ，Z 三个半圆曲线分析图的组合规律 .因为 n 和 mttt的值的意义就是使两个影阴影部分 A B 相减的值为零，若 X +Y -Z =0，那么半圆曲tt线图中（A） （B）相减的值本来就为
18、零，所以 n 与 m 的和必定符合 X Y ，Z 三个ttt半圆曲线分析图的组合规律.，即 n 与 m 的和必定等于 2x+2y-2z-1；相反若 X +Y -Zt0，n m 要使半圆曲线图中（A） （B）相减的值为零，即组合代数式的值为零，那t么 n 与 m 的和，必定不能等于 2x+2y-2z-1命题（2）：同时 X +Y -Z =0 也等价于tt方程：-m z +4my z -4m z -m z +4 x z -2x z +2y z -2 z -4 2t2t1t2t2t2t2t1ty z +8y z -2 y -2 x -2 z + n z +n z -4nx z =0，2t1ttttt
19、tt其中有一组关于 n m 的解的差（n-m）等于 2x+2y-2z。同理若找不到一组解的差等于 2x+2y-2z，那么 X +Y -Z 0。tt（X +Y -Z 会否等于 0，也可以理解为已知函数 f (m) -m z +4my z -tt 2t2t4m z -m z +4 x z -2x z +2y z -2 z -4 y z +8y z -2 y -2 x -2 z 是否存在1t2t2t2t2t1t2t1tttt一个函数 f(n) n z +n z -4nx z , 在 n+m=2x+2y-2z-1 的取值范围内两个函数的对ttt应的函数值相加总等于 0，因为两个函数都是一元二次，而一元
20、二次函数都具有对称性，故存在另一组等价的取值范围 n-m=2x+2y-2z,两个取值范围，实际上就是两个函数坐标图顶点横坐标的和以及差。因为命题（1）和命题命题（2）是等价命题，故证明了其中的一个也就证明了另外的一个。同时，因为只要否定了一组解不等于或不会出现上述两种情况中的其中一种，就可以否定命题 X +Y -Z =0。所以即没有必要同时证明命题（ 1）tt和命题命题（2） ，也没有必要去讨论多组解。于是：命题（3）X +Y -Z 0，等价于方程：-m z +4my z -4m z -m ztt 2t2t1t+4 x z -2x z +2y z -2 z -4 y z +8y z -2 y
21、-2 x -2 z + n z +n z -4nx 2t2t2t2t1t2t1ttttt2tz =0，当 m=n+1（n-m=-1，2x+2y-2z-1）时， n+m2x+2y-2z-1。t命题（3）的证明：把 m=n+1，代入不定方程-m z +4my z -4m z -m z +4 x z -2x z +2y z -2 z -4 2t 2t1t2t2t2t2t1ty z +8y z -2 y -2 x -2 z + n z +n z -4nx z =0，求出 n m 的值2t1ttttttt计算过程如下-(n+1) z +4(n+1)yz -4(n+1)z -(n+1)z +4x z -2
22、xz +2yz - 2t 2t1t2t2tt2t2z -4y z +8yz -2y -2x -2z +n z +nz -4nxz =01t2t1ttttt2tt-n z -2nz -z +4nyz +4yz -4nz -4z -nz -z +4x z -2t2tt2t2t1tt2tt2t2xz +2yz -2z -4y z +8yz -2y -2x -2z +n z +nz -4nxz =02tt1tt1tttt2ttt-2nz +4nyz -4nz -4nxz =2z -4yz +4z -4x z +2xz -2t2t1t2tt2t1t2t2t2yz +2z +4y z -8yz +2y +
23、2x +2z2t1ttttttn(-2z +4yz -4z -4xz )=2z +6z -4x z +2xz -6yz +4y z -2t2t1t2tt1t2t2tt2t8yz +2y +2x +2z1ttttn= 2122 12212 44 28646 tttt ttttttt xzyz zxyxzzm=n+1= 2122121 428tttt ttttt xzy zxyn+m= 21221244688 tttt ttttt zzxz若当 m=n+1（n-m=-1 ，2x+2y-2z-1）时，n+m=2x+2y-2z-1，则：=2x+2y-2122112 444688tttt ttttt x
24、zyz zxyzxz2z-1z =(2x+2y-46882 12221 tttttttt xyzzxz t2z-1)( )244ttttyzz =-12221 tttttttt xyzyzxz t4xz +8xyz -8xz -8x z -4yz +8y z -4yz -8xyz +4z -2t2tt2tttt2t1t8yz +8z +8xz +2z -4yz + 4z +4xz1tt1ttt1t2t移项化简后得：4x +4y -4z =0tttx + y -z =0,也就是说当 x + y -z =0 时，在 m=n+1（n-m=-1，2x+2y-tt tt2z-1）的条件下 n+m=2x+
25、2y-2z-1。相反当 x + y -z 0 时在 m=n+1（n-m=-tt1，2x+2y-2z -1）的条件下 n+m2x+2y-2z-1。故命题（3）成立，也就是：X +Y -Z 0，等价于方程：-ttm z +4my z -4m z -m z +4 x z -2x z +2y z -2 z -4 y z +8y z -2 y -2t2t1t2t2t2t2t1t2t1tt2 x -2 z + n z +n z -4nx z =0，当 m=n+1（n-m=-1，2x+2y-2z-1）时，tttttn+m 2x+2y-2z-1。第四换元式的还原性以及费马定理的本质在这一节里主要回答两个问题：
26、第一为什么费马定理要规定 t3,第二不定方程 X +Y -Z 0 的正确性以及可证性。tt费马定理 X +Y -Z 0 与不定方程 X +Y -Z 0 其中 X Y Z,互素ttt 1t2tt且都为正整数，YXZ, 3t t t 或 3t t t，12X +Y -Z 0，包括1t2ttt =t = t 3 21t =t t 3t = t t 3 等，三种主要形式。费马定理属于第一种情况。12而这些不等式都是成立的，且成立原因都是一样的。它们都可以列出一个换元式，而这些换元式，都缺少条件的限制。即换元式都可以被还原。这就是费马定理或类费马定理不定方程的的本质。命题：和为 2x+2y-2z-1 的
27、两个数对代数式即 X +Y -Z 的换元式ttt-m z +4my z -4m z -m z +4 x z -2xz +2y z -2 z -4 2t 2t1t2t 2tt2t1ty z +8y z -2 y -2 x -2 z + n z +n z -4nx z 的还原性。2t1ttttttt还原性是指：当两个数之和为 2x+2y-2z-1 时，把其中的一个数代入换元式中的 n，另一个数代入换元式中的 m,化简整理后总能得到 -2（X +Y -Z ）tt注本来换元式应该为：- （-m z +4my z -4m z -m z +4 x z -212t2t1t2t2t2xz +2y z -2 z
28、 -4 y z +8y z -2 y -x -2 z + n z +n z -4nx z ） ，化简的2t2t1t2ttt1tt2tt结果页应该为 X +Y -Z ，但出于习惯，除去了换元式中的分母，以及保证 n 项ttt 2的系数为正整数，将换元式，做了适当的调整。但本身并不影响命题的证明。即若-2（X +Y -Z ）=0 与 X +Y -Z =0 并没有多大区别。当然也可以采用- （-m ztttt 21+4my z -4m z -m z +4 x z -2xz +2y z -2 z -4 y z +8y z -2 y -2 x -t2t1t2t2tt2t1t2tttt2 z + n z
29、+n z -4nx z ）=0 作为换元方程，只不过求出的值，以及换元式，和tttt换元式的还原性的内容有所变化，但一切的不同，都只是形式上的不同，并不会影响对不定方程 X +Y -Z 0 的证明。如果要用的话，无非是对还原性，做个重新tt的定义。即和为 2x+2y-2z-1 的两个数对，换元式- （-m z +4my z -4m z -m z212t2t1t+4 x z -2xz +2y z -2 z -4 y z +8y z -2 y -2 x -2 z + n z +n z -4nx z2t2tt2t1t2ttttttt） ，具有还原性，把其中的一个数代入换元式中的 n，另一个数代入换元
30、式中的 m,t化简整理后总能得到 X +Y -Z 。tt故所用的换元方程不同，所做的论述也会发生不同，但实质和原理不会发生改变。本次论述选择的是以作为换元方程，-m z +4my z -4m z -m z2t2t1t+4 x z -2xz +2y z -2 z -4 y z +8y z -2 y -2 x -2 z + n z +n z -4nx z2t2tt2t1t2t1ttttt2t作为换元式。t还原性的存在原因：第一个就是最小指数大于等于 3 的条件，这也是为什么费马定理会成立的一个原因，当然也是不定方程 X +Y -Z 0 成立的一个原因。为什么呢？1t2tt这是因为对应的换元式的还原
31、性，需要最小指数大于等于 3. 而换元式的还原性才是命题 X +Y -Z 0，成立的本质原因。还原性的实质是条件的非控制tt性，也就是缺少条件的控制。由于缺少条件的控制，使换元方程拥有无数个符合条件的解。当 X +Y -Z =0 时，就必须要求这些解的和等于 2x+2y-2z-1，或差等于tt2x+2y-2z。居然解的和是等于 2x+2y-2z-1，那么这个解势必也要具有还原性。如果没有还原性，说明，它的和并不等于我们所要的条件，根据前面对命题（3）的证明，就可以推出 X +Y -Z 0。tt事实上，没有一组数既是解又能具有还原性的，解的实质无非就是把换元式还原成 0 （X +Y -Z ） 。
32、tt而在两数之和为 2x+2y-2z-1 时，无论 X +Y -Z 的值如何，都能将其对tt应换元式还原。这个条件很重要，这保证命题的证明，不是在假设 X +Y -Z 等于tt0，的条件下，去寻找不符合事实的依据，因为在 X +Y -Z 这个代数式中包含了，tt太多太多的数，你无法否定所有的可能，这可能也是为什么费马定理很难证明的一个原因。而在本篇论述中并没有这样的假设。因为还原性，仅与两个数的和是否等于 2x+2y-2z-1 有关（与 X +Y -Z 的值无关） 。如果某组数，不具有还原性，仅仅tt是因为它不满足还原性的条件，即和不等于 2x+2y-2z-1。回到前面的论述，还原性是因为条件
33、限制不够，或者是条件无法限制，而条件无法限制是因为最小指数大于等于 3.因为当 t3 时，nx my ,也就是线段 F A E B 所代表的值并不2t2t 231相等。这是因为 x y 互素，故要使 nx =my ，n 的最小值是 y ，m 的最小2tt 2t值是 x ，但在半圆曲线分析图中对 n m 的取值都做了明确的要求及 nx ,my，2t或者在 X ，Y 的等差值线段表达图中，至少有一个值是不存在的，即在 Y 的等tt t差线段图中不存在那条线段值为 x y 。 （因为 yx, Y 中的最大线段值肯定2tt t小于 x y ） ，故在值为 nx ，my 的两条线段间也就是线段 F A
34、E B 存在2tt tt 231着一个单位“1”的距离。这使得在建立换元式的过程中，对 n m 之间的数学关系无法界定，或者缺少条件的控制。而在平方的情况下即 X Y Z 的线段图中是不存22在对应的“1”的差距的，这样在建立对应的换元方程的时候就会对 n m 有严格的规定，即球出的 n m 必定是确定且唯一的。而那些不能界定或无需界定的情况，虽存在理论意义生的唯一，但可以求出的解都是无穷多的。在 X +Y -Z =0 时，必ttt然要求这些解去满足换元式的还原性，这就为证明提供了方法。这些解必然不会具有还原性。还原性在方程的构建过程来说：是因为在命题的换元过程中，在 a b c d e f
35、g 的分区计算中隐性的用到了 n+m=2x+2y-2z-1 这个条件。所以在把这个条件用到换元式的时候，必然将换元式，还原成原来的样子，当然换句话来说，如果带进去的值不是规定的范围，那也是不能还原换元式的。换元式的还原性与 X +Y -Z 的值无关。仅仅是和为 2x+2y-2z-1 的ttt两个数与换元式之间的一种特殊的逻辑关系。换言之，换元式的一个最大的作用就是可以检验两个数的和是否等于 2x+2y-2z-1，如果是的话具有还原性，如果不是那么对于换元式来说就不会具有还原性。还原性的证明n+m=2x+2y-2z-1，对换元式-m z +4my z -4m z -m z +4 x z -2xz
36、2t2t1t2t2t+2y z -2 z -4 y z +8y z -2 y -2 x -2 z + n z +n z -4nx z 的还原作2t2t1t2t1ttttttt用。是指将和为 2x+2y-2z-1 两个数，其中一个数代入式中的 n,另一个数，代入式中的 m,经化简以后，无论，X +Y -Z 的值为什么，最后的结果都是 -2（X +Yttt t-Z ）tt证明：假设其中的一个数就是 n,则另一个数为（2x+2y-2z-1-n）代入换元式（或者是检验式）得：-z （2x+2y-2z-1-n ） +4y z （2x+2y-2z-1-n）-4（2x+2y-2z-1-n） z2t 22t
37、1t-z （2x+2y-2z-1-n ）+4 x z -2xz +2y z -2 z -4 y z +8y z -2 yt tt2t1t2tt-2 x -2 z + n z +n z -4nx zttt2t2t2t=-4x z -4xyz +4xz +2xz +2nxz -4xyz -4y z +4yz + tt1tt2t2t2t1t2yz +2nyz +4xz +4yz -4z -2z -2nz +4xz +2xz +2yz -2z -2z -2t2t1tttt1ttttt2tnz +2nxz +2nyz -2nz -nz -n z +8xyz +8y z -8yz -4yz -4nyz -
38、8xztt2tt2t2t2t2t1ttt-8yz +8z +4z +4nz -2xz -2yz +2z +z + nz +4x z -2xz1t 1tt1tttttt2t2t+2yz -2z -4y z +8yz -2x -2y -2z + n z +n z -4nx z2t2tt2ttttt2t2tt=-42z -2 x -2 y -2z +8 zttttt=-2 x -2 y +2zttt=-2(x +2 y -2z )ttt第五命题 x + y -z 0 的证明tt根据命题（3） ，因为 x + y -z 0 等价于tt212212212 44 28646 tttt ttttttt xz
39、yz zxyxzz+2x+2y21221221 44842 tttt ttttt xzyz zyxzz-2z-1同时因为，和为 2x+2y-2z-1 的两个数对换元式（-m z +4my z -4m z2t2t-m z +4 x z -2xz +2y z -2 z -4 y z +8y z -2 y -2 x -2 z + n z +n z1t2t2tt2t1t2t1ttttt-4nx z ）具有还原性，故要证t 2t+212211212 448646 tttt tttttt xzyzx2x+22122111 2 tttt ttttt zxyyzy-2z-1，仅需证明，这两个代数式，对换元式不
40、具有还原性，具体的作法是把第一个代数式代入表达式中的 m，把第二个代数式代入表达式中的 n， 实际上就是将换元方程当 m=n+1（n-m=-1 ， ）时的解，进行互调将 m 的值代入换元式中的 n，将 n 的值代入换元式中的 m。同时取两个代数式的值相差为 1，在计算中有如下作用，第一是起到了简化计算的作用，第二是可以保证，两个数的差不等于 2x+2y-2z，因为2x+2y-2z-1 。具体的步骤以及计算过程如下:因为还原式总共有 16 项比较多，而且需要代入换元的两个代数式也是一个含有多个项，所以整个计算过程，按换元式的各项的顺序依次展开，每一项的展开做一个相对独立的计算，然后算完所有的项以
41、后，在做整合处理。同时为了计算的间化，把，其中的几项 n z ，-m z ，nz ，-mz 并在一起计算。2t2t2t2t即:n z -m z2t2t=(n+m)(n-m) z t=(n+m) z 2t=( ) z212211 444688tttt ttttt xzyzxyx 2t= 2122 42234423242 484688 tttt tttttt xzyz zyzyzxznz -mz2tt=(n-m) z t= z 2t= 21223344 tttt xzyz4myz 2t= 2122 112 44 )2866(4 tttt ttttttt xzyz zxyyxzzy= 212 423
42、214442423242 68838168 tttt ttttttt xzyz zyzyzxyz-4mz 1t=xzyz zyxzz ttttttttttt 42 )4286462(4 2121211 = 2122 321213332232 44 68881648 tttt tttttt xzyz zyzyxzz4x z2t= 212244)(4tttt xzyzx= 21224346168tttt txz-2xz 2t= 212244)(tttt xzyzxz= 21223488ttttz2yz 2t= 212244)( ttttt xzyzyz= 21224388tttt y-2z 1t=
43、 212244)(tttt xzyzz= 21223334488tttt xzyzz-4y z2t= 212244)(tttttxzyzy= 21224332 6168tttt tt yz8yz 1t= 212244)(8ttttt xzyzyz= 212233316tttt ty-2x t= 212244)( tttt xzyzx= 2122188ttttttz-2y t= 212244)( tttt xzyz= 2122188ttttt yzy-2z t= 212244)( tttt xzyzz= 212288ttttz-4nxz 2t= 2122 1212 44 )284(4 tttt
44、ttttttt xzyz zxyxzxz= 2122 422234424232 416888168 tttt tttttt xzyz zxyzyxzxz上述 16 项化简整理后= 21224488tttt xzyzx= )1(2ztttt= xyzxttt4故代数式 2122 12212 44 28646 tttt ttttttt xzyz zxyzz与 对换元式，不具2122121 842 tttt ttttt xyzxz有还原性，因此+212212212 44 28646 tttt ttttttt xzyz zxyxzz212221 tttt ttttt zyx2x+2y-2z-1x +y -z 0tt
